2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十三 空间线面位置关系的推理与证明

2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十三 空间线面位置关系的推理与证明

专题十三 空间线面位置关系的推理与证明 ‎1.如图，在直三棱柱ABC A1B‎1C1中，A1B1＝A‎1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B‎1C1的中点．‎ ‎[来源:学&科&网]‎ 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；‎ ‎(2)直线A‎1F∥平面ADE.‎ 证明　(1)因为ABCA1B‎1C1是直三棱柱，‎ 所以 CC1⊥平面ABC，‎ 又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD. ‎ 又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，‎ CC1∩DE＝E，‎ 所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，‎ 所以平面ADE⊥平面BCC1B1.‎ ‎(2)因为A1B1＝A‎1C1，F为B‎1C1的中点，‎ 所以A‎1F⊥B‎1C1.‎ 因为CC1⊥平面A1B‎1C1，且A‎1F⊂平面A1B‎1C1，‎ 所以CC1⊥A‎1F.‎ 又因为CC1，B‎1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B‎1C1＝C1，‎ 所以A‎1F⊥平面BCC1B1.‎ 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A‎1F∥AD.‎ 又AD⊂平面ADE，A‎1F⊄平面ADE，所以A‎1F∥平面ADE.‎ 本问题主要以解答题的形式进行考查，重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问．‎ 首先要学会认识几何图形，有一定的空间想象能力，对照着已知条件逐一判断．其次要熟悉相关的基本定理和基本性质，要善于把空间问题转化为平面问题进行解答．高考试题一般是利用直线与平面平行或垂直的 判断定理和性质定理，以及平面与平面平行或垂直的判定定理和性质定理，把空间中的线线位置关系、线面位置关系和面面位置关系进行相互转化，这就要求同学们对平行与垂直的判定定理和性质定理熟练掌握，并在相应的题目中用相应的数学语言进行准确的表述．‎ 必备知识 平行关系的转化 两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图．‎ 解决平行问题时要注意以下结论的应用 ‎(1)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．‎ ‎(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面．‎ ‎(3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．‎ ‎(4)平行于同一条直线的两条直线平行．‎ ‎(5)平行于同一个平面的两个平面平行．‎ ‎(6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行．‎ 垂直关系的转化 与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．‎ 在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化．‎ 必备方法 ‎1．证明平行、垂直问题常常从已知联想到有关判定定理或性质定理，将分析法与综合法综合起来考虑．‎ ‎2．证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直．‎ ‎3．使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几何问题．‎ ‎4．正向思维受阻时，可考虑使用反证法．‎ ‎5．计算题应在计算中融入论证，使证算合一，逻辑严谨．通常计算题是经过“作图、证明、说明、计算”等步骤来完成的，应不缺不漏，清晰、严谨．‎ 此类问题涉及的知识面较广，综合性较强，常考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质，考查学生分析、解决问题的能力，难度中档．‎ ‎【例1】► 如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉AD，BE綉AF，G、H分别为FA、FD的中点．‎ ‎(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；‎ ‎(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？‎ ‎[审题视点] 　‎ ‎　‎ ‎[听课记录]‎ ‎[审题视点] 要证明四边形BCHG是平行四边形，只要证明GH綉BC或GB綉HC即可；要证明C，D，E，F共面，可通过证明四边形CDEF中至少有一组对边平行或两边的延长线相交即可．‎ ‎(1)证明　由题意知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綉AD.‎ 又BC綉AD，故GH綉BC.所以四边形BCHG是平行四边形．‎ ‎(2)解　C、D、F、E四点共面．