高考数学一轮复习精品题集之圆锥曲线

高考数学一轮复习精品题集之圆锥曲线

圆锥曲线 选修 1-1 第 2 章 圆锥曲线与方程 考纲总要求：①了解圆锥曲线的实际背景，了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． ②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质． ③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质． ④理解数形结合的思想．[来源:学科网] ⑤了解圆锥曲线的简单应用． §2.1-2 椭圆 重难点：建立并掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单 几何性质，能运用椭圆的几何性质处理一些简单的实际问题． 经典例题：已知 A、B 为椭圆 2 2 a x + 2 2 9 25 a y =1 上两点，F2 为椭圆的右焦点，若|AF2|+|BF2|= 5 8 a， AB 中点到椭圆左准线的距离为 2 3 ，求该椭圆方程． 当堂练习： 1．下列命题是真命题的是 （ ） A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆 B．到定直线 c ax 2  和定点 F(c，0)的距离之比为 a c 的点的轨迹是椭圆 C．到定点 F(－c，0)和定直线 c ax 2  的距离之比为 a c (a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭 圆 D．到定直线 c ax 2  和定点 F(c，0)的距离之比为 c a (a>c>0)的点的轨迹是椭圆 2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点 )2 3,2 5(  ，则椭圆方程是 （ ） A． 148 22  xy B． 1610 22  xy C． 184 22  xy D． 1610 22  yx 3．若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围为 （ ） A．（ 0，+∞） B．（ 0，2） C．（ 1，+∞） D．（ 0，1） 4．设定点 F1（0，－3）、 F2（0，3），动点 P 满足条件 )0(9 21  aaaPFPF ，则点 P 的 轨迹是（ ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 5．椭圆 12 2 2 2  b y a x 和 k b y a x  2 2 2 2  0k 具有 （ ） A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴 6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍，则这个椭圆的离心率为 （ ） A． 4 1 B． 2 2 C． 4 2 D． 2 1 7．已知 P 是椭圆 136100 22  yx 上的一点，若 P 到椭圆右准线的距离是 2 17 ，则点 P 到左焦点 的距离（ ） A． 5 16 B． 5 66 C． 8 75 D． 8 77 8．椭圆 1416 22  yx 上的点到直线 022  yx 的最大距离是 （ ） A．3 B． 11 C． 22 D． 10 9．在椭圆 134 22  yx 内有一点 P（1，－ 1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点 M，使 |MP|+2|MF| 的值最小，则这一最小值是 （ ） A． 2 5 B． 2 7 C．3 D．4 10．过点 M（－2，0）的直线 m 与椭圆 12 2 2  yx 交于 P1，P2，线段 P1P2 的中点为 P， 设直线 m 的斜率为 k1（ 01 k ），直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2 的值为 （ ） A．2 B．－2 C． 2 1 D．－ 11．离心率 2 1e ，一个焦点是  3,0 F 的椭圆标准方程为 ___________ . 12．与椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２ )的椭圆方程为_______________． 13．已知  yxP , 是椭圆 125144 22  yx 上的点，则 yx  的取值范围是________________ ． 14．已知椭圆Ｅ的短轴长为 6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率 等于__________________． 15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率 3 2e ，短轴长为 58 ，求椭圆的方程． 16．过椭圆 4:),(148: 22 00 22  yxOyxPyxC 向圆上一点 引两条切线 PA、PB、A、 B 为切点，如直线 AB 与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点． （1）若 0 PBPA ，求 P 点坐标； （2）求直线 AB 的方程（用 00 , yx 表示）； （3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点） 17．