2018届二轮复习专题二第3讲　平面向量课件（全国通用）

2018届二轮复习专题二第3讲　平面向量课件（全国通用）

第 3 讲　平面向量 高考定位　 1. 以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算 ， 多以熟知的平面图形为背景 ， 难度中低档； 2. 以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积 ， 多考查角、模等问题 ， 难度中低档； 3. 向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合 ， 以解答题形式出现 . 真 题 感 悟 1. (2016· 北京卷 ) 设 a ， b 是向量，则 “ | a | ＝ | b | ” 是 “ | a ＋ b | ＝ | a － b | ” 的 ( 　　 ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析　 若 | a | ＝ | b | 成立 ， 则以 a ， b 为邻边构成的四边形为菱形 ， a ＋ b ， a － b 表示该菱形的对角线 ， 而菱形的对角线不一定相等 ， 所以 | a ＋ b | ＝ | a － b | 不一定成立；反之 ， 若 | a ＋ b | ＝ | a － b | 成立 ，则以 a ， b 为邻边构成的四边形为矩形 ， 而矩形的邻边不一定相等 ， 所以 | a | ＝ | b | 不一定成立 ， 所以 “ | a | ＝ | b | ” 是 “ | a ＋ b | ＝ | a － b | ” 的既不充分也不必要条件 . 答案 　 D 答案　 B A.20 B. 15 C.9 D.6 答案　 C 4. (2016· 全国 Ⅰ 卷 ) 设向量 a ＝ ( m ， 1) ， b ＝ (1 ， 2) ，且 | a ＋ b | 2 ＝ | a | 2 ＋ | b | 2 ，则 m ＝ ________. 解析　 由 | a ＋ b | 2 ＝ | a | 2 ＋ | b | 2 ， 得 a ⊥ b ， 所以 m × 1 ＋ 1 × 2 ＝ 0 ， 得 m ＝－ 2. 答案　 － 2 考 点 整 合 1. 平面向量的两个重要定理 (1) 向量共线定理：向量 a ( a ≠ 0 ) 与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ ，使 b ＝ λ a . (2) 平面向量基本定理：如果 e 1 ， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 λ 1 ， λ 2 ，使 a ＝ λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 ，其中 e 1 ， e 2 是一组基底 . 2. 平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 (1) a ∥ b ⇔ a ＝ λ b ⇔ x 1 y 2 － x 2 y 1 ＝ 0. (2) a ⊥ b ⇔ a · b ＝ 0 ⇔ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ 0. 3. 平面向量的三个性质 4. 平面向量的三个锦囊 热点一　平面向量的有关运算 [ 微题型 1] 　平面向量的线性运算 法二 　建立如图所示平面直角坐标系 .   由题意知： 探究提高 　 用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底 ， 并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合 ， 再通过对比已知等式求解 . [ 微题型 2] 　平面向量的坐标运算 【例 1 － 2 】 (1) (2016· 全国 Ⅱ 卷 ) 已知向量 a ＝ (1 ， m ) ， b ＝ (3 ，－ 2) ，且 ( a ＋ b ) ⊥ b ，则 m ＝ ( 　　 ) A. － 8 B. － 6 C.6 D.8 A.30 ° B.45 ° C.60 ° D.120 ° 答案 　 (1)D 　 (2)A 探究提高 　 若向量以坐标形式呈现时 ，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷 . [ 微题型 3] 　平面向量数量积的运算 【例 1 － 3 】 (1) (2016· 郑州二模 ) 若 a ， b ， c 均为单位向量，且 a · b ＝ 0 ， ( a － c )·( b － c ) ≤ 0 ，则 | a ＋ b － c | 的最大值为 ( 　　 ) 解析　 (1) 设 a ＝ (1 ， 0) ， b ＝ (0 ， 1) ， c ＝ ( x ， y ) ， 则 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 ， a － c ＝ (1 － x ， － y ) ， b － c ＝ ( － x ， 1 － y ) ， 则 ( a － c )·( b － c ) ＝ (1 － x )( － x ) ＋ ( － y )(1 － y ) ＝ x 2 ＋ y 2 － x － y ＝ 1 － x － y ≤ 0 ， 即 x ＋ y ≥ 1. 又 a ＋ b － c ＝ (1 － x ， 1 － y ) ， A.13 B.15 C.19 D.21 热点二　平面向量与三角的交汇 【例 2 】 (2016· 江西红色七校第二次联考 ) 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 m ＝ (sin C ， b 2 － a 2 － c 2 ) ， n ＝ (2sin A － sin C ， c 2 － a 2 － b 2 ) ，且 m ∥ n . (1) 求角 B 的大小； (2) 设 T ＝ sin 2 A ＋ sin 2 B ＋ sin 2 C ，求 T 的取值范围 . 探究提高 　 三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支 ，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇 . 不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题 ， 都会出现交汇问题中的难点 ， 对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件 “ 脱去外衣 ” 转化为三角函数中的 “ 数量关系 ” ， 再利用三角函数的相关知识进行求解 . 1. 平面向量的数量积的运算有两种形式： (1) 依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化； (2) 利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化 . 2. 根据平行四边形法则，对于非零向量 a ， b ，当 | a ＋ b | ＝ | a － b | 时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件 | a ＋ b | ＝ | a － b | 等价于向量 a ， b 互相垂直 . 3. 两个向量夹角的范围是 [0 ，π ] ，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线 .