理由如下：‎ 由BE綉AF，G是FA的中点知，BE綉GF，所以EF綉BG.‎ 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．‎ 法二　由题设知FA，AB，AD两两互相垂直，如图，以A为坐标原点，以射线AB为x轴正方向，以射线AD为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立直角坐标系Axyz.‎ ‎(1)证明　设AB＝a，BC＝b，BE＝c，则由题设得 A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，‎ D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，‎ H(0，b，c)．‎ 所以＝(0，b,0)，＝(0，b,0)，于是＝.‎ 又点G不在直线BC上，所以四边形BCHG是平行四边形．‎ ‎(2)解　C，D，F，E四点共面．‎ 理由如下：‎ 由题设知F(0,0,‎2c)，所以＝(－a,0，c)，＝(－a,0，c)，‎ ＝，又C∉EF，H∈FD，故C，D，E，F四点共面．‎ ‎ 解决空间线面位置关系的组合判断题常有以下方法：‎ ‎(1)借助空间线面位置关系的线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；‎ ‎(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，肯定或否定某些选项，并作出选择．‎ ‎【突破训练1】 给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：‎ ‎①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；‎ ‎②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；‎ ‎③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；‎ ‎④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.‎ 其中为真命题的是________(填序号)．‎ 解析　③中l∥m或l，m异面，所以③错误，其他正确．‎ 答案　①②④‎ 此类问题多以多面体为载体，求证线线、线面的平行与垂直，在解答题中往往作为第一问，难度一般不大，适当添加辅助线是解题的常用方法，考查学生灵活应用线线、线面的平行与垂直的相互转化能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例2】如图所示，正三棱柱A1B‎1C1ABC中，点D是BC的中点，BC＝BB1，设B1D∩BC1＝F.求证：‎ ‎(1)A‎1C∥平面AB1D；‎ ‎(2)BC1⊥平面AB1D.‎ ‎[审题视点] 　‎ ‎　‎ ‎[听课记录]‎ ‎[审题视点] 本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行及垂直关系，第(1)问可利用“线线平行”或“面面平行”，第(2)问可利用“线线垂直”来证“线面垂直”．‎ 证明　(1)连接A1B，设A1B与AB1交于E，连接DE.‎ ‎∵点D是BC中点，点E是A1B中点，‎ ‎∴DE∥A‎1C，∵A‎1C⊄平面AB1D，‎ DE⊂平面AB1D，‎ ‎∴A‎1C∥平面AB1D.‎ ‎(2)∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点，∴AD⊥BC.‎ ‎∵平面ABC⊥平面B1BCC1，‎ 平面ABC∩平面B1BCC1＝BC，AD⊂平面ABC，‎ ‎∴AD⊥平面B1BCC1，‎ ‎∵BC1⊂平面B1BCC1，∴AD⊥BC1.‎ ‎∵点D是BC的中点，BC＝BB1，∴BD＝BB1.‎ ‎∵＝＝，∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1.‎ ‎∴∠BDB1＝∠BC‎1C.‎ ‎∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC‎1C＝90°.‎ ‎∴BC1⊥B1D.因为B1D∩AD＝D，‎ ‎∴BC1⊥平面AB1D.‎ ‎ 将立体几何问题转化为平面几何问题，是解决立体几何问题的很好途径，其中过特殊点作辅助线，构造平面是比较常用的方法．当然，记住公式、定理、概念等基础知识是解决问题的前提．‎ ‎【突破训练2】如 图，在四棱台ABCDA1B‎1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.证明：‎ ‎(1)AA1⊥BD；‎ ‎(2)CC1∥平面A1BD.‎ 证明　‎ ‎(1)因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以BD⊥D1D，‎ 取AB的中点G，连接DG，‎ 在△ABD中，由AB＝2AD得，‎ AG＝AD，‎ 又∠BAD＝60°，所以△ADG为等边三角形．‎ 因此GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB，‎ 又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，‎ 故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°‎ 所以BD⊥AD.又AD∩D1D＝D，‎ 所以BD⊥平面ADD‎1A1，又AA1⊂平面ADD‎1A1，‎ 故AA1⊥BD.