椭圆 12 2 2 2  b y a x a ＞b ＞ 0 与直线 1 yx 交于 P 、Q 两点，且 OQOP  ，其中O 为坐标原点. （1）求 22 11 ba  的值； （2）若椭圆的离心率e 满足 3 3 ≤ ≤ 2 2 ，求椭圆长轴的取值范围. 18．一条变动的直线 L 与椭圆 4 2x + 2 y 2 =1 交于 P、Q 两点，M 是 L 上的动点，满足关系 |MP|·|MQ|=2．若直线 L 在变动过程中始终保持其斜率等于 1．求动点 M 的轨迹方程，并 说明曲线的形状． 选修 1-1 第 2 章 圆锥曲线与方程 §2.3 双曲线 重难点：建立并掌握双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程；掌 握双曲 线的简单几何性质，能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题． 经典例题：已知不论 b 取何实数，直线 y=kx+b 与双曲线 12 22  yx 总有公共点，试求实 数 k 的取值范围． 当堂练习： 1．到两定点  0,31 F 、  0,32F 的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹 （ ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线 2．方程 111 22  k y k x 表示双曲线，则 k 的取值范围是 （ ） A． 11  k B． 0k C． 0k D． 1k 或 1k 3． 双曲线 1 412 2 2 2 2     m y m x 的焦距是 （ ） A．4 B． 22 C．8 D．与 m 有关 x y o x y o x y o x y o 4．已知 m,n 为两个不相等的非零实数，则方程 mx－y+n=0 与 nx2+my2=mn 所表示的曲线 可能是 （ ） A B C D 5． 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为 （ ） A． 2 3 B．3 C． 3 4 D． 3 6．焦点为 6,0 ，且与双曲线 12 2 2  yx 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ） A． 12412 22  yx B． 12412 22  xy C． 11224 22  xy D． 11224 22  yx 7．若 ak 0 ，双曲线 12 2 2 2     kb y ka x 与双曲线 12 2 2 2  b y a x 有 （ ） A．相同的虚轴 B．相同的实轴 C．相同的渐近线 D． 相同的焦点 8．过双曲线 1916 22  yx 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6，则 2ABF （F2 为右焦点）的周长是 （ ） A．28 B．22 C．14 D．12 9．已知双曲线方程为 14 2 2  yx ，过 P（1，0）的直线 L 与双曲线只有一个公共点，则 L 的条数共有 （ ） A．4 条 B．3 条 C．2 条 D．1 条 10．给出下列曲线：①4x+2y－1=0; ②x2+y2=3; ③ 12 2 2  yx ④ 12 2 2  yx ，其中与直线 y=－2x－3 有交点的所有曲线是 （ ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 11．双曲线 179 22  yx 的右焦点到右准线的距离为__________________________． 12 ． 与 椭 圆 12516 22  yx 有相同的焦点，且两准线间的距离为 3 10 的 双 曲 线 方 程 为 ____________． 13．直线 1 xy 与双曲线 132 22  yx 相交于 BA, 两点，则 AB =__________________． 14．过点 )1,3( M 且被点 M 平分的双曲线 14 2 2  yx 的弦所在直线方程为 ． 15．求一条渐近线方程是 043  yx ，一个焦点是  0,4 的双曲线标准方程，并求此双曲线 的离心率． 16．双曲线  0222  aayx 的两个焦点分别为 21,FF ， P 为双曲线上任意一点，求证： 21 PFPOPF 、、 成等比数列（O 为坐标原点）． 17．已知动点 P 与双曲线 x2－y2＝1 的两个焦点 F1，F2 的距离之和为定值，且 cos∠F1PF2 的最小值为－1 3. （1）求动点 P 的轨迹方程； （2）设 M(0，－1)，若斜率为 k(k≠0)的直线 l 与 P 点的轨迹交于不同的两点 A、B，若要使 |MA|＝|MB|，试求 k 的取值范围． 18．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听 到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离 都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在 同一平面上). 选修 1-1 第 2 章 圆锥曲线与方程 §2.4 抛物线 重难点：建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线 的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题． 