2019年高考试题——数学理（北京卷）解析版

2019年高考试题——数学理（北京卷）解析版

绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 1.已知复数 z=2+i，则 A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 题先求得 ，然后根据复数的乘法运算法则即得. 【详解】∵ 故选 D. 【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 2.执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 z z  3 5 z z 2 i,z z (2 i)(2 i) 5       A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据程序框图中的条件逐次运算即可. 【详解】运行第一次， ， ， 运行第二次， ， ， 运行第三次， ， ， 结束循环，输出 ，故选 B. 【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查. 3.已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），则点（1,0）到直线 l 的距离是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可. 【 详 解 】 直 线 的 普 通 方 程 为 , 即 , 点 到 直 线 的 距 离 ,故选 D. 【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程 转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算 能力的考查. 4.已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，则 =1k 22 1 23 1 2s    2k  22 2 23 2 2s    3k  22 2 23 2 2s    =2s 1 3 , 2 4 x t y t      1 5 2 5 4 5 6 5 l    4 1 3 2 0x y    4 3 2 0x y    1,0 l 2 2 | 4 0 2 | 6 54 3 d     的 2 2 2 2 1x y a b  1 2 A. a2=2b2 B. 3a2=4b2 C. a=2b D. 3a=4b 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意利用离心率的定义和 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率 ,化简得 , 故选 B. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查. 5.若 x，y 满足 ，且 y≥−1，则 3x+y 的最大值为 A. −7 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可. 【详解】由题意 作出可行域如图阴影部分所示. 设 , , ,a b c 2 2 21 ,2 ce c a ba    2 23 4a b | 1|x y  1 ,1 1 y y x y        3 , 3z x y y z x    当直线 经过点 时, 取最大值 5.故选 C. 【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基 础知识､基本技能的考查. 6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ，其 中星等为 m1 的星的亮度为 E2（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星 的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10–10.1 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出 ，然后将对数式换为指数式求 再求 【详解】两颗星的星等与亮度满足 , 令 ， ， ， ， 故选 D. 【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算. 7.设点 A，B，C 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 0 : 3l y z x   2, 1 z 2 1 2 15 2– lg Em m E 1 2 lg E E 1 2 E E ， 1 2 E E . 1 2 1 2 5 lg2 Em m E  2 1.45m   1 26.7m    1 2 1 2 2 21g ( 1.45 26.7) 10.15 5 E m mE       10.1 10.11 2 2 1 10 10E E E E    AB AC | | | |AB AC BC    【解析】 【分析】 由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】∵A､B､C 三点不共线,∴ | + |>| | | + |>| - | | + |2>| - |2 • >0 与 的夹角为锐角.故“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的充分必要条件,故选 C. 【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想. 8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C： 就是其中之一（如图）.给出下列 三个结论： ①曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 ； ③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】 将所给方程进行等价变形确定 x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点 距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. AB AC BC  AB AC AB AC  AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC BC 2 2 1 | |x y x y   2 详解】由 得, , , 所以 可为的整数有 0,-1,1,从而曲线 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确. 由 得, ,解得 ,所以曲线 上任意一点到原点的距离都不 超过 . 结论②正确. 如图所示,易知 , 四边形 的面积 ,很明显“心形”区域的面积大于 ,即“心形”区域 的面积大于 3,说法③错误. 故选 C. 【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算 能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”. 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9.函数 f(x)=sin22x 的最小正周期是__________． 【答案】 . 【解析】 【 2 2 1x y x y   2 21y x y x   2 2 2 2| | 3 3 41 ,1 0,2 4 4 3 x x xy x       … „ x 2 2: 1C x y x y   2 2 1x y x y   2 2 2 2 1 2 x yx y  „ 2 2 2x y  C 2        0, 1 , 1,0 , 1,1, , 0,1A B C D ABCD 1 31 1 1 12 2ABCDS       2 ABCDS 2  【分析】 将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 【详解】函数 ,周期为 【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题. 10.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2=−3，S5=−10，则 a5=__________，Sn 的最小值为__________． 【答案】 (1). 0. (2). -10. 