河南省南阳市第一中学校2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

河南省南阳市第一中学校2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

南阳市一中2019年高三年级第三次月考 理数试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，虚部为-1.‎ 考点：复数的概念和运算.‎ ‎2.已知R是实数集，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分式不等式解法和二次函数值域可求得集合和集合，根据补集和交集的定义可求得结果.‎ ‎【详解】由得：或，即 ‎ 的值域为，即 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集混合运算，属于基础题.‎ ‎3.已知向量，，，若为实数，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量坐标运算可求得；由向量共线坐标表示可构造方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据向量共线求解参数值的问题，关键是能够熟练掌握向量的坐标运算.‎ ‎4.已知α（-，0）且sin2α=-，则sinα+cosα=（ ）‎ A. B. - C. - D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎,又α（-，0），所以，且，，所以 ‎，选A.‎ ‎5.在ΔABC中，，，若ΔABC有两解，则的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为ΔABC有两解，所以，选A．‎ ‎6.直线与曲线在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则等于（）‎ A. 6 B. 7 C. 12 D. 13‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式和二倍角公式可将函数化为，结合正弦函数图象可得与函数在轴右侧的交点坐标，求得坐标后，根据向量模长的求解方法可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎， ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查直线与正弦型函数交点的问题，关键是能够将函数化为正弦型函数，结合正弦函数的图象求解交点坐标.‎ ‎7.已知函数和的图象的对称中心完全相同，若，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．‎ 专题：计算题．‎ 解答：解：函数f(x)=3sin(ωx-)（ω＞0）和g（x）=3cos（2x+φ）的图象的对称中心完全相同，所以ω=2，f(x)=3sin(2x-)，‎ 因为x∈[0，]所以2x-∈ [-，]，所以3sin(2x-)∈[-，3]；‎ 故选A 点评：本题是基础题，考查三角函数的基本知识，基本性质的应用，周期的应用，考查计算能力．‎ ‎8.在 中，内角 ，， 所对的边分别是 ，，，已知 ，且 ，，则 的面积是 ‎ A. B. C. D. 或 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由题意得，分和两种情况求解，然后结合三角形面积公式可得结果．‎ 详解：∵，‎ ‎∴．‎ ‎①当时，为直角三角形，且．‎ ‎∵，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎②当时，则有，‎ 由正弦定理得．‎ 由余弦定理得，‎ 即，‎ 解得．‎ ‎∴．‎ 综上可得 的面积是 或 ．‎ 故选D．‎ 点睛：在判断三角形的形状时，对于形如的式子，当需要在等式的两边约去时，必须要考虑是否为0，否则会丢掉一种情况．‎ ‎9.若是重心，，，分别是角的对边，若，则角（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由于是的重心，，，代入得 ‎，整理得，‎ ‎，因此，故答案为D.‎ 考点：1、平面向量基本定理；2、余弦定理的应用.‎ ‎10.在平面直角坐标平面上，，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角，则的斜率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】设直线的斜率为，则直线的方向向量为，由且与在直线上的射影长度相等，得，即，解之得或（舍），故选C．‎ 考点：向量投影定义及运算．‎ ‎11.定义域为R的函数满足，当时，,若时,对任意的都有成立，则实数a的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可求解出和时，的解析式，从而得到在上的最小值，从而将不等式转化为对恒成立，利用分离变量法可将问题转化为，利用导数可求得在上的最大值，从而得到，进而求得结果.‎ ‎【详解】当时，‎ 时，‎ 当时， ‎ 时，‎ 时，，即对恒成立 即：对恒成立 令，，则 当时，，则在上单调递增 ‎ ‎，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查恒成立问题的求解，涉及到利用函数性质求解出未知区间内函数的解析式，关键是能够将问题转化为所求变量与函数最值之间的大小关系的比较问题.‎ ‎12.