【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第4讲函数的概念及其表示学案

【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第4讲函数的概念及其表示学案

第4讲　函数的概念及其表示 ‎1.函数与映射的概念 函数 映射 两集合A,B 设A,B是两个　　　 ‎ 设A,B是两个　　　 ‎ 对应关系 f:A→B 按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的　　　一个数x,在集合B中都有　　　　的数f(x)与之对应 ‎ 按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的　　　　一个元素x,在集合B中都有　　　　的元素y与之对应 ‎ 名称 称　　　　为从集合A到集合B的一个函数 ‎ 称对应　　　　为从集合A到集合B的一个映射 ‎ 记法 y=f(x),x∈A 对应f:A→B ‎2.函数的三要素 函数由　　　　、　　　　和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的　　　　.与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的　　　　. ‎ ‎3.函数的表示法 函数的常用表示方法:　　　　、　　　　、　　　　. ‎ ‎4.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的　　　　,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. ‎ 常用结论 ‎1.常见函数的定义域 ‎(1)分式函数中分母不等于0.‎ ‎(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.‎ ‎(3)一次函数、二次函数的定义域为R.‎ ‎(4)零次幂的底数不能为0.‎ ‎(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.‎ ‎(6)y=logax(a>0,a≠1)的定义域为{x|x>0}.‎ ‎(7)y=tan x的定义域为xx≠kπ+π‎2‎,k∈Z.‎ ‎2.抽象函数的定义域 ‎(1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从而解得x的范围,即为f[g(x)]的定义域.‎ ‎(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.‎ ‎3.基本初等函数的值域 ‎(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.‎ ‎(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为‎4ac-‎b‎2‎‎4a,+∞;当a<0时,值域为‎-∞,‎‎4ac-‎b‎2‎‎4a.‎ ‎(3)y=kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}.‎ ‎(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).‎ ‎(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.‎ 题组一　常识题 ‎1.[教材改编] 以下属于函数的有　　　　.(填序号) ‎ ‎①y=±x;②y2=x-1;③y=x-2‎+‎1-x;④y=x2-2(x∈N).‎ ‎2.[教材改编] 已知函数f(x)=x+1,x≥0,‎x‎2‎‎,x<0,‎则f(-2)=　　　　,f[f(-2)]=　　　　. ‎ ‎3.[教材改编] 函数f(x)=‎8-xx+3‎的定义域是　. ‎ ‎4.[教材改编] 已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有　　　　种. ‎ 题组二　常错题 ‎◆索引:求函数定义域时非等价化简解析式致错;分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻致错.‎ ‎5.函数y=x-2‎·x+2‎的定义域是　　　　. ‎ ‎6.设函数f(x)=‎(x+1‎)‎‎2‎,x<1,‎‎4-x-1‎,x≥1,‎则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为　　　　　　　. ‎ ‎7.已知f(x)=x-1,则f(x)=　　　　　　. ‎ ‎8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有　　　　个. ‎ 探究点一　函数的定义域 角度1　求给定函数解析式的定义域 例1 (1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为 (　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(0,1] B.[0,1]‎ C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0)∪[1,+∞)‎ ‎(2)函数f(x)=‎1-‎‎2‎x+‎1‎x+3‎的定义域为 (　　)‎ A.(-3,0] ‎ B.(-3,1]‎ C.(-∞,-3)∪(-3,0] ‎ D.(-∞,-3)∪(-3,1]‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] (1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.‎ 角度2　求抽象函数的定义域 例2 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],‎ 则函数g(x)=f(2x)‎lnx的定义域是 (　　)‎ A.[0,1] B.