山东省济宁市2020届高三高考模拟考试（6月）数学试题

山东省济宁市2020届高三高考模拟考试（6月）数学试题

2019—2020 学年度高考模拟考试 数学试题 2020.06 注意事项： 1．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号在答题卡上涂写清楚； 2．第 I 卷，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案母号，在试题卷上作答无效． 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共，40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求. 1．已知集合 A. B. C. D. 2．i 为虚数单位，复数 ，复数 z 的共轭复数为 ，则 的虚部为 A.i B. C. D.1 3．设 是非零向量，“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在 的展开式中，常数项为 A． B. C． D． 5．函数 的图象大致为 { } { }2 5 , 3, 2,1,2,4A x x B A B= < = − − ∩ =，则 { }2 2− ， { }2 2− ，1， { }21,3,2− ， 5, 5 −  2 11 2 iz ii += + +− z z 2i− 2− ,a b 0a b⋅ = a b⊥ ( )61 32x xx  − +   15 2 − 15 2 5 2 − 5 2 ( ) 1cos sin 1 x x ef x x e  −= ⋅  +  6．设 则有 A． B． C． D． 7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一， 所得开立方除之，即立圆径。“开立圆术”相当给出了一个已知球的体积 V，求这个球的 直径 d 的近似公式，即 ．随着人们对圆周率 π 值的认知越来越精确，还总结 出了其他类似的近似公式．若取 ，试判断下列近似公式中最精确的一个是 A. B. C. D. 8．已知抛物线 的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线 C 的两个交点分别为 A， B，且满足 为 AB 的中点，则点 E 到抛物线准线的距离为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．下列说法正确的是 A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B．某地气象局预报：6 月 9 日本地降水概率为 90％，结果这天没下雨，这表明天气预报 并不科学 C．回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 D．在回归直线方程 中，当解释变量每增加 1 个单位时，预报变量多增加 0.1 个单位 10．线段 AB 为圆 O 的直径，点 E，F 在圆 O 上，AB∥ EF，矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所在平面垂直，且 ．则 A．DF∥平面 BCE B．异面直线 BF 与 DC 所成的角为 30° C．△EFC 为直角三角形 D． 0.3 2 1 1 1log ,4 3 2a b  = =    a b ab+ > a b ab+ < a b ab+ = a b ab− = 3 16 9d V≈ 3.14π = 3 2d V≈ 3 16 9d V≈ 3 20 11d V≈ 3 21 11d V≈ 2: 4C y x= 2 ,AF FB E=  11 4 9 4 5 2 5 4  0.1 10y x= + 2, 1AB AD EF= = = 1:4C BEF F ABCDV V− − =： 11．已知函数 ，其中 表示不超过实数 x 的最大整数， 下列关于 结论正确的是 A． B． 的一个周期是 C． 在 上单调递减 D． 的最大值大于 12．已知直线 分别与函数 的图象交于点 ， 则下列结论正确的是 A． B. C． D． 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知 __________． 14．在平行四边形 ABCD 中， ，则 __________. 15．5 人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是__________．(用 数字作答)；5 人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________(用数字作 答)(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 16．