已知函数的导函数为，且，设是方程的两根，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，又 考点：二次方程根与系数关系 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.下列四个命题：‎ ‎①函数的最大值为1；‎ ‎②“若，则”的逆命题为真命题；‎ ‎③若为锐角三角形，则有；‎ ‎④“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件．‎ 其中所有正确命题的序号为____________．‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式化简函数，可得，根据正弦型函数值域可知①错误；确定原命题的逆命题后，通过可知逆命题为假，②错误；利用诱导公式和角的范围可证得结论，③正确；分类讨论去掉函数中的绝对值符号，根据二次函数的性质可确定函数的单调性，从而得到满足题意的范围，进而说明充要条件成立，④正确.‎ ‎【详解】① ，①错误 ‎②“若，则”的逆命题为：“若，则”‎ 若，可知，则其逆命题为假命题，②错误 ‎③锐角三角形 ，，‎ 且 ‎ 同理可得：，‎ ‎，③正确 ‎④令，解得：，‎ 当时，对恒成立 ‎ 对称轴为 在上单调递增，充分条件成立 当时，，此时在上单调递减，不满足题意 ‎“”是“在区间内单调递增”的充分必要条件，④正确 本题正确结果：③④‎ ‎【点睛】本题考查正假命题的判定，涉及到函数最值的求解、逆命题真假性的判断、诱导公式的应用、函数单调性的应用、充要条件的判定等知识，属于中档题.‎ ‎14.若点在直线上，则=___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点在直线上可代入求得，利用两角和差正切公式可求得结果.‎ ‎【详解】在直线上 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查两角和差正切公式的应用，属于基础题.‎ ‎15.已知向量满足，且函数在在上有极值，则向量的夹角的取值范围是_______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数有极值可知导函数有变号零点，由为二次函数可知，从而得到，根据向量夹角公式可求得的范围，根据向量夹角的范围和余弦函数图象可确定夹角的取值范围.‎ ‎【详解】由题意得：‎ 在上有极值 ，即 ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查向量夹角取值范围的求解，涉及到导数与极值之间的关系、向量夹角公式的应用等知识；关键是能够根据函数有极值确定导函数有变号零点，从而利用二次函数的性质得到向量数量积和模长之间的关系.‎ ‎16.设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，,则关于的不等式的解集为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设，∴，‎ ‎∵是定义在上的奇函数，∴，‎ ‎∴是定义在上的偶函数，‎ ‎∵当时，，‎ ‎∴，∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，，或，，‎ ‎∴或.‎ ‎∴关于x的不等式的解集为.‎ 考点：利用导数研究函数的单调性.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求的极值点；‎ ‎（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。‎ ‎【答案】（Ⅰ）是的极大值点；是的极小值点；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求解出；（Ⅰ）令，解得两根，根据导函数的符号确定的单调性，根据极值点的定义得到结果；（Ⅱ）分别在、和三种情况下，根据函数为单调函数确定导函数的符号，解得的范围.‎ ‎【详解】由题意得：‎ ‎（Ⅰ）当时，，‎ 由得：，解得：，‎ 由得：或；由得：‎ 在，上单调递增，在上单调递减 是的极大值点；是的极小值点 ‎（Ⅱ）为上的单调函数 在上单调递增或单调递减 ‎①当时，对恒成立 在上单调递增 满足题意 ‎②当时，只需在上恒成立 即，解得：‎ ‎③当时，只需在上恒成立 即，不等式无解 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查函数极值点的求解、根据函数的单调性求解参数范围的问题；关键是能够明确极值点和导数之间的关系，由函数的单调性确定极值点的位置.‎ ‎18.已知．‎ ‎（1）求证：与互相垂直；‎ ‎（2）若与大小相等，求（其中k为非零实数）．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用坐标表示出和，利用数量积运算法则可求得，从而证得结论；（2）利用向量坐标运算求得和，利用模长相等可求得，根据角范围可确定最终取值.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎ ‎ ‎（2），‎ 整理可得：，即：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示、根据向量模长相等关系求解参数值的问题；关键是能够熟练掌握向量的坐标运算，利用坐标运算得到数量积为零、构造关于模长相等的方程.‎ ‎19.已知函数 ‎（1）求函数的最大值，并写出取最大值时的取值集合；‎ ‎（2）在中，角的对边分别为，若，,求的最小值.‎ ‎【答案】（1）函数的最大值为,最大值时的取值集合为集合为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式可将函数化简为；令，可求得当时，取得最大值，从而得到结果；（2）根据特殊角三角函数值和角的范围可求得，利用余弦定理构造方程，结合基本不等式可求得的最小值.