[0,1)‎ C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)‎ ‎(2)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为 (　　)‎ A.[-1,1] B.[1,2]‎ C.[10,100] D.[0,lg 2]‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] (1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域均是指其中的x的取值集合;(2)同一问题中、同一法则下的范围是一致的,如f[g(x)]与f[h(x)],其中g(x)与h(x)的范围(即它们的值域)一致.‎ 变式题 (1)若函数y=f(x)的定义域为(0,1),则f(x+1)的定义域为 (　　)‎ A.(-1,0) B.(0,1)‎ C.(1,2) D.(-1,1)‎ ‎(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-‎3‎,‎3‎],则函数y=f(x)的定义域为　　　　. ‎ 探究点二　函数的解析式 例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,则函数f(x)的解析式是(　　)‎ A.f(x)=3x-1 B.f(x)=3x+1‎ C.f(x)=3x+2 D.f(x)=3x+4‎ ‎(2)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,则函数f(x)=　　　　　　　. ‎ ‎(3)设函数f(x)对不为0的一切实数x均有f(x)+2f‎2018‎x=3x,则f(x)=　　　　. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] 求函数解析式的常用方法:‎ ‎(1)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.‎ ‎(2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.‎ ‎(3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.‎ ‎(4)解方程组法:已知f(x)与f‎1‎x或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).‎ 变式题 (1)已知函数f(2x-1)=4x+3,且f(t)=6,则t= (　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎1‎‎5‎ ‎(2)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)= (　　)‎ A.x+1 B.x-1 ‎ C.2x+1 D.3x+3‎ ‎(3)若f(x)为一次函数,且f[f(x)]=4x+1,则f(x)=　　　　　　　　　. ‎ 探究点三　以分段函数为背景的问题 ‎ 微点1　分段函数的求值问题 例4 (1)[2018·衡水调研] 设函数f(x)=x+1,x≥0,‎‎1‎‎2‎x‎,x<0,‎则f[f(-1)]= (　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎2‎+1‎ C.1 D.3‎ ‎(2)已知函数f(x)=‎2‎x‎,x<2,‎f(x-1),x≥2,‎则f(log27)=　　　　. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.‎ 微点2　分段函数与方程 例5 (1)已知函数f(x)=‎(3+a)x+a,x<1,‎logax,x≥1,‎若f[f(1)]=3,则a= (　　)‎ A.2 B.-2‎ C.-3 D.3‎ ‎(2)函数f(x)=‎2‎x‎,x≤0,‎x-lnx,x>0,‎若f(0)+f(a)=2,则a的值为　　　　. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值.‎ 微点3　分段函数与不等式问题 例6 (1)[2018·惠州二模] 设函数f(x)=‎2‎‎-x‎-1,x≤0,‎x‎1‎‎2‎‎,x>0,‎若f(x0)>1,则x0的取值范围是 (　　)‎ A.(-1,1) ‎ B.(-1,+∞)‎ C.(-∞,-2)∪(0,+∞) ‎ D.(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ ‎(2)[2018·全国卷Ⅰ] 设函数f(x)=‎2‎‎-x‎,x≤0,‎‎1,x>0,‎则满足f(x+1)0,‎若f(a)=4,则实数a的值为 (　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎‎1‎‎8‎ C.‎1‎‎2‎或‎1‎‎8‎ D.‎‎1‎‎16‎ ‎3.【微点3】已知函数f(x)=‎3+log‎2‎x,x>0,‎x‎2‎‎-x-1,x≤0,‎则不等式f(x)≤5的解集为 (　　)‎ A.[-1,1] ‎ B.[-2,4] ‎ C.(-∞,-2]∪(0,4) ‎ D.(-∞,-2]∪[0,4]‎ ‎4.【微点3】[2018·湖北咸宁联考] 已知函数f(x)=x‎2‎‎-2x,x≥0,‎‎1‎x‎,x<0,‎则不等式f(x)≤x的解集为 (　　)‎ A.[-1,3] ‎ B.(-∞,-1]∪[3,+∞)‎ C.[-3,1] ‎ D.(-∞,-3]∪[1,+∞)‎ ‎5.【微点2】设函数f(x)=‎3x-b,x<1,‎‎2‎x‎,x≥1,‎若ff‎5‎‎6‎=4,则b=　　　　. ‎ 第4讲　函数的概念及其表示 考试说明 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.‎ ‎2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.‎ ‎3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.非空数集　非空集合　任意　唯一确定　任意　唯一确定　f:A→B　f:A→B ‎2.