2013-2017高考数学分类汇编-文科 第四章 三角函数 第2节 三角函数的图像与性质

2013-2017高考数学分类汇编-文科 第四章 三角函数 第2节 三角函数的图像与性质

第四章 三角函数 第2节 三角函数的图像与性质 题型51 已知解析式确定函数性质 ‎1.（2013浙江文6）函数的最小正周期和振幅分别是 A. B. C. D. ‎ ‎1.分析 把函数的解析式化简为只含一个三角函数名的三角函数式，再求周期和振幅.‎ 解析 ，所以最小正周期为，振幅.故选A.‎ ‎2.（2013江苏1）函数的最小正周期为 .‎ ‎2.分析 利用函数的周期公式求解.‎ 解析 函数的最小正周期.‎ ‎3.（2014陕西文2）函数的最小正周期是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎4.（2014新课标Ⅰ文7）在函数①，②，③，‎ ④中，最小正周期为的所有函数为（ ）‎ ‎ A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③‎ ‎5.（2014天津文8）已知函数在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎6. （2014山东文12）函数的最小正周期为　 　.‎ ‎7.（2014福建文18）（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎8.（2015四川文5）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8.解析 由，可知选项A，B，C的周期都是，选项D的周期为.‎ 通过化简可得，选项A：，为偶函数；‎ 选项B为：，为奇函数；‎ 选项C为：，为非奇非偶函数.故选B.‎ ‎9.（2015全国1文8）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）.‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9.解析 由图可知，得，.‎ 画出图中的一条对称轴，如图所示.‎ 由图可知，则，‎ 可得，‎ 则，‎ 得.‎ 由，‎ 得.故选D.‎ ‎4.（2015湖南文）已知，在函数与的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则 .‎ ‎4.解析 令，解得和，.‎ ‎，，‎ 所以交点的坐标为，..‎ 距离最短的两个交点一定在同一个周期内，‎ 所以，解得.‎ ‎5.（2015浙江文）函数的最小正周期是 ，最小值是 ．‎ ‎5.解析 ，‎ 所以，.‎ ‎6.（2015天津文）已知函数 若函数在区间 内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为 ．‎ ‎6.解析 由在区间内单调递增，且的图像关于直线对称，‎ 可得 ，即，且，‎ 所以 ‎ ‎7.（2015安徽文）已知函数 ‎（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎7.解析 （1）因为 ‎，所以的最小正周期.‎ ‎（2）因为，所以，则，‎ 所以，.‎ ‎8.（2015北京文）已知函数 ‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的最小值.‎ ‎8. 解析 （1）‎ ‎，函数的最小正周期.‎ ‎（2）当（1）知，当，，，，‎ 函数在区间上的最小值为.‎ ‎9.（2016浙江文3）函数的图像是（ ）.‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9. D解析 易知为偶函数，所以它的图像关于轴对称，排除A，C选项；‎ 当，即时，，排除B选项.故选D.‎ ‎10.（2016上海文8）方程在区间上的解为 .‎ ‎10.， 解析 ，即，‎ 所以，故.由于，故，.‎ ‎11.（2016江苏9）定义在区间上的函数的图像与的图像的交点个数是 .‎ ‎11.解析 解法一（图像法）：画出函数图像草图，如图所示.共个交点.‎ 解法二（解方程）：即解方程，即.‎ 所以或，由.‎ 当时，；当时，.‎ 共个根，即共个交点.‎ ‎12.（2016山东文17）设.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求的值.‎ ‎12.解析 （1）由，‎ 由，得，‎ 所以的单调递增区间是，（或写为）.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），‎ 得到的图像， ‎ 再把得到的图像向左平移个单位，得到的图像，‎ 即所以 ‎13.（2017全国2文3）函数的最小正周期为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎13.解析 由题意，.故选C.‎ ‎14.（2017山东文7）函数的最小正周期为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎14.解析 由题意，得，其最小正周期.故选C.‎ ‎15.（2017浙江18）已知函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎15.解析 （1）由，，得.‎ ‎（2）由，，得，所以的最小正周期是.‎ 由正弦函数的性质得，解得.‎ 所以的单调递增区间是.‎ 题型52 函数的值域(最值) ‎ ‎1. (2013天津文6）函数在区间上的最小值是( ).‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎1.分析：确定出的范围，根据正弦函数的单调性求出最小值.‎ 解析 因为所以所以当时，有最小值故选B.‎ ‎ 2.（2013江西文13）设，若对任意实数都有，则实数 的取值范围是 .‎ 2. 解析 由于，则，要使恒成立，则.答案.