设双曲线 的左、右焦点分别为 作 轴 的 垂 线 ， 与 双 曲 线 在 第 一 象 限 的 交 点 为 A ， 点 Q 坐 标 为 且 满 足 ，若在双曲线 C 的右支上存在点 P 使得 成立，则双曲 线的离心率的取值范围是___________. ( ) [ ] [ ]sin cos cos sinf x x x= + [ ]x ( )f x cos12f π  =   ( )f x 2π ( )f x ( )0,π ( )f x 2 2y x= − + lnxy e y x= 和 = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 2x x+ = 1 2 2x xe e e+ > 1 2 2 1ln ln 0x x x x+ < 1 2 2 ex x > ( ) sin costan 2 sin cos α απ α α α +− = =−，则 6, 3,.AD AB= = 1 160 , ,2 2DAB DE EC BF FC∠ = = =     2FG GE= 若 =AG BD   ( )2 2 2 2 1 0x yC a ba b − = > 0, >： 1 2 1 2 2, , 2 ,F F F F c F= 过 x 3, 2 ac     2 2F Q F A> 1 1 2 7 6PF PQ F F+ < 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤． 17.(10 分)如图，在四边形 ABCD 中， ，___________，DC=2 在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．(选出一种可行 的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分) ① ；② ； ③ (I)求 的大小； (Ⅱ)求△ADC 面积的最大值． 18．(12 分)如图 1，四边形 ABCD 为矩形，BC=2AB，E 为 AD 的中点，将△ABE、△DCE 分别沿 BE、CE 折起得图 2，使得平面 平面 BCE，平面 平面 BCE． (I)求证：平面 平面 DCE； (II)若 F 为线段 BC 的中点，求直线 FA 与平面 ADE 所成角的正弦值． 19．(12 分)已知数列 的各项均为正数，其前 项和 ． (I)求数列 的通项公式 an； (Ⅱ)设 ；若称使数列 的前 项和为整数的正整数 为“优化数”，试 求区间(0，2020)内所有“优化数”的和 S． AB AD⊥ 23 4 ,sin 3AB BC ACB= ∠ = tan 36BAC π ∠ + =   2 cos 2 3BC ACB AC AB∠ = − DAC∠ ABE ⊥ DCE ⊥ ABE ⊥ { }na n ( )1 ,2 n n n a aS n N ∗+= ∈ { }na 2 2log 1 n n n ab a += + { }nb n n 20．(12 分)过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段．目前“精准扶贫”覆 盖了全部贫困人口，东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成．到 2020 年底全国 830 个贫困县都将脱贫摘帽，最后 4335 万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去 30 年脱贫人口总和．2020 年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该 强调“精准”．为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一 种新的经济农作物，并指导该农户于 2020 年初开始种植．已知该经济农作物每年每亩的 种植成本为 1000 元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具 有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表： (I)设 2020 年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为 X 元，求 X 的分布列； (Ⅱ)若该农户从 2020 年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本 不变，求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于 16000 元的概率； (Ⅲ)2020 年全国脱贫标准约为人均纯收入 4000 元．假设该农户是一个四口之家，且该农 户在 2020 年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入， 预测该农户在 2020 年底可以脱贫?并说明理由． 21．(12 分)已知点 F 为椭圆 的右焦点，点 A 为椭圆的右顶点． (I)求过点 F、A 且和直线 相切的圆 C 的方程； (Ⅱ)过点 F 任作一条不与 轴重合的直线 ，直线 与椭圆交于 P，Q 两点，直线 PA，QA 分别与直线 相交于点 M，N．试证明：以线段 MN 为直径的圆恒过点 F． 22．