定义域　值域　定义域　值域 ‎3.解析法　图像法　列表法 ‎4.对应关系 对点演练 ‎1.④　[解析] ①②对于定义域内任给的一个数x,可能有两个不同的y值,不满足对应的唯一性,故①②错.③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错.只有④表示函数.‎ ‎2.4　5　[解析] 因为f(-2)=(-2)2=4,所以f[f(-2)]=f(4)=4+1=5.‎ ‎3.(-∞,-3)∪(-3,8]　[解析] 要使函数有意义,需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].‎ ‎4.7　[解析] 只含有一个元素时有{a},{b},{c};有两个元素时,有{a,b},{a,c},{b,c};有三个元素时,有{a,b,c}.所以值域C共有7种不同情况.‎ ‎5.{x|x≥2}　[解析] 要使函数有意义,需x-2≥0,‎x+2≥0,‎解得x≥2,即定义域为{x|x≥2}.‎ ‎6.(-∞,-2]∪[0,10]　[解析] ∵f(x)是分段函数,∴f(x)≥1应分段求解.‎ 当x<1时,f(x)≥1⇒(x+1)2≥1⇒x≤-2或x≥0,∴x≤-2或0≤x<1.‎ 当x≥1时,f(x)≥1⇒4-x-1‎≥1,即x-1‎≤3,∴1≤x≤10. ‎ 综上所述,x≤-2或0≤x≤10,即x∈(-∞,-2]∪[0,10].‎ ‎7.x2-1(x≥0)　[解析] 令t=x,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).‎ ‎8.9　[解析] 设函数y=x2的定义域为D,其值域为{1,4},D的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9.‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨] (1)根据对数式的真数大于0求解;(2)根据二次根式的被开方数非负及分母不为0求解.‎ ‎(1)C　(2)A　[解析] (1)由x2-x>0,得x>1或x<0,所以定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).‎ ‎(2)由题意,自变量x应满足‎1-‎2‎x≥0,‎x+3>0,‎解得x≤0,‎x>-3,‎故函数的定义域为(-3,0].‎ 例2　[思路点拨] (1)由f(x)的定义域得f(2x)的定义域,再结合ln x≠0求解;(2)由x∈[-1,1],求得x2+1的范围是[1,2],再由1≤lg x≤2即可得函数f(lg x)的定义域.‎ ‎(1)D　(2)C　[解析] (1)∵f(x)的定义域为[0,2],∴要使f(2x)有意义,则有0≤2x≤2,∴0≤x≤1,∴要使g(x)有意义,应有‎0≤x≤1,‎lnx≠0,‎∴00两种情况讨论求解.‎ ‎(1)D　(2)0或1　[解析] (1)根据题意可知f(1)=loga1=0,所以f[f(1)]=f(0)=(3+a)×0+a=a=3,‎ 即a=3,故选D.‎ ‎(2)∵f(x)=‎2‎x‎,x≤0,‎x-lnx,x>0,‎∴f(0)=20=1.‎ 当a>0时,f(a)=a-ln a,则有1+a-ln a=2,解得a=1;‎ 当a≤0时,f(a)=2a,则有1+2a=2,解得a=0.‎ 例6　[思路点拨] (1)分x0≤0和x0>0两种情况讨论求解;(2)根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,结合图像可得不等式成立的条件.‎ ‎(1)D　(2)D　[解析] (1)当x0≤0时,由f(x0)=‎2‎‎-‎x‎0‎-1>1,即‎2‎‎-‎x‎0‎>2,解得x0<-1;‎ 当x0>0时,由f(x0)=x‎0‎‎1‎‎2‎>1,解得x0>1.‎ ‎∴x0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).‎ ‎(2)f(x)的图像如图所示.当x+1≤0,‎‎2x≤0,‎即x≤-1时,若满足f(x+1)2x,即x<1,此时x≤-1;当x+1>0,‎‎2x<0,‎即-10,‎ 所以a=‎1‎‎2‎,‎a≤0‎或a=‎1‎‎8‎,‎a>0,‎所以a=‎1‎‎8‎,故选B.‎ ‎3.B　[解析] 由于f(x)=‎‎3+log‎2‎x,x>0,‎x‎2‎‎-x-1,x≤0,‎ 所以当x>0时,3+log2x≤5,即log2x≤2=log24,得0‎3‎‎2‎,可得3×‎5‎‎2‎‎-b-b=4,解得b=‎7‎‎8‎<‎3‎‎2‎(舍去).故答案为‎1‎‎2‎.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【备选理由】 例1考查给定函数解析式,求抽象函数的定义域问题;例2考查分段函数的求值,但涉及三角函数及函数的周期性;例3考查分段函数与方程问题,先分析参数的范围,可以避免分类讨论;例4是对函数值域的考查,依据分段函数的值域求参数,是对已有例题的有效补充,值得探究和思考.‎ 例1　[配合例2使用] [2018·邵阳期末] 设函数f(x)=log2(x-1)+‎2-x,则函数fx‎2‎的定义域为(　　)‎ A.(1,2] B.(2,4]‎ C.[1,2) D.[2,4)‎ ‎[解析] B　要使函数f(x)有意义,则需‎2-x≥0,‎x-1>0‎⇒11,‎x+1,x≤1,‎若f(1-a)=f(1+a)(a>0),则实数a的值为　　　　. ‎ ‎[答案] 1‎ ‎[解析] ∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,∴由f(1-a)=f(1+a)得2-a=‎1‎a,即a2-2a+1=0,∴a=1.‎ 例4　[补充使用] [2018·武邑中学模拟] 若函数f(x)=x+a,x≤2,‎log‎4‎x,x>2‎的值域为R,则a的取值范围是　　　　. ‎ ‎[答案] a≥-‎‎3‎‎2‎ ‎[解析] ∵f(x)=log4x在x>2时的值域为‎1‎‎2‎‎,+∞‎,‎ ‎∴f(x)=x+a在x≤2时的最大值必须大于等于‎1‎‎2‎,‎ 即满足2+a≥‎1‎‎2‎,解得a≥-‎3‎‎2‎.‎ 故答案为a≥-‎3‎‎2‎.‎