甘肃省永昌四中2018-2019高二下学期期末考试数学（文）试题 含解析

甘肃省永昌四中2018-2019高二下学期期末考试数学（文）试题 含解析

永昌四中2018-2019-2期末考试试卷 第I卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。）‎ ‎1.已知集合 （ ）‎ A. {2} B. {2，3} C. {1,,3 } D. {1,2,3,4,5}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因 ,所以选C.‎ ‎2.计算的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的诱导公式，可得，即可求解.‎ ‎【详解】由，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，以及特殊角的三角函数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3.为了得到函数，只需要把图象上所有的点的 ( )‎ A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩小到原来的倍，横坐标不变 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】为了得到函数，只需要把图象上所有的点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，选A ‎4.当输入的值为，的值为时，下边程序运行的结果是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 执行程序，根据，即可得到运算的结果，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，当输入的值为，的值为时，则，此时输出，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了程序的运行、计算输出问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.同时掷两个骰子，则向上的点数之积是的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由同时掷两个骰子有种结果，再列举出点事之积为3所含的基本事件的个数， ‎ 根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意可知，同时掷两个骰子，共有种结果，‎ 其中向上的点数之积为3的有，共有2中情形，‎ 根据古典概型及其概率的计算公式，可得概率为，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据试验得到基本事件的总数，以及所求事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎6.在中，、、所对的边长分别是、、，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 在中，利用余弦定理，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】在中，由余弦定理可得，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的余弦定理，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎7.向量，则（ ）‎ A. B. ‎ C. 与的夹角为60° D. 与的夹角为30°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由，可得，所以，故选B．‎ 考点：向量的运算．‎ ‎8.已知等差数列中，，，则的值是(　　)‎ A. 15 B. ‎30 ‎C. 31 D. 64‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由等差数列的性质得，，，故选A.‎ ‎9.已知直线的点斜式方程是，那么此直线的倾斜角为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线的方程，求得直线的斜率，再由倾斜角与斜率的关系，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，直线的点斜式方程是，所以直线的斜率为，‎ 设直线的倾斜角为，则且，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线的点斜式方程，以及直线的斜率与倾斜角的求解，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎10.已知实数x、y满足，则的最小值等于 （ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由上图可得 ，故选A.‎ ‎11.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧图都是边长为的等边三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据给定几何体的三视图，可得该几何体表示一个底面半径为1，母线长为2的圆锥，利用圆锥体的体积公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示一个底面半径为1，母线长为2的圆锥，则圆锥的高为，‎ 所以该圆锥的体积为，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.‎ ‎12..函数的零点所在的区间是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的解析式，求得，利用零点的存在定理，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数，可得，‎ 即，‎ 根据零点的存在定理，可得函数零点所在的区间是，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中熟记函数零点的存在定理，合理判定是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎.第II卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）‎ ‎13.从56名男教师和42名女教师中，采用分层抽样的方法，抽出一个容量为14的样本．那么这个样本中的男教师的人数是　　　　　　.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给的男教师和女教师的人数,求出总人数,求出男教师所占比例,根据样本容量乘以比例即可得到所求.‎ ‎【详解】:某校有56名男教师和42名女教师 共有教师 样本容量为14  这个样本中的男教师的人数为 故答案为:8.‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是知道在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率相等,这是解题的依据.‎ ‎14.已知，，且，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式可得mn4，注意等号成立的条件即可．‎ ‎【详解】∵m＞0，n＞0，且m+n＝4，‎ ‎∴由基本不等式可得mn4，‎ 当且仅当m＝n＝2时，取等号，‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．