经典例题：如图, 直线 y= 2 1 x 与抛物线 y= 8 1 x2－4 交于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线 与直线 y=－5 交于 Q 点. （1）求点 Q 的坐标；（2）当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方（含 A、B）的动点时, 求 ΔOPQ 面积的最大值. [来源:Z|xx|k.Com] 当堂练习： 1．抛物线 22xy  的焦点坐标是 （ ） A． )0,1( B． )0,4 1( C． )8 1,0( D． )4 1,0( 2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，其上的点 )3,( mP 到焦点的距离为 5，则抛物 线方程为（ ） A． yx 82  B． yx 42  C． yx 42  D． yx 82  3．抛物线 xy 122  截直线 12  xy 所得弦长等于 （ ） A． 15 B． 152 C． 2 15 D．15 4．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ） A． yx 2 92  或 xy 3 42  B． xy 2 92  或 yx 3 42  C． yx 3 42  D． xy 2 92  5．点 )0,1(P 到曲线     ty tx 2 2 （其中参数 Rt  ）上的点的最短距离为 （ ） A．0 B．1 C． 2 D．2 6．抛物线 )0(22  ppxy 上有 ),,(),,( 2211 yxByxA ),( 33 yxC 三点，F 是它的焦点，若 CFBFAF ,, 成等差数列，则 （ ） A． 321 ,, xxx 成等差数列 B． 231 ,, xxx 成等差数列 C． 321 ,, yyy 成等差数列 D． 231 ,, yyy 成等差数列 7．若点 A 的坐标为（3，2）， 为抛物线 xy 22  的焦点，点 P 是抛物线上的一动点，则 PFPA  取得最小值时点 P 的坐标是 （ ） A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D． )1,2 1( 8．已知抛物线 )0(22  ppxy 的焦点弦 AB 的两端点为 ),( 11 yxA , ),( 22 yxB ,则关系式 21 21 xx yy 的值一定等于 （ ） A．4p B．－4p C．p2 D．－p 9．过抛物线 )0(2  aaxy 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P，Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长 分别是 qp, ，则 qp 11  （ ） A ． a2 B． a2 1 C． a4 D． a 4 10．若 AB 为抛物线 y2=2px (p>0)的动弦，且|AB|=a (a>2p)，则 AB 的中点 M 到 y 轴的最近 距离是 （ ） A． 2 1 a B． p C． a＋ p D． a－ p 11．抛物线 xy 2 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 12 ． 已 知 圆 07622  xyx ，与抛物线 )0(22  ppxy 的 准 线 相 切 ， 则 p ___________． 13．如果过两点 )0,(aA 和 ),0( aB 的直线与抛物线 322  xxy 没有交点，那么实数 a 的取值范围是 ． 14．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件； （1）焦点在 y 轴上； （2）焦点在 x 轴上； （3）抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；（ 4）抛物线的通径的长为 5； （5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）． 其中适合抛物线 y2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号） ______． 15．已知点 A（2，8）， B（x1，y1）， C（x2，y2）在抛物线 pxy 22  上，△ABC 的重心 与此抛物线的焦点 F 重合（如图） （1）写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标； （2）求线段 BC 中点 M 的坐标； （3）求 BC 所在直线的方程. 16．已知抛物线 y=ax2－1 上恒有关于直线 x+y=0 对称的相异两点，求 a 的取值范围. 17．抛物线 x2=4y 的焦点为 F，过点(0，－1)作直线 L 交抛物线 A、B 两点，再以 AF、BF 为邻边作平行四边形 FARB，试求动点 R 的轨迹方程. 18．已知抛物线 C： 2 742  xxy ，过 C 上一点 M，且与 M 处的切线垂直的直线称为 C 在点 M 的法线． （1）若 C 在点 M 的法线的斜率为 2 1 ，求点 M 的坐标（x0，y0）； （2）设 P（－2，a）为 C 对称轴上的一点，在 C 上是否存在点，使得 C 在该点的法线通过 点 P？若有，求出这些点，以及 C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由. 