(12 分)已知函数 ． (I)若曲线 处的切线方程为 ，求 的值； (Ⅱ)求函数 的极值点； (Ⅲ)设 ，若当 时，不等式 恒成立， 求 的最小值． 2 2 19 8 x y+ = 9x = x l l 9x = ( ) lnf x x a x= − ( ) ( ), 1y f x b a b R x= + ∈ =在 3 0x y+ − = ,a b ( ) ( ) ( )1ag x f x a Rx += + ∈ ( ) ( ) ( )1 ln 0x xh x f x ae a aa a = + − + > x a> ( ) 0h x ≥ a 2019—2020 学年度高考模拟考试 数学参考答案 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1—4：BCCA 5—8：CADB 二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分） 9.CD 10.BD 11.ABD 12ABC 三、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 14.21 15.72 16. （注：15 题第一个空 2 分，第二个空 3 分）. 四、解答题 17.（10 分）（I）解：若选①在 ，由正弦定理可得： ………………………………………………………………………………………………1 分 又 可得： ………………3 分 又 ；…………………………………4 分 （II）在 ，由余弦定理可得： …………………………………………6 分 即 ……………………………………………………………………………8 分 …………………………………10 分 当且仅当 时取“=” 若选择② （I）由 可得： ，………………………………2 分 又 所以 ；…………………………………4 分 1 3 3 10 3 10,2 2       ABC∆ sin sin AB BC ACB BAC =∠ ∠ 23 4 ,sin 3AB BC ACB= ∠ = 1sin ,2 6BAC BAC π∠ = ∴∠ = 2 3AB AD BAD DAC π π⊥ ∠ = ∠ =所以 ，所以 =2ACD DC∆ 中， 2 2 24DC AC AD AC AD AC AD= = + − ≥  4AC AD ≤ 1 1 3sin 4 32 2 2ADCS AC AD DAC∆∴ = ∠ ≤ × × = AC AD= tan 36BAC π ∠ + =   6BAC π∴∠ = AB AD⊥ 2 3BAD DAC π π∠ = ∠ =，所以 （II）在 ，由余弦定理可得： …………………………………………6 分 即 ……………………………………………………………………………8 分 …………………………………10 分 当且仅当 时取“=”. 若选③（I） ，由正弦定理得： ………………………………1 分 可得： ，………………………………………3 分 又 所以 ；………………………………4 分 （II）在 ，由余弦定理可得： ………………………………………6 分 即 …………………………………………………………………………8 分 ………………………………10 分 当且仅当 时取“=” 18. （ 12 分 ） 解 ： （ I ） 证 明 ： 在 图 1 中 ， BC=2AB ， 且 E 为 AB 的 中 点 ， ，同理 所以 ， ………………………………………………………………………………………………2 分 又平面 平面 BCE，平面 平面 ， 所以 平面 ABE，……………………………………………………………………4 分 又 ，所以平面 平面 DCE……………………………………5 分 （II）由题意可知以 E 为坐标原点，EB,EC 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐 2ACD DC∆ =中， 2 2 24DC AC AD AC AD AC AD= = + − ≥  4AC AD ≤ 1 1 3sin 4 32 2 2ADCS AC AD DAC∆∴ = ∠ ≤ × × = AC AD= 2 cos 2 3BC ACB AC AB∠ = − 2sin cos 2sin 3sinBAC ACB ABC ACB∠ ∠ = ∠ − ∠ ( )2sin cos 2sin 3sinBAC ACB ABC BAC ACB∠ ∠ = ∠ + ∠ − ∠ 3cos 2 6BAC BAC π∠ = ∠ =，所以 AB AD⊥ 2 3BAD DAC π π∠ = ∠ =，所以 2ACD DC∆ =中， 2 2 24DC AC AD AC AD AC AD= = + − ≥  4AC AD ≤ 1 1 3sin 4 32 2 2ADCS AC AD DAC∆∴ = ∠ ≤ × × = AC AD= ,AE AB AEB∴ = ∴∠ 45°= 45DEC∠ =  90CEB BE CE∠ = ∴ ⊥ ABE ⊥ ABE ∩ BCE BE= CE ⊥ CE DCE⊂ 平面 ABE ⊥ ,x y轴 标系，设 则 ………………………………………………………………………………………………6 分 向量 ，设平面 ADE 的法向量为 由 ， 得平面 ADE 的一个法向量为 ，…………8 分 又 …………………………………10 分 设直线 FA 与平面 ADE 所成角为 ， 则 直线 FA 与平面 ADE 所成角的正弦值为 ……………………………………………12 分 19.