黑龙江省安达市第七中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

黑龙江省安达市第七中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

数学试题 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一 个是符合题目要求的) 1．某工厂生产产品，用传送带将产品送到下一道工序，质检人员每隔十分钟在传送带的某一 个位置取一件检验，则这种抽样方法是(　　) A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．非上述答案 2．下列命题为真命题的是( ) A. ， B. , 是整数 C. , D. , 3. 设命题甲： ，命题乙： ，则甲是乙的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图是计算 1 2＋ 1 4＋ 1 6＋…＋ 1 20值的程序框图，在判断框中应填入的条件是(　　) A．i<10 B．i>10 C．i<20 D．i>20 5．某篮球运动员在一个赛季的 40 场比赛中的得分的茎叶 如右下图所示：则中位数与众数分别为（ ） A．3 与 3 B．23 与 3 C．3 与 23 D．23 与 23 6．下列程序表示的算法是 （ ） | 1| 2x − > 3x > 共9个 共13个 共11个 0 1 3 5 6 0 1 2 2 3 4 4 8 9 0 1 1 1 3 3 3 3 5 5 7 8 8 1 2 2 2 3 3 4 6 7 8 9 8 9 4 3 2 1 0 A．交换 m 与 n 的位置 B．辗转相除法 C．更相减损术 D．秦九韶算法 7．设抛物线 的焦点在直线 上，则抛物线的准线方程为（　　） A. x=-4 B. x=-3 C. x=-2 D. x=-1 8.已知 P 是椭圆上一点，点 F1,F2 分别是椭圆的左，右焦点，直线 PF1 交椭圆于另一点 A，则 三角形 PAF2 的周长为（ ） A．10 B．16 C．20 D．40 9．4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上 的数字之和为奇数的概率为(　　) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 10.若抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线 -y2=1 的右焦点重合，则 p 的值为（　　） A.2 B.2 C.4 D.2 11.若椭圆 的共同焦点为 F1、F2，P 是两曲线的一个交点， 则|PF1|•|PF2|的值为（　　） A.12 B.14 C.3 D.21 12．甲，乙两艘轮船都要在某个泊位停靠６小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达， 则这两艘船中至少有一艘在停泊时必须等待的概率（ ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上) 2 2y px= 2 3 8 0x y+ − = 2 1 4 1 16 9 16 7 INPUT m，n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 13．某校有高级教师 26 人，中级教师 104 人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收 入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取 56 人进行调查，已知从其他教师中共抽 取了 16 人，则该校共有教师 人． 14. 101110(2)转化为等值的八进制数是___________. 15．设集合 且 ，则点 在圆 内部的概率 为 . 16.设双曲线 的离心率是 3，则该双曲线渐近线的方程为 。 三．解答题(本大题共有 6 个小题,满分 70 分) 17.(本题满分 12 分)某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考 试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100] 后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题： (1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分； (3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率． 18．(满分 12 分)甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女. （1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师 性别相同的概率； { 2, 1,0,1,2},P x P= − − ∈ y P∈ ( , )x y 2 2 4x y+ = 2 2 2 2 1 0 0( , )x y a ba b − = > > （2）若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师来自同一 学校的概率. 19．(满分 12 分)某种产品的广告费支出 x（单位：百万元）与销售额 y（单位：百万元）之 间有如下对应数据 X 2 4 5 6 8 Y 30 40 60 50 70 （1）画出数据对应的散点图； （2）求线性回归方程； （3）预测当广告费支出为 7 百万元时的销售额 （ ） 20. （本小题满分 10 分） 设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过点 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点, 求|AB|的值。 21. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴上,且抛物线上有一点 P(4,m)到焦点的距离为 6. 1 2 2 1 n i i i n i i x y nx y b x nx = = − ⋅ = − ∑ ∑ xbya −= (1)求抛物线 C 的方程; (2)若抛物线 C 与直线 y=kx-2 相交于不同的两点 A,B,且 AB 中点横坐标为 2,求 k 的值. 22.