河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

石家庄二中2018——2019学年第二学期期末考试 高二数学（理）试卷 一、选择题：（每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知全集，集合,，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：，‎ 所以 ．‎ 考点：集合的交集、补集运算．‎ ‎2.复数的虚部为（）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则，化简复数，即可得到复数的虚部，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，复数，‎ 所以复数的虚部为，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3.命题“，使是”的否定是（）‎ A. ，使得 B. ，使得.‎ C. ，使得 D. ，使得 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题与特称命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“，使是”的否定为“，使得”故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4.已知，则（）‎ A. B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，可得 ‎，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎5.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.‎ ‎【详解】因为函数在上连续单调递增，‎ 且,‎ 所以函数的零点在区间内，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.‎ ‎6.已知命题：若，则；：“”是“”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：命题为假命题,比如,但,命题为真命题,不等式的解为,所以,而,所以“”是“”的必要不充分条件,由命题的真假情况,得出为真命题,选B.‎ 考点：命题真假的判断.‎ ‎【易错点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及充分必要条件的判断,属于易错题. 判断一个命题为假命题时,举出一个反例即可,判断为真命题时,要给出足够的理由. 对于命题,为假命题,容易判断,对于命题,要弄清楚充分条件,必要条件的定义:若,则是的充分不必要条件,若,则是的必要不充分条件,再根据复合命题真假的判断,得出为真命题.‎ ‎7.设在定义在上的偶函数，且，若在区间单调递减，则（）‎ A. 在区间单调递减 B. 在区间单调递增 C. 在区间单调递减 D. 在区间单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设条件得到函数是以2为周期的周期函数，同时关于对称的偶函数，根据对称性和周期性，即可求解．‎ ‎【详解】由函数满足，所以是周期为2的周期函数，‎ 由函数在区间单调递减，可得单调递减，所以B不正确；‎ 由函数在定义在上的偶函数，在区间单调递减，可得在区间单调递增，所以A不正确；‎ 又由函数在定义在上的偶函数，则，即，‎ 所以函数的图象关于对称，可得在区间单调递增，在在区间单调递增，所以C 不正确，D正确，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用，以及函数的周期性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎8.若，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，可得 ‎，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎9.函数的图象大致是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为2、4是函数零点，所以排除B、C；‎ 因为时，所以排除D,故选A ‎10.已知函数，如果，则实数的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数，求得函数的单调性和奇偶性，把不等式，转化为，即可求解．‎ ‎【详解】由函数，可得，所以函数为单调递增函数，‎ 又由，所以函数为奇函数，‎ 因为，即，‎ 所以，解得，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎11.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，如果函数的“新驻点”分别为那么的大小关系是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由已知得到：，‎ 对于函数h（x）=lnx，由于h′（x）= ‎ 令，可知r（1）＜0，r（2）＞0，故1＜β＜2 ‎ ‎， ‎ 且，选D.‎ ‎12.设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的定义域、化简不等式，构造新函数，结合函数的图象，从而可得的范围，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数的定义域为，‎ 不等式，即，即，‎ 两边除以，可得，‎ 又由直线恒过定点，‎ 若不等式恰有两个整数解，‎ 即函数图象有2个横坐标为整数的点落在直线的上方，‎ 由图象可知，这2个点为，可得，‎ 即，解得，‎ 即实数的取值范围是，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点的综合应用，其中解答中把不等式的解，转化为函数的图象的关系，合理得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ 二、填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13.= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令=y≥0，则（y≥0），∴表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值等于，，‎ 所以=+=.‎ 考点：定积分.‎ ‎14.若函数，则不等式的解集为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论，分别求解不等式，即可求得不等式的解集，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，当时，令，解得，当时，令，解得，‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及指数函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15.