（12 分）解：（I）由数列 的前 知 当 ，所以 …………………………………………………2 分 当 整理得： 1AB = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 20,0,0 , 2,0,0 , 0, 2,0 , ,0, , 0, ,02 2 2 2 2 2E B C A D F                       ， ， ， 2 2 2 2,0, , 0, ,2 2 2 2EA ED    = =            ( ), ,n x y z= 0 0 100 n EA x z zy zn ED  = + = =  + ==      得 ，令 ( )1, 1,1n = − − 2 20, ,2 2FA  = −     θ 2 6sin 31 3 FA n FA n θ = = = ×   6 3 { }na ( )1 2 n n n a an S +=和 ( )1 1 1 1 1 11 = ,2 a an S a S += =时， ( )1 1 11 0 0a a a∴ − = >，又 1 1a = ( ) ( )1 1 1 1 11 , 2 2 n n n n n n n a a a an a S S − − − + +> = − = −时 ( )( )1 1 1 0n n n na a a a− −+ − − = 因为 ，所以有 …………………………………………………4 分 所以数列 是首项 ，公差 的等差数列 数列 的通项公式为 …………………………………………6 分 （II）由 知： 数列 的前 项和为 ………………………………………8 分 令 则有 由 ……………………………………………10 分 所以区间 内所有“优化数”的和为 ………………12 分 20.（12 分）解：（I）由题意知： ， ， 所以 X 的所有可能取值为：23000，17000，12500……………………………………1 分 设 A 表示事件“作物产量为 900kg”，则 ； 1 0n na a −+ > 1 1n na a −− = { }na 1 1a = 1d = { }na ( )1 1na a n d n= + − = na n= 2 2 +2 2log log1 1 n n n a nb a n += =+ + { }nb n 1 2 3 2 2 2 2 3 4 5 2log log log log2 3 4 1n nb b b b n ++ + +⋅⋅⋅+ = + + +⋅⋅⋅+ + ( )2 2 3 4 5 2log log 2 12 3 4 1 n nn + = × × ×⋅⋅⋅× = + − +  ( )1 2 3 nb b b b k k Z+ + +⋅⋅⋅ = ∈ ( ) 1 2log 2 1 , 2 2kn k n ++ − = = − ( )0,2020 , 10n k Z k k N ∗∈ ∈ < ∈知， 且 ( )0,2020 ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 102 2 2 2 2 2 2 2S −= − + − + − +⋅⋅⋅+ − ( ) ( )2 9 2 3 4 10 112 1 2 2 2 2 2 18 18 2 22 20261 2 − = + + +⋅⋅⋅+ − = − = − =− 1200 20 1000 23000,1200 15 1000 17000× − = × − = 900 20 1000 17000,900 15 1000 12500× − = × − = ( ) 0.5P A = B 表示事件“作物市场价格为 15 元/kg”，则 . 则： ……………………………6 分 ………3 分 ，…………………………………………4 分 所以 X 的分布列为： ………………………………………………………………………………………………5 分 （II）设 C 表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于 16000 元”， 则 ， … 6 分 设这三年中有 Y 年的纯收入不少于 16000 元， 则有： ………………………………………………………………………7 分 所以这三年中至少有两年的纯收入不少于 16000 元的概率为 .…………………………………9 分 （III）由（I）知，2020 年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为 （元）…………………10 分 ……………………………………………………………………………11 分 凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准， 所以，能预测该农户在 2020 年底可以脱贫。…………………………………………12 分 21.