‎ ‎【详解】（1）‎ 当，即时，‎ 此时取得最大值：‎ 取得最大值时，取值的集合为：‎ ‎（2）由（1）知： ‎ ‎ ，解得：‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎ （当且仅当时取等号），即 的最小值为：‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数最值的求解、求解三角形中的边长的最值问题；涉及到利用三角恒等变换的公式化简三角函数、整体对应法求解正弦型函数的最值和最值点、余弦定理的应用、基本不等式求解最值的问题.‎ ‎20.已知平面上一定点和直线，P为该平面上一动点，作，垂足为Q，且 ‎（1）求动点P的轨迹方程；‎ ‎（2）若EF为圆的任一条直径，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，则，利用已知等式，结合向量坐标运算可构造关于的方程，整理可得所求的轨迹方程；（2）利用圆的参数方程，设，得到，从而将所求数量积的最小值转化为求解出点到点的距离的平方的最小值，利用椭圆的参数方程，结合与二次函数有关的复合函数值域求解方法可求得，代入求得结果.‎ ‎【详解】（1）设，则 ，‎ ‎，整理可得：‎ 的轨迹方程为：‎ ‎（2）由题意知，圆的圆心为：，则关于对称 设， ‎ ‎，‎ 要求得最小值，只需求解出点到点的距离的平方的最小值 设 ‎ 当时，取最小值：‎ ‎【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解、圆锥曲线中的最值问题的求解；求解本题中最值问题的关键是能够将问题转化为求解椭圆上的点到定点的距离的最值求解问题，灵活应用圆和椭圆的参数方程使问题得以求解.‎ ‎21.已知函数图像上一点处的切线方程为 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若方程在区间内有两个不等实根，求的取值范围；‎ ‎（3）令如果的图像与轴交于两点，的中点为，求证：‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数的几何意义可知，利用切线方程求得，代入曲线可得关于的方程，与联立可构造方程组求得结果；（2）将问题转化为与的图象在上有两个交点；利用导数得到在上的单调性和最值，从而确定有两个交点时的取值范围，进而得到结果；（3）采用反证法，假设，利用在上，中点坐标公式和可化简整理得到，令，构造函数，利用导数可知在上单调递增，从而得到，与等式矛盾，可知假设不成立，从而证得结论.‎ ‎【详解】由题意得：定义域为；‎ ‎（1）在处的切线方程为：‎ ‎，解得：‎ ‎（2）方程在区间内有两个不等实根等价于与的图象在上有两个交点 由（1）知：，‎ 当时，；当时，‎ 在上单调递增，在上单调递减 ‎ 又，‎ ‎，解得：‎ ‎（3），则 假设，则有：‎ ‎…①；…②；‎ ‎…③；…④‎ ‎①②得： ‎ 由④得： ，即：‎ ‎，即 令，由得：‎ 设， ‎ 上单调递增 ‎ 不成立，即假设不成立 ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用的相关知识，涉及到导数几何意义的应用、根据方程根的个数求解参数范围、构造函数的方式证明问题、反证法的应用等知识；本题证明问题的关键是能够结合反证法，利用等量关系配凑出关于的等式，从而采用换元的方式可构造出函数，利用函数的最值否定假设，属于较难题.‎ ‎22.在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.‎ ‎（1）若，求线段中点的坐标；‎ ‎（2）若，其中，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将曲线参数方程化为普通方程，当时，设点对应参数为．直线方程为代入曲线的普通方程，得，由韦达定理和中点坐标公式求得，代入直线的参数方程可得点的坐标；（2）把直线的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于参数的一元二次方程，由已知条件和韦达定理可得，求得的值即得斜率.‎ 试题解析：设直线上的点，对应参数分别为，．将曲线的参数方程化为普通方程．‎ ‎（1）当时，设点对应参数为．直线方程为（为参数）．‎ 代入曲线的普通方程，得，则，‎ 所以，点的坐标为．‎ ‎（2）将代入，得，‎ 因为，，所以．‎ 得．由于，故．‎ 所以直线的斜率为．‎ 考点：直线的参数方程与椭圆参数方程及其在研究直线与椭圆位置关系中的应用.‎ ‎23.设函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式：；‎ ‎（Ⅱ）若对任意实数x，都成立，求实数a的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分别在、、三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得解集；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式可求得，从而得到，解不等式求得的范围，进而得到所求最小值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，不等式化为：‎ 当时，由得：，解集为 当时，由得： ‎ 当时，由得： ‎ 综上所述，原不等式的解集为：‎ ‎（Ⅱ）‎ 的最大值为：‎ 由题意知：，解得：‎ 的最小值为 ‎【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式、利用绝对值三角不等式解决最值和恒成立问题，属于常考题型.‎ ‎ ‎ ‎ ‎