【解析】 【分析】 首先确定公差,然后由通项公式可得 的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值. 【详解】等差数列 中, ,得 ,公差 , , 由等差数列 的性质得 时, , 时, 大于 0,所以 的最小值为 或 ,即为 . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基 本运算能力的考查. 11.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为 1， 那么该几何体的体积为__________． 【答案】40. 【解析】   2sin 2f x x  1 4 2 cos x 2  5a  na 5 35 10S a   3 22, 3a a    3 2 1d a a   5 3 2 0a a d    na 5n  0na  6n  na nS 4S 5S 10 【分析】 画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积. 【详解】在正方体中还原该几何体，如图所示 几何体的体积 V=43- （2+4）×2×4=40 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 12.已知 l，m 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥ ；③l⊥ ． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m. 【解析】 【分析】 将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m. 正确； （2）如果 l⊥α，l⊥m，则 m∥α.不正确，有可能 m 在平面 α 内； （3）如果 l⊥m，m∥α，则 l⊥α.不正确，有可能 l 与 α 斜交、l∥α. 【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 13.设函数 f（x）=ex+ae−x（a 为常数）．若 f（x）为奇函数，则 a=________；若 f（x）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是___________． 1 2    【答案】 (1). -1; (2). . 【解析】 【分析】 首先由奇函数的定义得到关于 的恒等式，据此可得 的值，然后利用导函数的解析式可得 a 的取值范围. 【详解】若函数 为奇函数,则 ， 对任意的 恒成立. 若函数 是 上的增函数,则 恒成立, . 即实数 的取值范围是 【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想, 转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查. 14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/ 盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%． ①当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为__________． 【答案】 (1). 130. (2). 15. 【解析】 【分析】 （1）将购买的草莓和西瓜加钱与 120 进行比较，再根据促销规则可的结果； （2）根据 、 分别探究. 【详解】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒， 需要支付（60+80）-10=130 元. （2）设顾客一次购买水果的促销前总价为 y 元， 元时，李明得到的金额为 y×80%，符合要求. 元时，有（y-x）×80%≥y×70%成立， 即 8（y-x）≥7y，x≤ ，即 x≤（ ）min=15 元.  ,0 a a   x xf x e ae       , x x x xf x f x e ae e ae          1 0x xa e e   x   x xf x e ae  R  ' 0x xf x e ae   2 , 0xa e a  a  ,0 120y＜ 120y  120y＜ 120y  8 y 8 y 所以 x 的最大值为 15. 【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力，有一定难 度. 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.在△ABC 中，a=3，b−c=2，cosB= ． （Ⅰ）求 b，c 的值； （Ⅱ）求 sin（B–C）的值． 【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意列出关于 a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定 b,c 的值； (Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得 的值. 【详解】(Ⅰ)由题意可得： ，解得： . (Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得： ， 结合正弦定理 可得： ， 很明显角 C 为锐角，故 ， 故 . 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的 转化能力和计算求解能力. 1 2 3 7 5 a b c      2 37  sin B C 2 2 2 1cos 2 2 2 3 a c bB ac b c a            3 7 5 a b c      2 3sin 1 cos 2B B   sin sin b c B C sin 5 3sin 14 c BC b  2 11cos 1 sin 14C C     2sin sin cos cos sin 37B C B C B C    16.如图，在四棱锥 P–ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且 ． （Ⅰ）求证：CD⊥平面 PAD； （Ⅱ）求二面角 F–AE–P 的余弦值； （Ⅲ）设点 G 在 PB 上，且 ．判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由． 【答案】(Ⅰ)见解析； (Ⅱ) ； (Ⅲ)见解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； (Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角 F-AE-P 的余弦值； (Ⅲ)首先求得点 G 的坐标，然后结合平面 的法向量和直线 AG 的方向向量可判断直线是否在平面内. 【详解】(Ⅰ)由于 PA⊥平面 ABCD，CD 平面 ABCD，则 PA⊥CD， 由题意可知 AD⊥CD，且 PA∩AD=A， 由线面垂直的判定定理可得 CD⊥平面 PAD. (Ⅱ)以点 A 为坐标原点，平面 ABCD 内与 AD 垂直的直线为 x 轴，AD,AP 方向为 y 轴，z 轴建立如图所示的 空间直角坐标系 ， 1 3 PF PC  2 3 PG PB  3 3 AEF  A xyz 易知： ， 由 可得点 F 的坐标为 ， 由 可得 ， 设平面 AEF 的法向量为： ，则 ， 据此可得平面 AEF 的一个法向量为： ， 很明显平面 AEP 的一个法向量为 ， ， 二面角 F-AE-P 的平面角为锐角，故二面角 F-AE-P 的余弦值为 . (Ⅲ)易知 ，由 可得 ， 则 ， 注意到平面 AEF 的一个法向量为： ，        0,0,0 , 0,0,2 , 2,2,0 , 0,2,0A P C D 1 3PF PC  2 2 4, ,3 3 3F      1 2PE PD   0,1,1E  , ,m x y z       2 2 4 2 2 4, , , , 03 3 3 3 3 3 , , 0,1,1 0 m AF x y z x y z m AE x y z y z                       1,1, 1m    1,0,0n  1 3cos , 33 1 m nm n m n           3 3    0,0,2 , 2, 1,0P B  2 3PG PB  4 2 2, ,3 3 3G    4 2 2, ,3 3 3AG        1,1, 1m   其 且点 A 在平面 AEF 内，故直线 AG 在平面 AEF 内. 17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解 某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下： 交 付金额（元） 支付方式 （0,1000] （1000,2000] 大于 2000 仅使用 A 18 人 9 人 3 人 仅使用 B 10 人 14 人 1 人 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 A 的学生中，随机抽查 3 人，发 现他们本月的支付金额都大于 2000 元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由． 