‎ ‎(2)连接AC，A‎1C1，设AC∩BD＝E，连接EA1，‎ 因为四边形ABCD为平行四边形，‎ 所以EC＝AC，‎ 由棱台定义及AB＝2AD＝‎2A1B1知，‎ A‎1C1∥EC且A‎1C1＝EC，‎ 所以四边形A1ECC1为平行四边形，‎ 因此CC1∥EA1，‎ 又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，‎ 所以CC1∥平面A1BD.‎ 此类问题多以多面体为载体，结合线线、线面的位置关系，涉及的知识点多，综合性强，通常考查面面位置关系的判定及性质，考查学生的推理论证能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例3】► 如图所示，‎ 在四棱锥PABCD中，△PAB为正三角形，且面PAB⊥面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，∠BCD＝，AD＝1，BC＝2，E为棱PC的中点．‎ ‎(1)求证：DE∥平面PAB；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PBC.‎ ‎[审题视点] 　‎ ‎　‎ ‎[听课记录]‎ ‎[审题视点] (1)证明线面平行只需在平面内找一条和该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线的平面和已知平面平行；(2)证明面面垂直，只需在一个平面内找到另一个平面的垂线．‎ ‎(1)证明　如图所示，取线段BC的中点F，连接EF、FD.‎ 在△PBC中，E、F分别为PC、CB的中点，∴EF∥PB.‎ 在直角梯形ABCD中，F为CB的中点，‎ ‎∴BF＝BC＝1.‎ 又∵AD∥BC，且AD＝1，‎ ‎∴AD綉BF.‎ ‎∴四边形ABFD是平行四边形，‎ ‎∴FD∥AB.‎ 又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B，‎ ‎∴平面EFD∥平面PAB.‎ 又∵DE⊂平面EFD，‎ ‎∴DE∥平面PAB.‎ ‎(2)证明　在直角梯形中，CB⊥AB，‎ 又∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，‎ ‎∴CB⊥平面PAB.‎ ‎∵CB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.[来源:学科网]‎ ‎ 解决空间两个平面位置关系的思维方法是“以退为进”，即面面问题退证为线面问题，再退证为线线问题，充分利用面面、线面、线线相互之间的转化关系．‎ ‎【突破训练3】如图，‎ 在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：‎ ‎(1)直线EF∥平面PCD；‎ ‎(2)平面BEF⊥平面PAD.‎ 证明　‎ ‎(1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.‎ 又因为EF⊄平面PCD，‎ PD⊂平面PCD，‎ 所以直线EF∥平面PCD.‎ ‎(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，‎ 所以△ABD为正三角形．‎ 因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.‎ 因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.‎ 又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.‎ 此类问题通常是把平面图形折叠成空间几何体，并以此为载体考查线线、线面、面面位置关系及有关计算．考查学生的知识迁移能力和空间想象能力，难度较大．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例4】如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D是AP的中点，E、F分别为PC、PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥PABCD.‎ ‎(1)G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；‎ ‎(2)当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG.‎ ‎[审题视点] 　‎ ‎　‎ ‎[听课记录]‎ ‎[审题视点] (1)转化为证EF⊥平面PAD；‎ ‎(2)转化为证平面PAB∥平面EFG.‎ 证明　(1)在直角梯形ABCP中，‎ ‎∵BC∥AP，BC＝AP，D为AP的中点，‎ ‎∴BC綉AD，又AB⊥AP，AB＝BC，‎ ‎∴四边形ABCD为正方形．‎ ‎∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD.‎ 在四棱锥PABCD中，∵E，F分别为PC、PD的中点，‎ ‎∴EF∥CD、EF⊥AD，EF⊥PD.‎ 又PD∩AD＝D、PD⊂面PAD、AD⊂面PAD.‎ ‎∴EF⊥面PAD.‎ 又EF⊂面EFG，∴面EFG⊥面PAD.‎ ‎(2)法一　∵G、F分别为BC和PC中点，∴GF∥BP，‎ ‎∵GF⊄面PAB，BP⊂面PAB，∴GF∥面PAB.‎ 由(1)知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB，‎ ‎∵EF⊄面PAB，AB⊂面PAB，∴EF∥面PAB.