安徽省滁州市定远县育才学校2019-2020学年高二（普通班）上学期期末考试数学（文）试题

安徽省滁州市定远县育才学校2019-2020学年高二（普通班）上学期期末考试数学（文）试题

育才学校2019--2020学年度第一学期期末考试 高二普通班文科数学 ‎ ‎ 考试时间:120分钟　满分:150分 ‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) ‎ ‎1.已知p：函数f(x)＝(a－1)x为增函数，q：∀x∈，ax－1≤0，则p是q的(　　)‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎2.下列说法正确的是(　　)‎ A． 命题“若x2>1，则x>‎1”‎的否命题为“若x2>1，则x≤‎‎1”‎ B． 命题“∃x0∈R，x>‎1”‎的否定是“∀x∈R，x2>‎‎1”‎ C． 命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆否命题为假命题 D． 命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆命题为假命题 ‎3.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知双曲线－y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF‎1F2的面积为(　　)‎ A． B． ‎1 ‎ C． D．‎ ‎5.M是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F为抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角为α，且α＝60°，若|FM|＝4，则p等于(　　)‎ A． 1 B． ‎2 C． 3 ‎ ‎ D． 4‎ ‎6.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为(　　)‎ A． [－1，－] B． [－1,0] C． [0,1] D． [，1]‎ ‎7.已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为(　　)‎ A． B． － C． D． －‎ ‎8.已知函数f(x)＝2x，则f′(x)等于(　　)‎ A． 2x B． 2xln ‎2 C． 2x＋ln 2 D．‎ ‎9.已知f(x)＝lnx(x＞0)，f(x)的导数是f′(x)，若a＝f(7)，b＝f′()，c＝f′()，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c ‎10.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(　　)‎ A． －37 B． －‎29 C． －5 D． 以上都不对 ‎11.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其上底长为(　　)‎ A． B．r C．r D．r ‎12.函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是(　　)‎ A． 单调递增函数 B． 单调递减函数 C． 在(0，)上是减函数，在(，6)上是增函数 D． 在(0，)上是增函数，在(，6)上是减函数 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分) ‎ ‎13.命题“至少有一个正实数x0满足方程x＋2(a－1)x0＋‎2a＋6＝‎0”‎的否定是________________．‎ ‎14.如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝________.‎ ‎15.双曲线5x2＋ky2＝5的一个焦点是(，0)，那么实数k的值为________．‎ ‎16.如图，直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为______．‎ 三、解答题(共6小题,共70分) ‎ ‎17.（10分）已知p：x2－8x－20≤0；q：1－m2≤x≤1＋m2.‎ ‎(1)若p是q的必要条件，求m的取值范围；‎ ‎(2)若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．‎ ‎18. （12分）过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．‎ ‎(1)求|AB|；‎ ‎(2)求△AOB的面积．‎ ‎19. （12分）已知函数f(x)＝alnx－x＋1(a∈R)．‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若f(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，求所有实数a的值．‎ ‎20. （12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；‎ ‎(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；‎ ‎(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线方程.‎ ‎21. （12分）如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.‎ ‎22. （12分）已知函数f(x)＝2x＋，直线l：y＝kx－1.‎ ‎(1)求函数f(x)的极值；‎ ‎(2)求证：对于任意k∈R，直线l都不是曲线y＝f(x)的切线；‎ ‎(3)试确定曲线y＝f(x)与直线l的交点个数，并说明理由．‎ 参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D B B B A D B B A D A ‎13.　∀x∈(0，＋∞)，x2＋2(a－1)x＋‎2a＋6≠0‎ ‎14.　2‎ ‎15.－1‎ ‎16.　48‎ ‎17.