【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ)见解析； (Ⅲ)见解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值； (Ⅱ)首先确定 X 可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可. (Ⅲ)由题意结合概率的定义给出结论即可. 【详解】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为： 人，则： 0m AG   2 5 100 30 25 5 40    该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率 . (Ⅱ)由题意可知， 仅使用 A 支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占 ，金额大于 1000 的人数占 ， 仅使用 B 支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占 ，金额大于 1000 的人数占 ， 且 X 可能的取值为 0,1,2. ， ， ， X 分布列为： X 0 1 2 其数学期望： . (Ⅲ)我们不认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化.理由如下： 随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于 概率。 学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这 种现象可能是发生了“小概率事件”. 【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列 的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关. 18.已知抛物线 C：x2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线 C 的方程及其准线方程； （Ⅱ）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y=−1 分别交 直线 OM，ON 于点 A 和点 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点． 【答案】(Ⅰ) ， ； 40 2 100 5p   3 5 2 5 2 5 3 5   3 2 60 5 5 25p X       2 23 2 131 5 5 25p X                3 2 62 5 5 25p X     的  p X 6 25 13 25 6 25   6 13 60 1 2 125 25 25E X        2 4x y  1y  (Ⅱ)见解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程； (Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令 x=0 即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ)将点 代入抛物线方程： 可得： ， 故抛物线方程 ： ，其准线方程为： . (Ⅱ)很明显直线 的斜率存在，焦点坐标为 ， 设直线方程为 ，与抛物线方程 联立可得： . 故： . 设 ，则 ， 直线 的方程为 ，与 联立可得： ，同理可得 ， 易知以 AB 为直径的圆的圆心坐标为： ，圆的半径为： ， 且： ， ， 则圆的方程为： ， 令 整理可得： ，解得： ， 即以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点 . 【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解 及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19.已知函数 .  2, 1  22 2 1p   2p  为 2 4x y  1y  l  0, 1 1y kx  2 4x y  2 4 4 0x kx   1 2 1 24 , 4x x k x x     2 2 1 2 1 2, , ,4 4 x xM x N x           1 2,4 4OM ON x xk k    OM 1 4 xy x  1y   1 4 , 1A x      2 4 , 1B x      1 2 2 2 , 1x x       1 2 2 2 x x  1 2 1 2 1 2 22 2 2x x kx x x x     2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 42 2 2 2 1x x x x kx x x x            2 2 22 1 4 1x k y k     0x  2 2 3 0y y   1 23, 1y y      0, 3 , 0,1 3 21( ) 4f x x x x   （Ⅰ）求曲线 的斜率为 1 的切线方程； （Ⅱ）当 时，求证： ； （Ⅲ）设 ，记 在区间 上的最大值为 M（a），当 M（a）最小时， 求 a 的值． 【答案】（Ⅰ） 和 . （Ⅱ）见解析； （Ⅲ） . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程； (Ⅱ)由题意分别证得 和 即可证得题中的结论； (Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得 a 的值. 【详解】（Ⅰ） ，令 得 或者 . 当 时， ，此时切线方程为 ，即 ； 当 时， ，此时切线方程为 ，即 ； 综上可得所求切线方程为 和 . （Ⅱ）设 ， ，令 得 或者 ， 所以当 时， ， 为增函数；当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数； 而 ，所以 ，即 ； 同理令 ，可求其最小值为 ，所以 ，即 ， 综上可得 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知 ， 所以 是 中的较大者， ( )y f x [ 2,4]x  6 ( )x f x x   ( ) | ( ) ( ) | ( )F x f x x a a   R ( )F x [ 2,4] 0x y  27 27 64 0x y   3a      6 0f x x     0f x x  23( ) 2 14f x x x    23( ) 2 1 14f x x x     0x  8 3x  0x  (0) 0f  y x 0x y  8 3x  8 8( )3 27f  64 27y x  27 27 64 0x y   0x y  27 27 64 0x y   3 21( ) ( ) 4g x f x x x x    23( ) 24g x x x   23( ) 2 04g x x x    0x  8 3x  [ 2,0]x   ( ) 0g x  ( )g x 8(0, )3x ( ) 0g x  ( )g x 8[ ,4]3x ( ) 0g x  ( )g x (0) (4) 0g g  ( ) 0g x  ( )f x x 3 21( ) ( ) 6 64h x f x x x x      ( 2) 0h   ( ) 0h x  ( ) 6f x x  6 ( )x f x x   6 ( ) 0f x x    ( )M a , 6a a  若 ，即 时， ； 若 ，即 时， ； 所以当 最小时， ，此时 . 【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学 思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20.已知数列{an}，从中选取第 i1 项、第 i2 项、…、第 im 项(i1

查看更多