2020高考数学二轮复习练习：第一部分 小题专题练 小题专题练（五） 解析几何含解析

2020高考数学二轮复习练习：第一部分 小题专题练 小题专题练（五） 解析几何含解析

小题专题练(五)　解析几何 一、选择题 ‎1．(2019·福建省质量检查)已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点(，0)到渐近线的距离等于2，则C的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x ‎2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为(　　)‎ A.＋y2＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎3．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)‎ A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0‎ C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0‎ ‎4．(2019·石家庄市模拟(一))已知圆C截两坐标轴所得的弦长相等，且圆C过点(－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为(　　)‎ A．8 B．2 C．5 D. ‎5．(2019·重庆市七校联合考试)两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为(　　)‎ A. B．4‎ C. D. ‎6．直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(　　)‎ A．y2＝－12x B．y2＝－8x C．y2＝－6x D．y2＝－4x ‎7．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则·的最大值、最小值分别为(　　)‎ A．9，7 B．8，7‎ C．9，8 D．17，8‎ ‎8．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎9．(2019·唐山市摸底考试)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎10.如图，抛物线E：x2＝4y与M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，则△PMN的周长的取值范围是(　　)‎ A．(6，12) B．(8，10) ‎ C．(6，10) D．(8，12)‎ ‎11．(多选)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，则双曲线C的方程可能为(　　)‎ A.－y2＝1 B．x2－＝1‎ C.－x2＝1 D．y2－＝1‎ ‎12．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　)‎ A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1‎ C．点P的横坐标为±1‎ D．△PF1F2的面积为 ‎13．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则(　　)‎ A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1‎ C．|FP|＝4 D．|FR|＝4‎ 二、填空题 ‎14．已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，|AB|＝，则抛物线C2的方程为____________．‎ ‎15．(2019·江西七校第一次联考)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________．‎ ‎16．如图，椭圆C：＋＝1(a>2)，圆O：x2＋y2＝a2＋4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|·|PF2|＝6，则|PM|·|PN|的值为________．‎ ‎17．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．‎ ‎ ‎ 小题专题练(五)　解析几何 ‎1．解析：选D.设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，则由题意，得c＝.双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，所以＝2，又c2＝a2＋b2＝5，所以b＝2，所以a＝＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，故选D.‎ ‎2．解析：选D.由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D.‎ ‎3．解析：选B.因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，所以点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，‎ 因为圆心与切点连线的斜率k＝＝，所以切线的斜率为－2，‎ 则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B.‎ ‎4．解析：选D.通解：　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，因为圆C经过点(‎ ‎－1，0)和(2，3)，所以，所以a＋b－2＝0　①，又圆C截两坐标轴所得的弦长相等，所以|a|＝|b|　②，由①②得a＝b＝1，所以圆C的半径为，故选D.‎ 优解：　因为圆C经过点M(－1，0)和N(2，3)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线y＝－x＋2上，又圆C截两坐标轴所得的弦长相等，所以圆心C到两坐标的距离相等，所以圆心C在直线y＝±x上，因为直线y＝－x和直线y＝－x＋2平行，所以圆心C为直线y＝x和直线y＝－x＋2的交点(1，1)，所以圆C的半径为，故选D.‎ ‎5．解析：选D.两圆方程相减，得直线MN的方程为x－2y＋4＝0，圆x2＋y2＋2x－8＝0的标准形式为(x＋1)2＋y2＝9，所以圆x2＋y2＋2x－8＝0的圆心为(－1，0)．半径为3，圆心(－1，0)到直线MN的距离d＝，所以线段MN的长为2 ＝.故选D.‎ ‎6．解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，所以－＝2，所以x1＋x2＝－4，所以p＝4，所以所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.‎ ‎7．解析：选B.由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，设E(x，y)(－3≤x≤3)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝＋7，所以当x＝0时，·有最小值7，当x＝±3时，·有最大值8，故选B.‎ ‎8．解析：选D.设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，‎ 直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，‎ 如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，‎ 所以点B为线段AP的中点，连接OB，‎ 则|OB|＝|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为1，因为k＞0，所以点B的坐标为(1，2)，所以k＝＝.故选D.‎ ‎9．解析：选A.因为点A在椭圆上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，对其平方，得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|＝4a2，又AF1⊥AF2，所以|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，则2|AF1||AF2|＝4a2－4c2＝4b2，即|AF1|·|AF2|＝2b2，所以S△AF1F2＝|AF1||AF2|＝b2＝2.又△AF1F2是直角三角形，∠F1AF2＝90°，且O为F1F2的中点，所以|OA|＝|F1F2|＝c，由已知不妨设A点在第一象限，则∠AOF2＝30°，所以A(c，c)，则S△AF1F2＝|F1F2|·c＝c2＝2，c2＝4，故a2＝b2＋c2＝6，所以椭圆方程为 ‎＋＝1，故选A.‎ ‎10．解析：选B.由题意可得，抛物线E的焦点为(0，1)，圆M的圆心为(0，1)，半径为4，所以圆心M(0，1)为抛物线的焦点，故|NM|等于点N到准线y＝－1的距离，又PN∥y轴，故|PN|＋|NM|等于点P到准线y＝－1的距离，由，得y＝3，又点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，所以点P到准线y＝－1的距离的取值范围是(4，6)，又|PM|＝4，所以△PMN的周长的取值范围是(8，10)，选B.‎ ‎11．解析：选AD.在椭圆＋＝1中，c＝＝.因为双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，所以可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为－＝1.当λ＞0时，c＝＝，解得λ＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1；当λ＜0时，c＝＝，解得λ＝－1，所以双曲线C的方程为y2－＝1.综上，双曲线C的方程为－y2＝1或y2－＝1，故选AD.‎ ‎12．解析：选ACD.等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确．由双曲线的方程可知|F1F2|＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误．点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确．由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确．故选ACD.‎ ‎13.解析：选AC.如图，连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ.又PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°.由抛物线定义知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，则FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形FQP的边长为4，|FP|＝|PQ|＝4，|FN|＝|PF|＝2，则△FRN为等边三角形，所以|FR|＝2.故选AC.‎ ‎14．解析：由题意，知圆C1与抛物线C2的一个交点为原点，不妨记为B，设A(m，n)．因为|AB|＝，所以解得即A.将点A的坐标代入抛物线方程得＝2p×，所以p＝，所以抛物线C2的方程为y2＝x.‎ 答案：y2＝x ‎15．解析：化双曲线的方程为－＝1，则a＝b＝，c＝2，因为|PF1|＝2|PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，根据余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.‎ 答案： ‎16．解析：由已知|PM|·|PN|＝(R－|OP|)(R＋|OP|)＝R2－|OP|2＝a2＋4－|OP|2，|OP|2＝||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2||||cos∠F1PF2)＝(||2＋||2)－(||2＋||2－2||||cos∠F1PF2)＝[(2a)2－2|PF1||PF2|]－×(2c)2＝a2－2，所以|PM|·|PN|＝(a2＋4)－(a2－2)＝6.‎ 答案：6‎ ‎17．解析：如图，六边形ABF1CDF2为正六边形，直线OA，OB是双曲线的渐近线，则△AOF2是正三角形．所以直线OA的倾斜角为，‎ 所以其斜率k＝＝，所以双曲线N的离心率e1＝＝＝2.连接F1A.因为正六边形的边长为c，所以|F1A|＝c.由椭圆定义得|F1A|＋|F2A|＝2a，即c＋c＝2a，‎ 所以椭圆M的离心率e2＝＝＝－1.‎ 答案：－1　2‎