‎ ‎∵EF∩GF＝F，EF⊂面EFG，GF⊂面EFG.‎ ‎∴面EFG∥面PAB.∵PA⊂面PAB，∴PA∥面EFG.‎ 法二　取AD中点H，连接GH、HE.‎ 由(1)知四边形ABCD为平行四边形，‎ 又G、H分别为BC、AD的中点，∴GH∥CD.‎ 由(1)知，EF∥CD，∴EF∥GH.[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎∴四点E、F、G、H共面．‎ ‎∵E、H分别为PD、AD的中点，∴EH∥PA.‎ ‎∵PA⊄面EFGH，EH⊂面EFGH，[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎∴PA∥面EFGH，即PA∥面EFG.‎ ‎ (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．‎ ‎【突破训练4】 如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.‎ ‎(1)求证：AB⊥DE；‎ ‎(2)求三棱锥EABD的侧面积．‎ ‎(1)证明　在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝＝2.‎ ‎∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.‎ 又∵平面EBD⊥平面ABD，‎ 平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，‎ ‎∴AB⊥平面EBD.又∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.‎ ‎(2)解　由(1)知AB⊥BD.‎ ‎∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD.‎ 在Rt△DBE中，∵DB＝2，DE＝DC＝AB＝2，‎ ‎∴S△DBE＝DB·DE＝2.‎ 又∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE.‎ ‎∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝AB·BE＝4.‎ ‎∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD，‎ 而AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，‎ ‎∴S△ADE＝AD·DE＝4.‎ 综上，三棱锥EABD的侧面积S＝8＋2.‎ 证明线面关系，严禁跳步作答 证明线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上，通过证明线面垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．‎ ‎【示例】在棱长为2的正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．‎ ‎(1)求证：EF∥平面ABC1D1；‎ ‎(2)求证：EF⊥B‎1C.‎ ‎[满分解答]　‎ ‎(1)连接BD1，如图所示，在△DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，‎ 则EF∥D1B，‎ ‎∵D1B⊂平面ABC1D1，‎ EF⊄平面ABC1D1，‎ ‎∴EF∥平面ABC1D1.(6分)‎ ‎(2)∵ABCDA1B‎1C1D1为正方体，‎ ‎∴AB⊥平面BCC1B1.‎ ‎∴B‎1C⊥AB.‎ 又B‎1C⊥BC1，AB⊂平面ABC1D1，‎ BC1⊂平面ABC1D1且AB∩BC1＝B，‎ ‎∴B‎1C⊥平面ABC1D1，‎ 又∵BD1⊂平面ABC1D1，∴B‎1C⊥BD1.‎ 又EF∥BD1，∴EF⊥B‎1C.(12分)‎ 老师叮咛：本题失分原因主要有两点：一是推理论证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视定理的使用条件，如由EF∥D1B就直接得出EF∥平面ABC1D1；二是线面位置关系的证明思路出错，如本题第(2)问的证明，缺乏转化的思想意识，不知道证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的，出现证明上的错误．解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等．‎ ‎【试一试】如图，‎ 在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥底面ABCD，M为SA的中点，N为CD的中点．证明：‎ ‎(1)平面SBD⊥平面SAC；‎ ‎(2)直线MN∥平面SBC.‎ 证明　(1)∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.‎ ‎∵SA⊥底面ABCD，∴BD⊥SA.‎ ‎∵SA∩AC＝A，∴BD⊥平面SAC.‎ 又∵BD⊂平面SBD，∴平面SBD⊥平面SAC.‎ ‎(2)如图，取SB中点E，连接ME，CE.‎ ‎∵M为SA中点，‎ ‎∴ME∥AB且ME＝AB.‎ 又∵ABCD是菱形，N为CD的中点，‎ ‎∴CN∥AB且CN＝CD＝AB.‎ ‎∴CN綉ME.‎ ‎∴四边形CNME是平行四边形，∴MN∥CE.[来源:学#科#网]‎ 又MN⊄平面SBC，CE⊂平面SBC，‎ ‎∴直线MN∥平面SBC.‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