‎ ‎3. (2013陕西文14）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长为 .‎ ‎3.解析 设矩形花园的宽为m，则，即,矩形花园的面积，当m时，面积最大．‎ ‎4. （2013江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，.‎ C B A ‎（1）求索道的长；‎ ‎（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ 4. 分析 （1）由，的值可求得的值，然后在 ‎ 中利用正弦定理可得的长度；（2）利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的 ‎ ‎ 函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离.（3）利用正弦定理求出的长，再根据题 ‎ ‎ 意列不等式求解.‎ 解析 （1）在中，因为，，所以.从而.‎ 由正弦定理，得.‎ 所以索道的长为.‎ ‎（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，所以由余弦定理得 由于，即，故当时，甲、乙两游客距离最短.‎ ‎（3）由正弦定理，得.‎ 乙从出发时，甲已走了，还需走才能到达.‎ 设乙步行的速度为，由题意得，解得，‎ 所以为使两游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在范围内. ‎ ‎ 5.（2013山东文18）设函数，且 ‎ ‎ 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．‎ ‎（1） 求的值；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎5.分析 （1）先利用倍角公式，两角和、差的三角公式把函数的解析式进行化简整理，‎ 再利用对称中心到最近的对称轴的距离为求出；（2）先根据的取值范围求出 的取值范围，然后利用三角函数的图象，并结合其单调性求出的最值.‎ 解析 （1）‎ ‎.‎ 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又，所以.因此.‎ ‎（2）由（1）知.‎ 当时，.‎ 所以.因此.‎ 故在区间上的最大值和最小值分别为，.‎ ‎6. (2013安徽文16）设函数.‎ ‎（1）求的最小值，并求使 取得最小值的集合；‎ ‎（2）不画图，说明函数的图象可由的图象经过怎样变化得到.‎ ‎6. 分析 （1）先逆用两角和正弦公式把化成关于一个角的三角函数，再利用正弦函 数性质计算；（2）利用三角函数图象的变换规律求解.‎ 解析 （1）因为.‎ 所以当，即时，取得最小值.‎ 此时的取值集合为.‎ ‎（2）先将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得 的图象；再将的图象上所有的点向左平移个单位，得的图象.‎ ‎7. (2013陕西文16）已知向量，设函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在上的最大值和最小值.‎ ‎7.分析 利用向量数量积运算及辅助角公式将化为一个角的一种三角函数，利用公式 确定周期；利用正弦函数的性质确定最值．‎ 解析 ‎ ‎.‎ ‎（1）的最小正周期为，即函数的最小正周期为.‎ ‎（2）因为，所以.由正弦函数的性质，得 当，即时，取得最大值；当，即时，；‎ 当，即时，，所以的最小值为.‎ 因此，在上的最大值是，最小值是．‎ ‎8. (2013重庆文18）在中，内角的对边分别是，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设为的面积，求的最大值，并指出此时的值.‎ ‎8.分析 利用正、余弦定理及差角三角函数直接运算解答.‎ 解析 （1）由余弦定理得.‎ 又因为，所以.‎ ‎（2）由（1）得.又由正弦定理及得 ‎，‎ 因此，.‎ 所以，当，即时，取最大值.‎ ‎9.（2013辽宁文17） 设向量.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）设函数，求的最大值.‎ ‎9.分析 分别表示两向量的模，利用相等求解的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一 个角的一种函数求解.‎ 解析 （1）由，，及，得.‎ 又，从而，所以.‎ ‎（2），‎ 当时，取最大值．‎ 所以的最大值为．‎ ‎10.（2014新课标Ⅱ文14）函数的最大值为 . ‎11.（2014江苏14）若的内角满足，则的最小值是 ．‎ ‎12.（2014北京文16）（本小题满分13分）函数的部分图像如图所示.‎ ‎（1）写出的最小正周期及图中，的值；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎12. 解析 （I）的最小正周期为..‎ ‎（II）因为，所以.于是，当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值.‎ 评注 本题主要考查函数的图像和性质，熟练掌握三角函数的图像是解题的关键，属基础题.‎ ‎13．（2014湖北文18）（本小题满分12分）‎ 某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：‎ ‎，.‎ ‎（Ⅰ）求实验室这一天上午时的温度；‎ ‎（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差. ‎ ‎14.（2016全国甲文11）函数的最大值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎14. B 解析 ，‎ 所以当时，取得最大值.故选B.‎ ‎15.（2016江苏14）在锐角三角形中，若，则的最小值是 .