2017-2018学年吉林省扶余市第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年吉林省扶余市第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年吉林省扶余市第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若,，满足则等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由可知， ，解得，故选B.‎ ‎2．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得： ，所以， ，即焦点到准线的距离为，故选C.‎ ‎ ‎ ‎3．椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由双曲线方程知，所以在椭圆中，离心率，故选A.‎ ‎4．若圆上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据图像的变换，当横坐标不变，纵坐标缩短为原来的时，得到，化简得： ，故选B.‎ ‎5．下列有关命题说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若则”的否命题为真命题 B. 已知是实数，“”是“”的充分不必要条件 C. 是的必要条件 D. 命题“”的否定是“”‎ ‎【答案】A ‎【解析】对选项A,命题的否命题为：若或，则，显然成立，是真命题；对于B,当时，显然不成立，对于选项C， 推不出，所以不正确；对于选项D, 命题“”的否定是“”,所以错误；故选A.‎ ‎6．在正方体中，点分别是的中点，则与所成角的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，易得E（2，2，1），F（1，1，2），D（0，0，0），A1（2，0，2），， ，∵ ‎ ‎∴，故选B.‎ ‎ ‎ ‎7．已知命题p: ；命题q:若，下列为真命题的是（ ）‎ A. p∧q B. p∨q C. p∧(┐q) D. ┐p ‎【答案】D ‎【解析】对于p,当时，显然不成立，p是假命题，故┐p是真命题，故选D.‎ ‎8．已知椭圆与双曲线的渐近线有4个交点，则以这个交点为顶点的四边形的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】的渐近线方程为，联立椭圆方程得四个交点分别为，所以所得四边形对角线长，面积 ‎9．已知命题p：存在实数使；命题q：对任意都有，若 ‎“”为假命题，则实数的取值范围为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】化简条件p： ，q： ，∵ 为假命题，‎ ‎∴ p,q都是假命题，所以，解得，故选B.‎ ‎10．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若，=， =.则下列向量中与相等的向量是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎,故选D.‎ ‎11．直线与椭圆的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上均有可能 ‎【答案】A ‎【解析】因为直线过定点，因为，所以在椭圆内部，因此直线与椭圆相交，故选A.‎ ‎ ‎ ‎12．已知点， 是双曲线的左、右两焦点，若双曲线左支上存在点与 点关于直线对称，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】过焦点且垂直的直线方程为： ，与 联立，解之可得，故对称中心的点坐标为，由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得，又，所以，故选C.‎ 二、填空题 ‎13．椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点所在直线的斜 率为则的值是 _____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设M（x1，y1），N（x2，y2），中点（x，y），椭圆x2+ny2=1与直线y=1-x交于M，N两点，化简可得： ，‎ 所以x1+x2=，故x=，y=，因为过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，所以，即n=，故答案为： .‎ ‎14．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一 个交点，若，则=_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设P（-1，t），Q（x，y），‎ ‎∵,‎ ‎∴（-2，t）=4（x-1，y），∴，‎ 代入，可得t2=32． ∴|QO|=．故填 ．‎ ‎15．抛物线的焦点为，其准线l与双曲线相交于A、B两点，若为等边三角形，则等于______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由知抛物线的焦点坐标为，准线方程为： ‎ 准线方程与双曲线联立可得： ，解得，因为△ABF为等边三角形，所以|AB|=p，即有，解得．‎ 故填．‎ ‎16．（Ⅰ）设向量，，求：、 ．‎ ‎（Ⅱ）已知点和向量求点坐标，使向量与同向，且．‎ ‎【答案】（1）， ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据向量加减法的坐标运算法则及数量积的坐标运算法则计算即可；（2）根据向量共线的定理及向量模的公式可求出向量的坐标，再计算点的坐标.‎ 试题解析：（1） ‎ ‎（2）设 因为与同向 所以设 又因为 解得 ‎ 三、解答题 ‎17．若双曲线的离心率，则=______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为方程是双曲线方程，所以，故，又，解得，故填.‎ ‎18．求适合下列的椭圆的标准方程.‎ ‎（Ⅰ）已知椭圆的焦点在轴上，离心率，并且经过点.‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】试题分析：（1）根据离心率可得之间的关系，设椭圆方程，将点代入方程即可求出，写出椭圆方程；（2）根据 之间的关系及条件可求出，写椭圆方程时注意焦点位置，有两种情况.‎ 试题解析：（1）‎ ‎（2）或 ‎19．已知p: ,q:,若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据若是的必要不充分条件，转化为是的必要不充分条件，再转化为，列出条件求解即可.‎ 试题解析： 真时， 真时 若是的必要不充分条件，则是的必要不充分条件，则即 解得.‎ ‎20．已知直线与抛物线交于两点，且， 交于点，‎ 点的坐标为，求的面积.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：利用OD⊥AB，可求直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合OA⊥OB，利用向量的数量积公式，即可求出p的值，利用弦长公式求出|AB|，求出|OD|，即可求△AOB的面积．‎ 试题解析： ， ， 所以直线方程为 设 由得 ‎ ‎ 解得， ‎ ‎21．已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点为抛物线内一个定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于点，且分别是的中点，若，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义，可以求出，再根据求出即可写出椭圆方程及抛物线方程；（2）设直线AB方程，联立抛物线方程化简，由根与系数的关系易得M的坐标，同理可得N的坐标，写出MN直线方程，可以看出直线过定点.‎ 试题解析：（1）设椭圆的标准方程为，焦距是，则由题意得：‎ ‎， ，∴，椭圆的标准方程为： .‎ ‎∴右顶点的坐标为，设抛物线的标准方程为： ，∴，∴抛物线的标准方程为： .‎ ‎（2） ，由得 ‎，则，所以，同理 ‎∴，则，即 其恒过定点 ‎22．已知是圆上任意一点，点的坐标为，直线分别与线段交于两点，且.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）直线与轨迹相交于两点，设为坐标原点， ，判断的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）（定值）‎ ‎【解析】试题分析：（1）化简向量关系式可得，所以是线段的垂直平分线，所以，转化为椭圆定义，求出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系求出，再由点到直线的距离公式求三角形高，写出三角形面积化简即可证明为定值.‎ 试题解析：（1）由可知是线段的中点，将 两边平方可得， 得：‎ ‎，即，所以是线段的垂直平分线，所以，‎ 所以，∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以，所求椭圆方程为： .‎ ‎（2）设，由得，‎ 由得，且有 ‎，且有 因为，得，即 化简得：‎ 满足， ，‎ 点到直线的距离，所以（定值）‎