选修 1-1 第 2 章 圆锥曲线与方程 §2.5 圆锥曲线单元测试 1)如果实数 yx, 满足等式 3)2( 22  yx ，那么 x y 的最大值是（ ） A、 2 1 B、 3 3 C、 2 3 D、 3 2)若直线 01)1(  yxa 与圆 0222  xyx 相切，则 a 的值为（ ） A、 1,1  B、 2,2  C、1 D、 1 3)已知椭圆 125 2 2 2  y a x )5( a 的两个焦点为 1F 、 2F ，且 8|| 21 FF ，弦 AB 过点 ，则 △ 2ABF 的周长为（ ） （A）10 （B）20 （C）2 41 （D） 414 4)椭圆 136100 22  yx 上的点 P 到它的左准线的距离是 10，那么点 P 到它的右焦点的距离是 （ ） （A）15 （B）12 （C）10 （D）8 5)椭圆 1925 22  yx 的焦点 、 ，P 为椭圆上的一点，已知 21 PFPF  ，则△ 21PFF 的 面积为（ ） （A）9 （B）12 （C）10 （D）8 6)椭圆 1416 22  yx 上的点到直线 022  yx 的最大距离是（ ） （A）3（B） 11 （C） 22 （D） 10 7)以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为 2 的双曲线方程是（ ） （A） 222  yx （B） 222  xy （C） 422  yx 或 422  xy （D） 222  yx 或 222  xy 8)双曲线 1916 22  yx 右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2，则 P 点到左准线的距离为（ ） （A）6 （B）8 （C）10 （D）12 9)过双曲线 822  yx 的右焦点 F2 有一条弦 PQ，|PQ|=7,F1 是左焦点，那么△F1PQ 的周 长为（ ） （A）28 （B） 2814  （C） 2814  （D） 28 10)双曲线虚轴上的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2，  12021MFF ，则双曲线的离心 率为（ ） （A） 3 （B） 2 6 （C） 3 6 （D） 3 3 11)过抛物线 2y ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长 分别为 p、q，则 11 pq 等于（ ） （A）2a （B） 1 2a （C）4a （D） 4 a 12) 如果椭圆 1936 22  yx 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） （A） 02  yx （B） 042  yx （C） 01232  yx （D） 082  yx [来源:学+科+网 Z+X+X+K] 13)与椭圆 22 143 xy 具有相同的离心率且过点（2，- 3 ）的椭圆的标准方程是 14）离心率 3 5e ，一条准线为 3x 的椭圆的标准方程是 。 15）过抛物线 2 2y px （p>0）的焦点 F 作一直线 l 与抛物线交于 P、Q 两点，作 PP1、QQ1 垂直于抛物线的准线，垂足分别是 P1、Q1，已知线段 PF、QF 的长度分别是 a、b，那么 |P1Q1|= 。 16)若直线 l 过抛物线 (a>0)的焦点，并且与 y 轴垂直，若 l 被抛物线截得的线段长为 4，则 a= 。17) 已知椭圆 C 的焦点 F1（－ 22 ，0）和 F2（ ，0），长轴长 6，设 直线 2 xy 交椭圆 C 于 A、B 两点，求线段 AB 的中点坐标。 18) 已知双曲线与椭圆 1259 22  yx 共焦点，它们的离心率之和为 5 14 ，求双曲线方程. 19) 抛物线 xy 22  上的一点 P(x , y)到点 A(a,0)(a∈R)的距离的最小值记为 )(af ，求 的表达式. 20)求两条渐近线为 02  yx 且截直线 03  yx 所得弦长为 3 38 的双曲线方程. 21）已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A、B 两点，（1）若以 AB 线段为直径的圆过 坐标原点，求实数 a 的值。（2）是否存在这样的实数 a，使 A、B 两点关于直线 1 2yx 对 称？说明理由. 参考答案 第 2 章 圆锥曲线与方程 §2.1-2 椭圆 经典例题：[解析]：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ,5 4e 由焦半径公式有 a－ex1+a－ex2= a5 8 ， ∴x1+x2= a2 1 ， 即 AB 中点横坐标为 a4 1 ，又左准线方程为 ax 4 5 ，∴ 2 3 4 5 4 1  aa ，即 a=1，∴椭圆方程 为 x2+ 9 25 y2=1． 当堂练习： 1.D; 2.D; 3.D; 4.A; 5.A; 6.D; 7.B; 8.D; 9.C; 10.D; 11. 12736 22  xy ; 12. 11015 22  yx ; 13. ]13,13[ ;14. 5 4 ; 15． [解析]:由 222 3 2 54 cba a ce b     8 12   c a ，∴椭圆的方程为： 180144 22  yx 或 180144 22  xy . 16．