（本小题满分 12 分） 椭圆 C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点 F2（c，0）垂直于 x 轴的直 线与椭圆交于 A，B 两点且|AB|= ，又过左焦点 F1（-c，0）任作直线 l 交椭圆于点 M （1）求椭圆 C 的方程 （2）椭圆 C 上两点 A，B 关于直线 l 对称，求△AOB 面积的最大值． 数学答案 一、选择题:（每小题 5 分，共 60 分） 二、填空题:（每小题 5 分，共 20 分） 13．182 14．56 15． 16. 三、解答题： 17．(12 分) 解：(1)因为各组的频率和等于 1，故第四组的频率：f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋ 0.005)×10＝0.3. 其频率分布直方图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B B B D B A B C C A D 25 9 xy 22±= (2)依题意，60 分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.015 ＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75. 所以，估计这次考试的合格率是 75%. 利用组中值估算这次考试的平均分，可得： 45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6 ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71. 所以估计这次考试的平均分是 71 分． (3)[40,50)与[90.100]的人数分别是 6 和 3，所以从成绩是[40,50)与 [90,100]的学生中选两人，将[40,50]分数段的 6 人编号为 A1，A2，…A6 将 [90,100]分数段的 3 人编号为 B1，B2，B3，从中任取两人，则基本事件构成 集合 Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)…(A1，A6)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2， A3)，(A2，A4)，…，(B2，B3)}共有 36 个，其中，在同一分数段内的事件所 含基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)…(A1，A6)，(A2，A3)…(A5，A6)，(B1，B2)， (B1，B3)，(B2，B3)共 18 个，故概率 P＝ 18 36＝ 1 2. 18．(12 分) 解：（1） 设事件 A 为选出的 2 名教师性别相同 甲校的男老师用甲 1，甲 2 表示，女老师用甲 3 表示， 乙校的男老师用乙 1 表示，女老师用乙 2，乙 3 表示， 基本事件：（甲 1，乙 1），（甲 1，乙 2），（甲 1，乙 3），（甲 2，乙 1），（甲 2，乙 2），（甲 2，乙 3），（甲 3，乙 1），（甲 3，乙 2），（甲 3，乙 3） 事件 A 包含的基本事件有：（甲 1，乙 1），（甲 2，乙 1），（甲 3，乙 2），（甲 3，乙 3） 所以 P（A）= （2）设事件 B 为选出的 2 名教师来自同一所学校 9 4 基本事件：（甲 1，甲 2），（甲 1，甲 3），（甲 1，乙 1），（甲 1，乙 2），（甲 1， 乙 3），（甲 2，甲 3），（甲 2，乙 1），（甲 2，乙 2），（甲 2，乙 3），（甲 3，乙 1），（甲 3，乙 2）,(甲 3，乙 3)，（乙 1，乙 2），（乙 1，乙 3）（乙 2，乙 3） 事件 B 包含的基本事件：（甲 1，甲 2），（甲 1，甲 3），（甲 2，甲 3），（乙 1， 乙 2），（乙 1，乙 3）（乙 2，乙 3） 所以 P（B）= 19．(12 分)　 解：（1）散点图略 （2）由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近． 列出下表 i 1 2 3 4 5 xi 2 4 5 6 8 yi 30 40 60 50 70 xiyi 60 80 300 300 560 x2i 4 16 25 36 64 x－ ＝5　 y－ ＝50 6 ∑ i＝1 x2i＝145　　 6 ∑ i＝1 xiyi＝1380 于是可得 b＝6.5 a＝ y－ －b x－ ＝50-6.5X5=17.5 因此所求的回归直线的方程为： y^ ＝6.5x＋17.5. （3）63 20.（10 分）抛物线的焦点坐标为 F ,直线 AB 的斜率 k=tan 30°= ,所以直线 AB 的方程 为 y= x- .由 x2- x+ =0,所以 x1+x2= ,x1x2= .所以 |AB|= ·|x1-x2|= =12. 21. （12 分） (1)由题意设抛物线方程为 y2=2px(p>0),其准线方程为 x=- . ∵P(4,m)到焦点的距离等于 P 到准线的距离, 5 2 15 6 = ∴4+ =6,∴p=4,∴抛物线 C 的方程为 y2=8x. (2)由 消去 y,得 k2x2-(4k+8)x+4=0. ∵直线 y=kx-2 与抛物线相交于不同两点 A,B, 则有 k≠0,Δ=64(k+1)>0,解得 k>-1 且 k≠0. 又 =2, 解得 k=2 或 k=-1(舍去),∴k 的值为 2. 22.(12 分) 解：（1）由题意可知椭圆的通径丨 AB 丨= = ，① 椭圆的离心率 e= = = ，则 = ，② 由①②解得：a2=3，b2=2， ∴椭圆的标准方程为： ； （2）由（1）可知：左焦点 F1（-1，0）， 依题意直线 l 不垂直 x 轴，当直线 l 的斜率 k≠0 时，可设直线 l 的方程为：y=k（x+1） （k≠0） 则直线 AB 的方程为：y=- +b．A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立 ，整理得，（2k2+3）x2-6kmx+3k2m2-6k2=0， △=（6km）2-4×（2k2+3）（3k2m2-6k2）＞0，则 m2k2-2k2-3＜0， x1+x2= ，x1x2= ， 设 AB 的中点为 C（xC，yC），则 xC= = ，yC= ． 点 C 在直线 l 上，∴ =k（ +1），则 m=-2k- ，…② 此时 m2-2- =4k2+ +4＞0 与①矛盾，故 k≠0 时不成立． 当直线 l 的斜率 k=0 时，A（x0，y0），B（x0，-y0）（x0＞0，y0＞0） △AOB 面积 s= ×2y0×x0=x0y0． ∵ + =1≥2 = x0y0，∴x0y0≤ ． ∴△AOB 面积的最大值为 ，当且仅当 + = 时取等号． △AOB 面积的最大值 ．