高中数学第四章 1_2 定积分 课件

高中数学第四章 1_2 定积分 课件

第四章 定积分 1.2 定积分 复习回顾 曲边梯形面积求法 分割： O 1 x 如果 是区间 上的 最小值 ， , 作和式： 一般地，设函数在 区间 上 连续 ，用分点 将区间 分成 个小区间，每个小区间长度为 在每个小区间 上取一点 ( ), 如果 是区间 上的 最大值 ，则 是曲边梯形面积的 过剩估计值 ； 则 是曲边梯形面积的 不足估计值 . 讲授新课 如果 趋近于 0 （亦即 ）时 , 上述和式 无限的趋近某个常数 A （即曲边梯形面积） . 称 A 是 函数 在区间 上的定积分 . 其中， 叫作 积分号 ， 叫作积分的 下限 ， 叫作积分 的 上限 ， 叫作 被积函数 ， 叫作 积分变量 ， 叫作 积分区间 . 记作 , 即 A 基本概念 概念说明 （ 1 ） . 定积分 是一个常数，即 时， 无限接近的常数 A, 而不是 . （ 2 ） . 用定义求积分的一般方法是： 分割 近似代替 求和 取极限 （ 3 ） . 定积分的值与积分变量用什么字母表示无关， 即有 曲边梯形面积： 变速运动路程： 变力做功： 定积分的几何意义 O 从几何图形上看，如果函数 在 区间 上连续且恒有 ， 那么定积分 表示由直线 以及 轴和曲线 所围成曲边梯形的面积，这就是定积分 的几何 意义 . 之间各部分面积的代数和，在 轴 上 说明：一般情况下，定积分 的几何意义 方 的面积 取正 号，在 轴 下方 的面积 取负 号． 是介于 轴、函数 的图形以及直线 上方取正，下方取负 例：说明下列定积分所表示的几何意义，并根据 其意义求出定积分的值 . (1) (2) (3) ; ; . ; (4) o 1 解（ 1 ）： 中所示长方形的面积， 表示的是图 由于这个长方形的面 积为 2. 所以 2 o 1 解（ 2 ）： 中所示梯形的面积， 表示的是图 由于这个梯形的面 所以 1 2 2 积为 . o 解（ 3 ）： 半径为 1 的半圆的面 表示的是图中所示 由于这个半圆 所以 o 1 -1 1 的面积为 . 积， o 解（ 4 ）： 是图中所示三角形 表示的 所以 -1 -2 2 2 4 的面积之差， 上 方 取 正 ，下 方 取 负 由于 定积分的基本性质 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 其中（ 2 ）（ 3 ）叫作定积分的 线性性质 （ 4 ）叫作定积分对 积分区间的可加性 补充规定： 定积分的基本性质 练习 2 ：用定积分表示抛物线 y=x 2 -2x+3 与直线 y=x+3 所围成的图形面积 . 小结 １．定积分的实质 ：特殊和式的逼近值． ２．定积分的思想和方法： 分割 化整为零 求和 积零为整 取逼近 精确值 —— 定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取逼近 3. 定积分的几何意义及简单应用