四川省乐山市高中2020届高三第三次调查研究考试数学（文）试题(解析版)

四川省乐山市高中2020届高三第三次调查研究考试数学（文）试题(解析版)

乐山市高中2020届第三次调查研究考试 文科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知函数是奇函数，且时，，则（ ）．‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎4．已知，，，则、、的大小关系是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知向量与向量平行，，且，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎6．支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100名居民（男女居民各50名）喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如下的列联表：‎ 支付方式 性别 支付宝支付 微信支付 男 ‎40‎ ‎10‎ 女 ‎25‎ ‎25‎ 附表及公式：，‎ 则下列结论正确的是（ ）．‎ A．在犯错的概率不超过1％的前提下，认为“支付方式与性别有关”‎ B．在犯错的概率超过1％的前提下，认为“支付方式与性别有关”‎ C．有％以上的把握认为“支付方式与性别有关”‎ D．有％以上的把握认为“支付方式与性别无关”‎ ‎7．秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入，，依次输入为1，2，4，则输出的的值为（ ）．‎ A．4 B．10 C．11 D．12‎ ‎8．函数的图象大致为（ ）．‎ A．B．C．D．‎ ‎9．如图，在三棱锥中，，，则其外接球的体积为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎10．数列中，已知对任意，，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知点是双曲线上的动点，点为圆上的动点，且，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知点在函数（且，）的图象上，直线是函数的图象的一条对称轴．若在区间内单调，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：‎ ‎13．已知函数，则函数在处的切线方程为______．‎ ‎14．小王老师2018年的家庭总收入为8万元，各种用途占比统计如图①所示，2019年收入的各种用途占比统计如图②所示．已知2019年的就医费用比2018年增加万元，则小王2019年的家庭总收入为______．‎ ‎ ‎ ‎① ②‎ ‎15．已知椭圆的左焦点为，、分别为的右顶点和上顶点，直线与直线的交点为，若，且的面积为，则椭圆的标准方程为______．‎ ‎16．已知数列的前项和为，且满足．有以下结论：‎ ‎①数列是等差数列；②；③．‎ 其中所有正确命题的序号是______．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．第17～21‎ 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据需求作答．‎ ‎（一）必考题 ‎17．在中，角、、所对的边分别为、、，且．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎18．为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3个监测站，并以9个监测站测得的AQI的平均值为依据播报该市的空气质量．‎ ‎（1）若某日播报的AQI为119，已知轻度污染区AQI平均值为70，中度污染区AQI平均值为115，求重试污染区AQI平均值；‎ ‎（2）如图是2018年11月份30天的AQI的频率分布直方图，11月份仅有1天AQI在内．‎ ‎①某校参照官方公布的AQI，如果周日AQI小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；‎ ‎②环卫部门从11月份AQI不小于170的数据中抽取两天的数据进行研究，求抽取的这两天中AQI值在的天数的概率．‎ ‎19．如图，在直三棱柱中，，，、、分别为、、的中点，为线段上的动点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若将直三棱柱沿平面截开，求四棱锥的表面积．‎ ‎20．已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小1，为坐标原点．‎ ‎（1）过点且倾斜角为的直线与曲线交于，两点，求的面积；‎ ‎（2）设为曲线上任意一点，点，是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，说明理由．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）判断并说明函数的零点个数．若函数所有零点均在区间内，求的最小值．‎ ‎（二）选考题 ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知、是曲线上任意两点，且，求面积的最大值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知，，为正数，且满足．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）证明：．‎ 参考答案 ‎1．