安徽省安庆市桐城市2020届高三考试数学（文）试卷

安徽省安庆市桐城市2020届高三考试数学（文）试卷

安徽省安庆市桐城市2020届高三考试数学（文）试卷 数学试卷（文）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知集合，集合，则 A. B. C. D. ‎ 2. 已知i为虚数单位，则复数 A. 2i B. C. 2 D. ‎ 3. 已知平面向量，的夹角为，，，则 A. B. 2 C. 3 D. 4‎ 4. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为 A. 2 B. C. 1 D. ‎ 5. 某校为了解高一高二各班体育节的表现情况，统计了高一高二各班的得分情况并绘成如图所示的茎叶图，则下列说法正确的是 A. 高一年级得分中位数小于高二年级得分中位数 B. 高一年级得分方差大于高二年级得分方差 C. 高一年级得分平均数等于高二年级得分平均数 D. 高一年级班级得分最低为34‎ 6. 在区间上随机地取一个数k，则事件“直线与双曲线C：有两个不同的交点“发生的概率为 A. B. C. D. 1‎ 7. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C的大小为 A. B. C. D. ‎ 8. 在下面四个三棱柱中，A，B为三棱柱的两个顶点，E，F，G为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB与平面EFG不平行的是 A. B. C. D. ‎ 1. 已知数列满足：对，，设为数列的前n项之积，则下列说法错误的是 A. B. C. D. ‎ 2. 已知椭圆与抛物线E：有公共焦点F，椭圆C与抛物线E交于A，B两点，且A，B，F三点共线，则椭圆C的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 3. 数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式 ‎“”所用的几何图形．已知点B，C在以线段AC为直径的圆上，D为弧BC的中点，点E在线段AC上且，点F为EC的中点．设，，那么下列结论： ，， ， 其中正确的是 A. B. C. D. ‎ 4. 已知定义在R上的偶函数的部分图象如图所示，设为的极大值点，则 A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 命题“，“为真命题，则实数m的最大值为______．‎ 2. 设，已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则弦AB的长为______．‎ ‎ ‎ 3. 已知函数，则在处的切线方程为______．‎ 4. 已知平面内一正六边形ABCDEF的边长为1，中心为点O，将该正六边形沿对角线AD折成二面角，则当二面角的平面角余弦值为时，三棱锥的外接球表面积为______．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ 5. 改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪80年代的153万件提升到2018年的亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利．已知某市某快递点的收费标准为：首重重量小于等于收费10元，续重5元不足1kg按1kg算如：一个包裹重量为，则需支付首付10元，续重10元，一共20元快递费用 若你有三件礼物A，B，C重量分别为，，，要将三个礼物分成两个包裹寄出如：A，B合为一个包裹，C一个包裹，那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？ 对该快递点近5天的每日揽包裹数单位：件进行统计，得到的日揽包裹数分别为56件，89件，130件，202件，288件，那么从这5天中随机抽出2天，求这2天的日揽包裹数均超过100件的概率．‎ ‎ ‎ 6. 已知数列的前n项和为，当时，． 求数列的通项公式； 当时，证明： ‎ 7. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，，，圆台的侧面积为若点C，D分别为圆，上的动点且点C，D在平面的同侧． 求证：； 若，则当三棱锥的体积取最大值时，求多面体的体积．‎ 1. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且． 求直线l斜率的取值范围； 过点A，B分别作抛物线C的切线交于点P，求．‎ 2. 已知函数． 讨论函数的单调性； 判断并说明函数的零点个数．若函数所有零点均在区间，内，求的最小值 3. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，为参数，且，若点M为曲线C上的动点，直线OM交直线于点以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 写出曲线C的极坐标方程及点P轨迹的极坐标方程； 当时，求点P的极坐标．‎ 4. 设函数的最大值为M． 求M的值； 设正数a，b，c满足，求证：．‎ ‎ ‎ 数学试卷（文）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ BCABC ADCDA DB ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13【答案】 14【答案】4‎ ‎15【答案】 16【答案】‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ ‎17【答案】解：由题意，可知 当A，B合为一个包裹，C一个包裹时， AB包裹的重量为，C包裹的重量为， AB包裹的快递费为元，C包裹的快递费为元， 此时快递费一共为元． 当A，C合为一个包裹，B一个包裹时， AC包裹的重量为，B包裹的重量为， AC包裹的快递费为元，B包裹的快递费为元， 此时快递费一共为元． 当B，C合为一个包裹，A一个包裹时， BC包裹的重量为，A包裹的重量为， BC包裹的快递费为元，A包裹的快递费为元， 此时快递费一共为元． 经过比较，可发现当A，B合为一个包裹，C一个包裹时，花费的快递费最少． 由题意，可知这5天中日揽包裹数均超过100件的天数为3天， 故从这5天中随机抽出2天，求这2天的日揽包裹数均超过100件的概率为 ．‎ ‎18【答案】解：由，得； 当时，． 适合上式， ； 证明：． 下面利用数学归纳法证明． 当时，左边，右边，左边右边，不等式成立； 当时，左边，右边，左边右边，不等式成立； 假设当时不等式成立，即， 则当时，左边． 即时，不等式成立． 综上，明． ； ‎ 由知，． 则 ．‎ ‎19【答案】解：证明：设圆，的半径分别为r，2r， 圆台的侧面积为， ，解得， 在等腰梯形中，， 连接，，，在圆台中，平面，在平面内， ， 又，故在中，， 在中，，故，即； 由题意可知，三棱锥的体积为， 又在中，，当且仅当时取等号， 即点D为弧的中点时，V有最大值， 过点C作交于点M， 平面，CM在平面内， ，在平面内，在平面内，， 平面， 又，则点C到平面的距离， 四棱锥， 综上，当三棱锥的体积取最大值时，多面体的体积．‎ ‎20【答案】解：抛物线C：的焦点，由题意知，直线l的斜率存在，设直线l：， 代入抛物线方程C：，可得，设，，则，， ， ， 又，可得 ‎， 当时，， 或； 对求导得，则直线AP：， 又，所以直线AP：， 同理可得直线BP：， 点，即， ， ， ．‎ ‎21【答案】解：函数的定义域为，， 令，得舍， 当时，，当时，， 函数在单调递增，在单调递减． ， 当时，， 又单调递减，故， 在单调递增， 又， 存在唯一，使得； 当时，，， 单减， 又，故， 在上单增， 又，故，此时不存在零点； 当时，，， 单减， 又， 存在，使得 ‎， 且当时，，单增，当时，，单减， 又， 存在唯一，使得； 当时，，故不存在零点． 综上，存在两个零点，， 的最小值为3．‎ ‎22【答案】解：曲线C的方程为，为参数，且，可得：可得， 整理可得：所以极坐标方程为：，即， 设，由三角形相似可得：，所以 所以P的轨迹的极坐标方程为：； 由可得：，整理可得，可得，所以，所以， 所以P的极坐标 ‎23【答案】解：由， 则，当时，取得最大值2， 可得的最大值； 证明：正数a，b，c满足， 可得， 即为， 又，，， 可得，当且仅当取得等号， 则， 可得当且仅当取得等号．‎