（12 分）解：（I）由已知得： …………………………………………………………………………1 分 圆 C 的圆心一定在线段 AF 中垂线 上……………………………………2 ( ) 0.4P B = ( ) ( ) ( )( )23000 1 0.5 1 0.4 0.3P X P A B= = = − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )17000 1 0.5 0.4 0.5 1 0.4 0.5P X P A B P A B= = = + = − + − =    ( ) ( )12500 0.5 0.4 0.2P X P A B= = = × = ( ) ( ) ( ) ( )16000 23000 17000 0.3 0.5 0.8P C P X P X P X= > = = + = = + = ( )~ 3,0.8Y B ( ) 3 3 2 2 3 32 0.8 0.8 0.2 0.896P P Y C C= ≥ = × + × × = ( ) 23000 0.3 17000 0.5 12500 0.2 17900E X = × + × + × = 17900 40004 > 3, 2 2, 1a b c= = = ( ) ( )3,0 , 1,0A F∴ ∴ 1 3 22x += = 分 由圆 C 与直线 相切，得：圆 C 的半径 ………………………………3 分 设圆 C 的圆心坐标为 ，则有： ， 即圆心 ………………………………………………………………………4 分 圆 C 的方程为： …………………………………………5 分 （II）证明：当直线 斜率不存在时，其方程为 ，可求得 M,N 两点坐标分别为 的斜率之积为： .………………………………………………………………………………6 分 当直线 斜率存在时，设直线 的方程为： 联立方程组： ， 消去 整理得： ……………………………………………………8 分 又设 由 P,A,M 共线得： ， 由 Q,A,N 共线得： ，……………………………………9 分 所以 FM,FN 的斜率之积为： 9x = 9 2 7r = − = ( )2,C m ( ) ( )2 23 2 0 7, 4 3r AC m m= = − + − = = ± ( )2, 4 3C ± ∴ ( ) ( )222 4 3 49x y− + ± = l 1x = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )9,8 , 9, 8 9, 8 , 9,8 , 1 0M N M N F− −或 又 ， ,FM FN∴ 8 0 8 0 19 1 9 1FM FNk k − − −⋅ = ⋅ = −− − FM FN∴ ⊥ l l ( ) ( ) ( )1 1 2 21 , , , ,y k x P x y Q x y= − ( ) 2 2 1 19 8 y k x x y  = −  + = y ( )2 2 2 28 9 18 9 72 0k x k x k+ − + − = 2 2 1 2 1 22 2 18 9 72,8 9 8 9 k kx x x xk k −∴ + = =+ + ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1y y k x k x k x x x x= − ⋅ − = − + +   ( ) ( )9, , 9,M NM y N y 1 1 1 1 0 0 6,3 9 3 3 M M y y yyx x − −= =− − − 2 2 2 2 0 0 6,3 9 3 3 N N y y yyx x − −= =− − − ……10 分 ………………………………………………………………………………11 分 综上可知：恒有 . 以线段 MN 为直径的圆恒过点 F.………………………………………………………12 分 22.（12 分）解：（I）由 ………………………………………………………………………1 分 由已知可得： ………………………………………………2 分 ………………………………………………………………………………3 分 （II） …………………………………4 分 所以：当 上为增函数，无极值点…… ………………………………………………………………………………………………5 分 当 时， 则有：当 ， 为减函数，在 上为增函数， 所以， 极小值点，无极大值点；………………………………………6 分 综上可知：当 时，函数 无极值点， ( )( )1 2 1 2 0 0 9 9 1 9 1 64 16 3 3 M N M N FM FN y y y y y yk k x x − −⋅ = ⋅ = =− − − − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 22 2 1 2 1 2 2 2 9 72 189 19 1 8 9 8 9 64 9 116 3 9 16 369 72 3 1816 98 9 8 9 k kkk x x x x k k k x x x x kk k k k  − − + − + +  + + − ×   = = = = −− + +   ×  − ×  − + + +  FM FN∴ ⊥ FM FN⊥ ∴ ( ) ln lnf x x a x y x a x b= − = − +得： ( ) 1 ay f x x ′ ′∴ = = − ( ) ( ) 1 1 1 1 1 21 2 f a bf b ′ = − − = −  + =+ =  即 2, 1a b∴ = = ( ) ( ) 1 1lna ag x f x x a xx x + += + = − + ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 111 0x x aa ag x xx x x + − + +  ′∴ = − − = > ( ) ( ) ( )1 0 1 0, 0a a g x g x′+ ≤ ≤ − > + ∞，即 时， 在 ， 1 0 1a a+ > > −，即 ( ) ( )0 1 0 1 0x a g x x a g x′ ′< < + < > + >时， ，当 时， ( ) ( )0 1g x a∴ +在 ， ( )1,a + +∞ ( )1x a g x= + 是 1a ≤ − ( )g x 当 时，函数 的极小值点是 ，无极大值点。…………………………7 分 （III） 由题意知：当 恒成立 又不等式 等价于： 即 ①………………………………………………………………………8 分 方法（一） ①式等价于 …………………………………………………………………9 分 由 令 ，则原不等式即为： 又 在 上为增函数 所以，原不等式等价于： ， ② 又②式等价于 ，说即： ……………………………………10 分 方法（二） 由 知：①式等价于 即： ……………………………………………………………9 分 设 ，则原不等式即为： 又 上为增函数 1a > − ( )g x 1a + ( ) ( ) ( )1 ln ln ln 0x xxh x f x ae a ae x a aa a = + − + = − + > ln ln 0xx a ae x a> − + ≥时， ln ln 0xae x a− + ≥ 1ln lnx xx xae ea a a ≥ ≥，即 lnx x xxe a a ≥ ln ln x x axxe ea ≥ 0 1 ln 0x xx a a a > > > >知： ， ( ) ( )0xx xe xϕ = > ( ) ln xx a ϕ ϕ  ≥    ( ) ( )0xx xe xϕ = > ( )0,+∞ ln xx a ≥ x xe a ≥ ( )0x xa x ae ≥ > > 0 1,ln 0x xx a a a > > > >知： ( )ln ln lnx x xxe a a  ≥    ln ln ln lnx xx x a a  + ≥ +    ( ) ( )ln 0x x x xϕ = + > ( ) ln xx a ϕ ϕ  ≥    ( ) ( ) ( )ln 0 0x x x xϕ = + > + ∞在 ， 所以，原不等式等价于： ， ② 又②式等价于 ，亦即： ……………………………………10 分 方法（一） 设 上为增函数，在 上为减函数， 又 当 上为增函数，在 上为减函数 ………………………………………………………………………11 分 要使原不等式恒成立，须使 ， 当 时，则 在 上为减函数， 要使原不等式恒成立，须使 ， 时，原不等式恒成立 综上可知： 的取值范围是 所以， 的最小值为 .……………………………………………………………………12 分 方法（二） 又②式等价于： ……………………………………10 分 设 上为增函数，在 上为减函数， 又 当 上为增函数，在 上为减函数 ……………………………………………………………………11 分 ln xx a ≥ x xe a ≥ ( )0x xa x ae ≥ > > ( ) ( ) ( ) 10x x x xF x x F xe e −′= > =，则 ( ) ( )01F x∴ 在 ， ( )1 + ∞， 0x a> > ∴ ( ) ( )0 1 ,1a F x a< < 时， 在 ( )1,+∞ ( ) ( ) 11F x F e ∴ ≤ = 1 1ae ≤ < 1a ≥ ( )F x ( ),a +∞ ( ) ( ) 11F x F e < = 1a e ≥ 1a∴ ≥ a 1,e  +∞  a 1 e ln ln ln lnx x a a x x≥ − ≥ −，即 ( ) ( ) ( ) 1ln 0 xF x x x x F x x −′= − > =，则 ( ) ( )01F x∴ 在 ， ( )1 + ∞， 0x a> > ∴ ( ) ( )0 1 ,1a F x a< < 时， 在 ( )1,+∞ ( ) ( )1 1F x F∴ ≤ = − 要使原不等式恒成立，须使 当 上为减函数， 要使原不等式恒成立，须使 又 时不等式成立 综上可知： 所以， 的最小值为 .……………………………………………………………………12 分 11 ln 0 1a ae − ≤ < ≤ <，即 ( ) ( )1 ,a F x a≥ +∞时， 在 ( ) ( ) ( )1 1F x F a F∴ < ≤ = − ln 1a ≥ − 1,ln 0, 1a a a≥ ≥ ∴ ≥当 ∴ 1a e ≥ a 1 e