已知，，则的值为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得，再由两角差的余弦函数的公式，即可求解．‎ ‎【详解】由，即，‎ 则，‎ 又由，所以，‎ 又由．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎16.已知函数，，若存在两切点，，，使得直线与函数和 的图象均相切，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求得点处的切线方程，联立方程组，根据判别式，令，得，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，点在函数的图象上，令，则点，‎ 又由，则，‎ 所以切线方程，即，‎ 联立方程组 ，整理得，‎ 则，‎ 令，整理得，且，‎ 构造函数，‎ 则，，‎ 可得当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，‎ 即在上恒成立，所以函数在单调递减，‎ 又由，‎ 所以，解得．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．‎ 三、解答题：（70分）‎ ‎17.已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）‎ ‎（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;‎ ‎（Ⅱ）若过且与直线垂直的直线与曲线相交于两点，，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线的直角坐标方程，消去参数，即可求得曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）求得直线的参数方程，代入椭圆的方程，利用直线参数的几何意义，即可求解．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由直线极坐标方程，‎ 根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线直角坐标方程：，‎ 由曲线的参数方程为（为参数），则，‎ 整理得，即椭圆普通方程为．‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程为，即（为参数）‎ 把直线的参数方程代入得：，‎ 故可设，是上述方程的两个实根，则有 又直线过点，故由上式及的几何意义得：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎18.选修4-5：不等式选讲 设函数，‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为；（II）由（I）值，函数的最小值为，即，由此解得.‎ 试题解析：‎ ‎（I），‎ 当，，，‎ 当，，，‎ 当，，，‎ 综上所述.‎ ‎（II）易得，若，恒成立，‎ 则只需，‎ 综上所述.‎ 考点：不等式选讲．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎19.已知函数，是偶函数.‎ ‎（1）求的值;‎ ‎（2）解不等式.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数是偶函数，可知，根据对数的运算，即可求解；‎ ‎（2）由题，根据对数的运算性质，得，令，转化为，利用一元二次不等式的解法和指数与对数的运算，即可求解．‎ ‎【详解】（1）由函数是偶函数，可知，‎ 所以恒成立，‎ 化简得，即，解得．‎ ‎（2）由题，即，整理得，‎ 令得，‎ 解得或者，‎ 从而或，解得或，‎ 原不等式解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，指数函数、对数函数的运算性质，以及一元二次不等式的解法的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求曲线在原点处的切线方程.‎ ‎（2）当时，求函数的零点个数;‎ ‎【答案】（1）（2）函数零点个数为两个 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数的几何意义，即可求解曲线在原点处的切线方程；‎ ‎（2）由（1），求得函数的单调性，分类讨论，即可求解函数的零点个数．‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，则，则，‎ 从而曲线在原点处的切线方程为．‎ ‎（2）由（1）知，令得或，‎ 从而函数单调增区间为，单调减区间为，‎ 当时，恒成立，所以在上没有零点；‎ 当时，函数在区间单调递减，且，存在唯一零点；‎ 当时，函数在区间单调递增，且，存在唯一零点．‎ 综上，当时，函数零点个数为两个.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，着重考查了分类讨论思想，推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎21.已知函数 ‎（1）当为何值时，轴为曲线的切线;‎ ‎（2）若存在（是自然对数的底数），使不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设曲线与轴相切于点，利用导数的几何意义，列出方程组，即可求解；‎ ‎（2）把不等式成立，转化为，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．‎ ‎【详解】（1）设曲线与轴相切于点，则，，‎ 即，‎ 解得，即当时，轴为曲线的切线．‎ ‎（2）由题意知，即，‎ 设，则，‎ 当时，，此时单调递减;‎ 当时，，此时单调递增.‎ 存在，使成立，等价于，即，‎ 又，，故，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求函数的极值;‎ ‎（2）当时，证明：;‎ ‎（3）设函数的图象与直线的两个交点分别为，，的中点的横坐标为，证明：.‎ ‎【答案】（1）取得极大值，没有极小值（2）见解析（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求得函数的单调性，再根据极值的定义，即可求解函数的极值；‎ ‎（2）由，整理得整理得，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．‎ ‎（3）不妨设，由（1）和由（2），得，利用单调性，即可作出证明．‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，则，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 所以当时，取得极大值，没有极小值;‎ ‎（2）由得 整理得，‎ 设，‎ 则，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以，即，‎ 从而有．‎ ‎（3）证明：不妨设，由（1）知，则，‎ 由（2）知，‎ 由在上单调递减，所以，即，‎ 则，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