[解析]：（ 1） PBPAPBPA  0 ∴OAPB 的正方形 由 84 32 148 8 2 02 0 2 0 2 0 2 0       xyx yx 220 x ∴P 点坐标为（ 0,22 ） （2）设 A（x1，y1）， B（x2，y2） 则 PA、PB 的方程分别为 4,4 2211  yyxxyyxx ，而 PA、PB 交于 P（x0，y0） 即 x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，∴AB 的直线方程为：x0x+y0y=4 （3）由 )0,4(4 0 00 xMyyxx 得 、 )4,0( 0yN || 18|4||4|2 1||||2 1 0000 yxyxONOMS MON  22)48(22|222 |24|| 2 0 2 000 00  yxyxyx 22 22 8 || 8 00   yxS MON 当且仅当 22,|2|| 22 | min 00  MONSyx 时 . 17． [解析]：设 ),(),,( 2211 yxPyxP ，由 OP ⊥ OQ  x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ① 01)(2,1,1 21212211  xxxxxyxy 代入上式得： 又将 代入xy 1 12 2 2 2  b y a x 0)1(2)( 222222  baxaxba ， ,2,0 22 2 21 ba axx   22 22 21 )1( ba baxx   代入①化简得 211 22  ba . (2) ,3 2 2 1 2 113 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2  a b a b a b a ce 又由（1）知 12 2 2 2   a ab 2 6 2 5 2 3 4 5 3 2 12 1 2 1 2 2    aa a ，∴长轴 2a ∈ [ 6,5 ]. 18．[解析]：设动点 M(x，y)，动直线 L：y=x+m，并设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)是方程组     042 , 22 yx mxy 的解，消去 y，得 3x2+4mx+2m2－4=0，其中 Δ=16m2－12(2m2－4)>0，∴－ 6 |PA|, ,5680,5680  yx 10680),5680,5680(  POP 故即 ,答：巨响发生在接报中心的西偏北 45°距中心 m10680 处. §2.4 抛物线 经典例题：【解】(1) 解方程组 48 1 2 1 2   xy xy 得 2 4 1 1   y x 或 4 8 2 2   y x 即 A(－4,－2),B(8,4), 从而 AB 的中点为 M(2,1).由 kAB== 2 1 ,直线 AB 的垂直平分线方程 y－1= (x－2). 令 y=－5, 得 x=5, ∴Q(5,－5)． (2) 直线 OQ 的方程为 x+y=0, 设 P(x, 8 1 x2－4).∵点 P 到直线 OQ 的距离 d= 2 48 1 2  xx = 328 28 1 2  xx , 25OQ ,∴SΔOPQ= dOQ = 32816 5 2  xx .[来源:学,科,网 Z,X,X,K] ∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ∴－4≤x<4 3 －4或4 － 4时, 当且仅当 x=a-1 时, =|PA|min= 21a  . 所以 = | |, 1 2 1, 1 aa aa   . 20. 解:设双曲线方程为 x2-4y2=  . 联立方程组得: 22x -4y = 30xy      ,消去 y 得，3x2-24x+(36+ )=0 设直线被双曲线截得的弦为 AB，且 A( ),B( )，那么： 12 12 2 8 36 3 24 12(36 ) 0 xx xx             那么：|AB|= 2 2 2 1 2 1 2 36 8(12 ) 8 3(1 )[( ) 4 ] (1 1)(8 4 )3 3 3k x x x x          解得:  =4,所以，所求双曲线方程是： 2 2 14 x y 21. 解：（1）联立方程 223x -y =1 1y ax    ，消去 y 得：（3-a2）x2-2ax-2=0. 设 A( 11,xy),B( 22,xy),那么： 12 2 12 2 22 2 3 2 3 (2 ) 8(3 ) 0 axx a xx a aa            由于以 AB 线段为直径的圆经过原点，那么：OA OB ，即 1 2 1 2 0x x y y。 所以： 1 2 1 2( 1)( 1) 0x x ax ax    ，得到： 22 22 22( 1) 1 0, 633 aa a aaa        ，解得 a= 1 [来 源:Zxxk.Com] (2)假定存在这样的 a，使 A( ),B( )关于直线 1 2yx 对称。 那么： 22 11 22 22 3x -y =1 3x -y =1    ，两式相减得： 2 2 2 2 1 2 1 23(x -x )=y -y ，从而 1 2 1 2 1 2 1 2 y -y 3(x +x )= .......(*)x -x y +y 因为 A( ),B( )关于直线 对称，所以 1 2 1 2 12 12 y +y 1 x +x=2 2 2 y -y 2x -x      代入（*）式得到：-2=6，矛盾。 也就是说：不存在这样的 a，使 A( ),B( )关于直线 对称。