解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，‎ 即p：－2≤x≤10，‎ q：1－m2≤x≤1＋m2.‎ ‎(1)若p是q的必要条件，则 即即m2≤3，‎ 解得－≤m≤，‎ 即m的取值范围是[－，]．‎ ‎(2)∵p是q的必要不充分条件，‎ ‎∴q是p的必要不充分条件．‎ 即(两个等号不同时成立)，‎ 即m2≥9，解得m≥3或m≤－3.‎ 即m的取值范围是{m|m≥3或m≤－3}．‎ ‎18.(1)由双曲线的方程得a＝，b＝，‎ ‎∴c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．‎ 直线AB的方程为y＝(x－3)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x2＋6x－27＝0.‎ ‎∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.‎ ‎∴|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝·‎ ‎＝·＝.‎ ‎(2)直线AB的方程变形为x－3y－3＝0.‎ ‎∴原点O到直线AB的距离为 d＝＝.‎ ‎∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.‎ ‎∴△AOB的面积为.‎ ‎19.(1)f′(x)＝－1＝(x>0)．‎ 当a≤0时，f′(x)<0，∴f(x)减区间为(0，＋∞)，‎ 当a>0时，由f′(x)>0得0＜x0时，f(x)在(0，a)上递增，在(a，＋∞)上递减，‎ f(x)max＝f(a)＝alna－a＋1，令g(a)＝alna－a＋1，‎ 依题意有g(a)≤0，而g′(a)＝lna，且a>0，‎ ‎∴g(a)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，‎ ‎∴g(a)min＝g(1)＝0，故a＝1.‎ ‎20.(1)∵f′(x)＝3x2＋1，‎ ‎∴f(x)在点(2，－ 6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，‎ ‎∴切线方程为13x－y－32＝0.‎ ‎(2)方法一　设切点坐标为(x0，y0)，‎ 则直线l的斜率为f′(x0)＝3＋1，‎ ‎∴直线l的方程为y＝(3＋1)(x－x0)＋＋x0－16.‎ 又∵直线l过原点(0,0)，‎ ‎∴0＝(3＋1)(－x0)＋＋x0－16，‎ 整理得＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.‎ ‎∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).‎ 方法二　设直线l的方程为y＝kx，切点坐标为(x0，y0)，‎ 则k＝＝.‎ 又∵k＝f′(x0)＝3＋1，‎ ‎∴＝3＋1，‎ 解得x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.‎ ‎∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).‎ ‎(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，‎ ‎∴切线的斜率为k＝4.‎ 设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3＋1＝4，‎ ‎∴x0＝±1，∴或 ‎∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14，‎ 即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.‎ ‎21.(1)由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，‎ 解得a＝.‎ 所以椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得 ‎(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.‎ 由已知Δ>0，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 从而直线AP，AQ的斜率之和 kAP＋kAQ＝＋＝＋‎ ‎＝2k＋(2－k)(＋)＝2k＋(2－k)‎ ‎＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.‎ 所以直线AP、AQ斜率之和为定值2.‎ ‎22.(1)函数f(x)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，‎ 求导，得f′(x)＝2－，‎ 令f′(x)＝0，解得x＝1.‎ 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示：‎ 所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)，‎ 所以函数y＝f(x)有极小值f(1)＝3，无极大值．‎ ‎(2)证明　假设存在某个k∈R，使得直线l与曲线y＝f(x)相切，‎ 设切点为A，又因为f′(x)＝2－，‎ 所以切线满足斜率k＝2－，且过点A，所以2x0＋＝x0－1，‎ 即＝－1，此方程显然无解，所以假设不成立．‎ 所以对于任意k∈R，直线l都不是曲线y＝f(x)的切线．‎ ‎(3)“曲线y＝f(x)与直线l的交点个数”等价于“方程2x＋＝kx－1的根的个数”．‎ 由方程2x＋＝kx－1，得k＝＋＋2.‎ 令t＝，则k＝t3＋t＋2，其中t∈R，且t≠0.‎ 考察函数h(t)＝t3＋t＋2，其中t∈R，‎ 因为h′(t)＝3t2＋1＞0，所以函数h(t)在R上单调递增，且h(t)∈R.‎ 而方程k＝t3＋t＋2中，t∈R且t≠0，‎ 所以当k＝h(0)＝2时，方程k＝t3＋t＋2无根；当k≠2时，方程k＝t3＋t＋2有且仅有一根，‎ 故当k＝2时，曲线y＝f(x)与直线l没有交点，而当k≠2时，曲线y＝f(x)与直线l有且仅有一个交点．‎