‎ ‎15.分析 求解多元最值问题，首要的关键是考虑如何消参.‎ 解析 解法一：由 （*）‎ 由三角形为锐角三角形，则，‎ 同时除以得.‎ 又，所以.‎ 故，‎ 不妨设，故，‎ 所以当，即时，.‎ 此时，，‎ 解得（或互换），‎ 此时均为锐角，满足条件. ‎ 解法二：由解法一部分可知，‎ 在锐角三角形中，，‎ 而，即，‎ 从而（这个公式课本中作为例题出现要求证明）.‎ 故，‎ 整理得，当且仅当，，‎ 解得（或互换），‎ 此时均为锐角，满足条件. ‎ 评注 从表面此题看似等价，但构造等腰三角形求解出的最值却不正确，因此等价的思想也需慎用.如果注意到此题的结构，我们优先考虑切化弦，且优先考虑搭配，‎ 则有：解法三：‎ ‎（因为）.最后检验一下是否存在即可.‎ ‎16.（2017全国2文13）函数的最大值为 . ‎ ‎16.解析 因为，所以.‎ ‎17.（2017全国3文6）函数的最大值为（ ）.‎ A． B．1 C． D． ‎ ‎17.解析 ‎ ‎.故选A.‎ 评注 ‎ 本题属于中档题，基础差一点的学生在解题思路方面可能会存在一定问题，三角恒等变换中公式的选择对于学生来说是一个难点，对于老师教学来说是一个重点，选择合适的公式能起到事半功倍的效果！‎ ‎18.（2017江苏16）已知向量，，．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．‎ ‎ 18.解析 （1）因为，，，所以，‎ 若，则，与矛盾，因此．‎ 所以，由，所以．‎ ‎（2）．‎ 因为，所以，所以．‎ 所以当，即时，的最大值为；‎ 当，即时，的最小值为．‎ 题型53 根据条件确定解析式 ‎1. （2013四川文6）函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎1.分析 借助三角函数的图象和性质求解.‎ 解析 因为所以.‎ 又，所以，所以.‎ 由五点作图法可知当时，，即，所以.‎ 故选A.‎ ‎2.（2014江苏5）已知函数与，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是 ．‎ ‎3.（2014大纲文16）直线和是圆的两条切线，若与的交点为（1，3），则与的夹角的正切值等于 .‎ ‎4.（2016全国甲文3）函数的部分图像如图所示，则（ ）.‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4.A 解析 解法一：当时，，排除C，D.当时，，代入A满足.故选A.‎ ‎5.（2016上海文17）设，.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎5.解析 ①当时，则；②当时，则.共组.故选B.‎ 评注 事实上确定了，则能唯一确定，因此共组.‎ ‎6.（2016天津文8）已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎6. D解析 由题意.‎ 由，即，得.‎ 又，因此，‎ 所以.故选D.‎ ‎7.（2016全国乙文12）若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎7. C解析 问题转化为对恒成立，‎ 故，即恒成立.‎ 令，得对恒成立.‎ 解法一：构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得.故选C.‎ 解法二：①当时，不等式恒成立；‎ ②当时，恒成立，由在上单调递增，‎ 所以，故；‎ ③当时，恒成立.由在上单调递增，‎ ‎，所以.‎ 综上可得，.故选C.‎ 评注 曾经谈到必要条件的问题，如取，则转化为，因此直接选择C选项.这缘于运气好，若不然取，则式子恒成立；取，则，此时只能排除A选项.此外，可在未解题之前取，此时，则，但此时，不具备在上单调递增，直接排除A，B，D.故选C. ‎ ‎8. （2016浙江文11）已知，则________，________.‎ ‎8. ； 解析 ，所以，.‎ ‎9.（2016上海文5）若函数的最大值为，则常数 .‎ ‎9.解析 由辅助角公式可知函数的最大值为，故.‎ ‎10.（2016北京文16）已知函数的最小正周期为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的单调递增区间. ‎ ‎10.解析 （1）因为，‎ 所以的最小正周期.依题意，解得.‎ ‎（2）由（1）知，.函数的单调递增区间为.‎ 由，得. ‎ 所以的单调递增区间为.‎ ‎11.（2017天津文7）设函数，其中.若，，且的最小正周期大于，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎11.解析 解法一：由题意，得，其中，所以.又，所以，所以，，由，得.故选A．‎ 解法二：由，，知，所以.又的最小正周期，故，，，所以将代入，得，，，解得.‎ 题型54 三角函数图像变换 ‎1. （2013湖北文6）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎1.分析 先将函数解析式化简，再写出平移后的解析式，然后根据函数为偶函数求得的值.‎ 解析 由于，向左平移个单位长度后得到函数的图象，由于该图象关于轴对称，所以，于是，又，故当时，取最小值.故选B.‎ ‎2．(2013福建文9）将函数 个单位长度后得到函数的图像，若的图像都经过点则的值可以是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎2.分析 先求出解析式中的字母的聚取值，再利用代入法确定答案.‎ 解析 因为在的图象上，所以.‎ 因为，所以，所以，‎ 所以.‎ 因为，所以.验证，时，‎ 成立.故选B.‎ ‎3.（2014四川文3）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ）.‎ A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度 ‎4.