B ‎【解析】由题得，故选B．‎ ‎2．A ‎【解析】由题得，，则，故选A．‎ ‎3．D ‎【解析】因为是奇函数，所以，故选D．‎ ‎4．B ‎【解析】由题得，，‎ ‎，故有，故选B．‎ ‎5．B ‎【解析】因为向量与向量平行，可设，‎ 由可得，得，‎ 所以，故选B．‎ ‎6．C ‎【解析】由列联表得到，，，，‎ 代入，‎ 解得，‎ 因为，‎ 所以有99％以上的把握认为“支付方式与性别有关”，故选C．‎ ‎7．D ‎【解析】输入时，，，此时不成立；‎ 输入时，，，此时不成立；‎ 输入时，，，此时成立；‎ 输出的的值为12，故选D．‎ ‎8．A ‎【解析】由题知为奇函数，排除D；‎ 因为，排除C；‎ 又因为，所以排除B，故选A．‎ ‎9．C ‎【解析】如图，将三棱锥放入棱长为1的正方体中，‎ 则其外接球即为正方体的外接球，球半径为，‎ 所以外接球的体积为，故选C．‎ ‎10．A ‎【解析】由，当时，，‎ 两式相减得，‎ 又，满足，则．‎ 所以数列是首项为，公比的等比数列，‎ 则是首项为，的等比数列，‎ 故，故选A．‎ ‎11．C ‎【解析】由题，且，‎ 若取最小值，则取最小值，‎ 由双曲线的性质可知，当点在为双曲线的顶点时，取最小值，‎ 此时，此时，，‎ 所以，故选C．‎ ‎12．B ‎【解析】由题意得，，得，得，‎ 又因为在区间内单调，‎ 所以，得，得．所以．‎ 又因为，所以或3．‎ 当时，，得，‎ 又，所以，‎ 此时直线是函数的图象的一条对称轴，且在区间内单调．‎ 所以．‎ 当时，，得，‎ 又，所以，‎ 此时，‎ 所以直线不是函数的图象的一条对称轴．‎ 所以，，故选B．‎ ‎13．‎ ‎【解析】因为，则，‎ 又因为，‎ 故切线方程为，即．‎ ‎14．10万元 ‎【解析】由已知得，2018年小王的就医费用为％万元，‎ 则2019年小王的就医费用为（万元），‎ 所以小王2019年生的家庭总收入为（万元）．‎ ‎15．‎ ‎【解析】由，且（为坐标原点），‎ 得，所以，，，‎ 又因为，解得，‎ 所以，，故椭圆的标准方程为．‎ ‎16．①②③ ‎ ‎【解析】对于①，由条件知，对任意正整数，有，‎ 又时，求得，所以是等差数列，故①正确；‎ 对于②，由①可知，或，‎ 显然，当时，成立；‎ 当时，，故②正确；‎ 对于③仅需考虑，同号的情况即可，可设，均为正，‎ 由②得，，‎ 此时，，‎ 从而 ‎，故③正确；‎ 综上，正确的序号①②③．‎ ‎17．【解析】（1）由得 ‎，‎ 由正弦定理得，即，‎ 所以，‎ 因为，所以．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 即，所以，即，‎ 所以．‎ ‎18．解：（1）设重度污染区AQI平均值为，‎ 则，解得．‎ ‎（2）①AQI在上的有天，‎ AQI在上的有天，‎ AQI在上的有天，‎ 所以11月份AQI不小于150天的共天．‎ 即能参加户外活动的概率为．‎ ‎②由①AQI在上的有5天，编号设为，，，，，‎ AQI在上的有2天，编号设为，，从7天中抽取两天有：‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，，共21种．‎ 满足条件的有，，，，，，，，，，共10种，‎ 所以满足条件的概率为．‎ ‎19．【解析】（1）证明：连接、，‎ 因为、分别为、的中点，‎ 所以，，‎ 又因为，，‎ 所以易证为平行四边形，所以，‎ 又因为为的中点，则，‎ 而，，所以平面平面，‎ 又平面，故平面．‎ ‎（2）连接，‎ 因为，，，‎ 所以平面，所以，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 在中，，，，‎ 所以，‎ 所以，，‎ 所以四棱锥的表面积为．‎ ‎20．【解析】依题意得，曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等，‎ 所以曲线的方程为：．‎ 过点且倾斜角为的直线方程为，‎ 设，，‎ 联立，得，‎ 则，，‎ 则．‎ ‎（2）假设满足条件的直线存在，其方程为，‎ ‎，则以为直径的圆的方程为，‎ 将直线代入，得，‎ 则，‎ 设直线与以为直径的圆的交点为，，‎ 则，，‎ 于是有 ‎，‎ 当，即时，为定值．‎ 故满足条件的直线存在，其方程为．‎ ‎21．【解析】（1）的定义域为，‎ ‎，‎ 令，得或（舍）．‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减．‎ 因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（2），‎ 当时，，‎ 因为单调递减，‎ 所以，‎ ‎∴在上单调递增，‎ 又，，‎ 所以存在唯一的，使得．‎ 当时，，‎ ‎，∴单调递减，‎ 又，∴，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∵，∴，故不存在零点．‎ 当时，，，‎ 所以单调递减，‎ 又，，‎ 所以存在，使得．‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递递减，‎ 又，‎ ‎，，‎ 所以存在唯一的，使得，‎ 当时，，故不存在零点．‎ 综上，存在两个零点，，且，，‎ 因此，的最小值为3．‎ ‎22．【解析】（1）消去参数，得到曲线的标准方程为，‎ 故曲线的极坐标方程为．‎ ‎（2）在极坐标系中，设，，‎ 其中，，，‎ 由（1）知：，，‎ 则的面积，‎ 即 ‎，‎ 当时，，‎ 所以面积的最大值为．‎ ‎23．【解析】（1）证明：因为，为正数，所以，‎ 同理可得，，‎ 则，‎ 当且仅当时，等号成立．‎ 即．‎ ‎（2）证明：要证，‎ 只要证即可，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 因为，，，‎ 所以，‎ 当且仅当，，时等号成立，得证．‎