安徽省定远县重点中学2020届高三4月模拟考试数学（理）试题

安徽省定远县重点中学2020届高三4月模拟考试数学（理）试题

定远重点中学2020届高三下学期4月模拟考试 理科数学 本卷满分150分，考试用时120分钟。‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1.，，若，则的取值集合为 A. B. C. D. ‎ ‎2.若复数的实部和虚部相等，则实数的值为 A. 1 B. C. D. ‎ ‎3.已知直线和平面，且，则“”是“”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4.在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知数列的首项为，第2项为，前项和为，当整数时，恒成立，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎6.函数的图象可能为 ‎7.已知椭圆的左、右顶点分别为， 为椭圆的右焦点，圆上有一动点， 不同于两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知实数满足，则下列关系式中恒成立的是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知双曲线的左、右焦点分别，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且,则双曲线的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知直线经过函数 图像相邻的最高点和最低点，则将的图像沿轴向左平移个单位后得到解析式为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线，直线为曲线在点处的切线.如图所示，阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.给出以下四个几何体：‎ ‎ ‎ ① ‎ ② ③ ④‎ 图①是底面直径和高均为的圆锥；‎ 图②是将底面直径和高均为的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；‎ 图③是底面边长和高均为的正四棱锥；‎ 图④是将上底面直径为，下底面直径为，高为的圆台挖掉一个底面直径为，高为的倒置圆锥得到的几何体.‎ 根据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积相等的是 ‎ A. ① B. ② C. ③ ‎ D. ④‎ 第II卷（非选择题 90分）‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.的展开式中项的系数为__________．‎ ‎14.在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列，，则面积的取值范围是__________．‎ ‎15.如图所示，已知直线的方程为，⊙，⊙是相外切的等圆.且分别与坐标轴及线段相切，，则两圆半径__________（用常数表示）．‎ ‎16.已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60°，则四面体的体积为__________．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写需给出文字说明，证明过程或演算步骤。) ‎ ‎17. （本小题满分12分）在中，角所对的边分别为 .‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的中线的长为，求的面积的最大值.‎ ‎18. （本小题满分12分）如图，在四面体中，平面平面， , ， ， .‎ ‎(1)求证： ；‎ ‎(2)设是的中点，若直线与平面的夹角为，‎ 求四面体外接球的表面积.‎ ‎19. （本小题满分12分）已知过抛物线焦点且倾斜角的直线与抛物线交于点 的面积为．‎ ‎（I）求抛物线的方程；‎ ‎（II）设是直线上的一个动点，过作抛物线的切线，切点分别为直线与直线轴的交点分别为点是以为圆心为半径的圆上任意两点，求最大时点的坐标．‎ ‎20. （本小题满分12分）2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市（简称创文）”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分， 内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率.‎ ‎（1）求被调查者满意或非常满意该项目的频率；‎ ‎（2）若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；‎ ‎（3）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占 ‎，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望.‎ ‎21. （本小题满分12分）设函数，其中， 是自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）若是上的增函数，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，证明： .‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为.在以原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.‎ ‎（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 ‎ 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）证明：对于任意的，都有成立.‎ 参考答案 ‎1.D 2.C 3.A 4.B 5.D 6.D 7.D 8.D 9.C 10.A 11.A 12.A ‎13.-132 14. 15. 16.6‎ ‎17. 解析：(1) ，‎ 即.‎ ‎(2) 由三角形中线长定理得： ，‎ 由三角形余弦定理得： ，‎ 消去得: （当且仅当时，等号成立），‎ 即.‎ ‎18.解析：(1)由平面平面， ，得平面，‎ ‎ ‎ 又由， ， ，得，所以 ‎ 故平面，所以 ‎（2）取的中点，连接，则,‎ 因为平面 平面 ‎ 连接,则，‎ 又，所以四面体的外接球的半径 ‎ 故四面体的外接球的表面积=（向量解法酌情给分）.‎ ‎19.解析：（I）依题意， ，所以直线的方程为；‎ 由得，‎ 所以，‎ 到的距离，‎ ‎，抛物线方程为 ‎（II）设，由得，‎ 则切线方程为即，‎ 同理，切线方程为，‎ 把代入可得故直线的方程为即 由得，‎ ‎，‎ 当与圆相切时角最大，‎ 此时，等号当时成立 当时，所求的角最大．‎ 综上，当最大时点的坐标为 ‎20.解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，‎ 评分在的频率为：‎ ‎；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是 ‎，‎ 用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，‎ 该人非常满意该项目的概率为，‎ 现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：‎ ‎；‎ ‎（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占，‎ 又从被调查者中按年龄分层抽取9人，‎ ‎∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人，‎ 随机变量的所有可能取值为0，1，2，‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的数学期望 .‎ ‎21.解析：（Ⅰ）， 是上的增函数等价于恒成立.‎ 令，得，令（）.以下只需求的最大值.‎ 求导得，‎ 令， ， 是上的减函数，‎ 又，故1是的唯一零点，‎ 当， ， ， 递增；当， ， ， 递减；‎ 故当时， 取得极大值且为最大值，‎ 所以，即的取值范围是.‎ ‎（Ⅱ） .‎ 令（），以下证明当时， 的最小值大于0.‎ 求导得 .‎ ‎①当时， ， ；‎ ‎②当时， ，令，‎ 则 ，又 ，‎ 取且使，即，则 ，‎ 因为，故存在唯一零点，‎ 即有唯一的极值点且为极小值点，又，‎ 且，即，故，‎ 因为，故是上的减函数.‎ 所以 ，所以.‎ 综上，当时，总有.‎ ‎22.解析：（1）直线的参数方程为 (为参数）.‎ ‎∵，∴，∴，即，‎ 故曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，‎ 显然, ∴, ∴，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎23. 解析：（1）∵，∴.‎ 当时，不等式可化为，解得，∴；‎ 当,不等式可化为，解得， 无解；‎ 当时，不等式可化为，解得，∴.‎ 综上所述， 或.‎ ‎（2）∵，‎ 要证成立，只需证，‎ 即证，即证,即证.‎ 由（1）知， 或，∵，∴，‎ ‎∴成立.‎ 综上所述，对于任意的都有成立.‎