（2014福建文7）将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则下列说法正确的是（ ）.‎ A.是奇函数 ‎ B. 的周期是 C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于点对称 ‎5. （2014安徽文7）若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 解析 由知图像的对称轴方程为，因此在轴左侧且离轴最近的对称轴方程为.依题意结合图像知，的最小正值为，故选C.‎ 评注 本题考查三角函数的图像和性质.‎ ‎6. （2014辽宁文11）将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（ ）.‎ ‎ A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 ‎7.（2014浙江文4）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）.‎ A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 ‎ C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 ‎ ‎8.（2014重庆文13）将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，则______.‎ ‎9.（2015山东文）要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）.‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎ ‎9.解析 因为，所以要得到的图像，‎ 只需要将函数的图像向右平移个单位.故选B.‎ ‎10.（2015陕西文）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）．‎ A．5 ‎ B．6 ‎ C．8 ‎ D．10‎ ‎10.解析 由图像得，当时，即的最小值 为，求得，所以，.‎ ‎11.（2015重庆文）已知函数.‎ ‎（1）求的最小周期和最小值；‎ ‎（2）将函数的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图像.当时，求的值域.‎ ‎11.解析 （1）‎ ‎．‎ 因此的最小正周期为，最小值为．‎ ‎（2）由条件可知：‎ 当时有，，从而的值域为，‎ 那么的值域为，‎ 故在区间上的值域是.‎ ‎12.（2015福建文）已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图像，且函数的最大值为2．‎ ‎（ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（ⅱ）求证：存在无穷多个互不相同的正整数，使得．‎ ‎12.分析 （1）先利用二倍角公式和余弦降幂公式将化为，‎ 然后利用求最小正周期；（2由函数的解析式中给减 ‎，再将所得解析式整体减去得的解析式为，当取1时，取得最大值 ‎，列方程求得，从而的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，可解不等式，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数．‎ 解析 （1因为 ‎.‎ 所以函数的最小正周期．‎ ‎（2（i）将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，再向下平移个单位长度后得到的图像．‎ 又函数的最大值为2，所以，解得．‎ 所以．‎ ‎（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即．‎ 由知，存在，使得．‎ 由正弦函数的性质可知，当时，均有．‎ 因为的周期为，‎ 所以当时，均有．‎ 因为对任意的整数，，‎ 所以对任意的正整数，都存在正整数，使得．即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．‎ ‎13.（2015湖北文）某同学将“五点法”画函数 在某一个时期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示： ‎ ‎2‎ ‎（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；‎ ‎（2）将图像上所有点向左平移个单位长度，得到图像，求的图像离原点最近的对称中心.‎ ‎13.解析 (1)根据表中已知数据，解得. 数据补全如表所示：‎ 且函数表达式为. ‎ ‎(2由(1)知，因此 .‎ 因为的对称中心为，. ‎ 令，解得，，即图像的对称中心为，，‎ 其中离原点最近的对称中心为. ‎ ‎14.（2016四川文4） 为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ）.‎ A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 ‎ C. 向上平行移动个单位长度 D. 向下平行移动个单位长度 ‎14.A解析 由题意，为得到函数，只需把函数的图像上所有的点向左移个单位.故选A.‎ ‎15.（2016全国乙文6）若将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎15. D 解析 将函数的图像向右平移个周期，即向右平移个单位，‎ 故所得图像对应的函数为.故选D.‎ ‎16.（2014全国丙文14）函数图像可由函数的图像至少向右平移______个单位长度得到.‎ ‎16.解析 由，得，所以可由函数至少向右平移才能得到.‎