‎ ‎15.若幂函数图象经过点，则的值是________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由条件得，即，所以。‎ ‎∴，‎ ‎∴。答案：‎ ‎16.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式，分和两种情况讨论，利用一次、二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数在上单调递增，‎ 当时，函数在上单调递增恒成立，满足题意；‎ 当时，则满足，解得，‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数单调性应用，其中解答中熟记一次函数、二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与计算能力，属于基础题.‎ 三、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共70分。）‎ ‎17.已知函数 ‎⑴求它的最小正周期和最大值；‎ ‎⑵求它的递增区间.‎ ‎【答案】（1）,（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简函数为，利用周期的公式以及三角函数的值域，即可求解；‎ ‎⑵由三角函数的图象与性质，可得，即可求解函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，‎ 所以函数的最小正周期为，‎ 又由，所以函数的最大值为.‎ ‎⑵由，解得，‎ 所以函数的单调递增区间为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式、正弦的倍角公式的化简，以及三角函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18.记等差数列的前n项和为,已知．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式;‎ ‎（Ⅱ）令,求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)因为数列是等差数列，所以根据等差数列的通项公式建立关于首项和公差的方程组，即可解得，从而写出通项公式； (Ⅱ)由题意，因为是等差数列与等比数列相乘的形式，所以采取错位相减的方法，注意错位相减后利用等比数列前项和公式，化简要准确得．‎ 试题解析：(Ⅰ)设等差数列的公差为d,由,‎ 可得, 即,‎ 解得, ∴,‎ 故所求等差数列的通项公式为 ‎(Ⅱ)依题意,,‎ ‎∴‎ ‎,‎ 又,‎ 两式相减得 ‎,‎ ‎∴‎ 考点：1、等差数列通项公式；2、等差数列的前项和；3、等比数列的前项和；4、错位相减法．‎ ‎19.在正方体中.‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）求异面直线与所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）60度.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正方体的性质，结合线面垂直的判定与性质加以证明，可得；（2）连结AD1、CD1，可证出四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，得∠D‎1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．等边△AD‎1C中求出∠D‎1AC=60°，即得异面直线AC与BC1所成角的大小．‎ ‎【详解】（1）∵正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥DD1， ∵正方形ABCD中，AC⊥BD，DD1∩BD=D， ∴AC⊥平面BDD1， ∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1； （2）连结AD1、CD1， ‎ ‎∵正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，AB//C1D1， ∴四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1， 由此可得∠D‎1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角． ∵△AD‎1C是等边三角形， ∴∠D‎1AC=60°，即异面直线与所成角的大小为60度. ‎ 本试题主要是考查了线线垂直的证明，以及异面直线所成角的大小的求解.‎ ‎20. 某市为节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，为了较为合理地确定居民日常用水量的标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），右表是100位居民月均用水量的频率分布表，根据右表解答下列问题：‎ 分组 ‎ 频数 ‎ 频率 ‎ ‎[0,1) ‎ ‎10 ‎ ‎0.10 ‎ ‎[1,2) ‎ ‎ ‎ ‎0.20 ‎ ‎[2,3) ‎ ‎30 ‎ ‎0.30 ‎ ‎[3,4) ‎ ‎20 ‎ ‎ ‎ ‎[4,5) ‎ ‎10 ‎ ‎0.10 ‎ ‎[5,6] ‎ ‎10 ‎ ‎0.10 ‎ 合计 ‎ ‎100 ‎ ‎1.00 ‎ ‎（1）求右表中和的值；‎ ‎（2）请将频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数.‎ ‎【答案】（1）=20;=0.20‎ ‎（2）‎ 众数为2.5‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解：(1)根据频数为100，那么累加可知30+20+10+10+10+a=100 得到=20; 2分 在根据频率和为1，可知0.10+0.20+0.30+0.10+0.10+b=1,=‎0.20. 4‎分 ‎(2) ‎ 根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数为2.5 8分 ‎（说明：第二问中补充直方图与求众数只要做对一个得2分，两个全对的4分.）‎ 考点：直方图 点评：主要是考查了频数表和直方图的运用，属于基础题。‎ ‎21.已知函数 ‎（1）求的定义域；‎ ‎（2）证明函数是奇函数.‎ ‎【答案】（1）（-1,1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用对数真数大于零列不等式求解；（2）利用奇偶性的定义可知函数为奇函数.‎ ‎【详解】由，得,‎ 即，‎ ‎，‎ 所以的定义域为（-1,1）.‎ ‎（2）因为 所以 故函数是奇函数.‎ 本试题主要是考查了函数的定义域和函数奇偶性的运用.‎ ‎22.已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（）．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线的距离的最小值；‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由圆C的圆心在坐标原点，且过点，求得圆的半径，利用圆的标准方程，即可求解；‎ ‎（2）由点到直线的距离公式，求得圆心到直线l的距离为，进而得到点P到直线的距离的最小值为，得出答案.‎ ‎【详解】（1）由题意，圆C的圆心在坐标原点，且过点，‎ 所以圆C的半径为，所以圆C的方程为.‎ ‎（2）由题意，圆心到直线l的距离为，‎ 所以P到直线的距离的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.‎