2015年高考真题——理科数学（天津卷）解析版

2015年高考真题——理科数学（天津卷）解析版

第 I 卷 注意事项： 1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案标号. 2、本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. （1）已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合 ( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【考点定位】集合的运算. （2）设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为( ) （A）3 （B）4 （C）18 （D）40 【答案】C  1,2,3,4,5,6,7,8U   2,3,5,6A   1,3,4,6,7B  UA B ð  2,5  3,6  2,5,6  2,3,5,6,8 ,x y 2 0 3 0 2 3 0 x x y x y           6z x y  【考点定位】线性规划. （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为( ) （A） （B）6 （C）14 （D）18 【答案】B 【解析】模拟法：输入 ； 不成 立； 10 20, 1S i  2 1, 20 2 18,2 5i S      不成立 成立 输出 ,故选 B. 【考点定位】本题主要考查程序框图与模拟计算的过程. （4）设 ，则“ ”是“ ”的( ) （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A 【考点定位】不等式解法与充分条件、必要条件. （ 5 ） 如 图 ， 在 圆 中 ， 是 弦 的 三 等 分 点 ， 弦 分 别 经 过 点 . 若 ，则线段 的长为( ) （A） （B）3 （C） （D） 2 2 4, 18 4 14,4 5i S       2 4 8, 14 8 6,8 5i S       6 x R 2 1x   2 2 0x x   O ,M N AB ,CD CE ,M N 2, 4, 3CM MD CN   NE 8 3 10 3 5 2 【答案】A 【考点定位】相交弦定理. （6）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【考点定位】双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质. （ 7 ） 已 知 定 义 在 上 的 函 数 （ 为 实 数 ） 为 偶 函 数 ， 记 ，则 的大小关系为( ) （A） （B） （C） （D）   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     2, 3 2 4 7y x 2 2 121 28 x y  2 2 128 21 x y  2 2 13 4 x y  2 2 14 3 x y  R   2 1x mf x   m    0.5 2(log 3), log 5 , 2a f b f c f m   , ,a b c a b c  a c b  c a b  c b a  【答案】C 【解析】因为函数 为偶函数，所以 ，即 ，所以 【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算. （ 8 ） 已 知 函 数 函 数 ， 其 中 ， 若 函 数 恰有 4 个零点，则 的取值范围是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】D   2 1x mf x   0m    2 1xf x      2 2 , 2, 2 , 2, x x f x x x          2g x b f x   b R    y f x g x  b 7 ,4     7, 4     70, 4      7 ,24      【考点定位】求函数解析 、函数与方程思、数形结合. 第 II 卷 注意事项： 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.[来源:学科网] 2、本卷共 12 小题，共计 110 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. （9） 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 的值为 . 【答案】 【考点定位】复数相关概念与复数的运算. （ 10 ） 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 （ 单 位 ： ），则 该 几 何 体 的 体 积 为 . i   1 2i a i  a 2 m 3m 【答案】 【考点定位】三视图与旋转体体积公式. （11）曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】 8 3 2y x y x 1 6 【考点定位】定积分几何意义与定积分运算. （12）在 的展开式中， 的系数为 . 【答案】 【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项. （ 13 ） 在 中 ， 内 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 已 知 的 面 积 为 ， 则 的值为 . 【答案】 61 4x x     2x 15 16 ABC , ,A B C , ,a b c ABC 3 15 12,cos ,4b c A    a 8 ，所以 . 【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理. （14）在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则 的最小值为 . 【答案】 【考点定位】向量的几何运算、向量的数 量积与基本不等式. 2 2 2 2 2 12 cos 6 4 2 6 4 644a b c bc A               8a  ABCD / / , 2, 1, 60AB DC AB BC ABC     E F BC DC 1, ,9BE BC DF DC      AE AF  29 18 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分 13 分）已知函数 ， (I)求 最小正周期； (II)求 在区间 上的最大值和最小值. 【答案】(I) ; (II) , . 【考点定位】三角恒等变形、三角函数的图象与性质. 16.（本小题满分 13 分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来 自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中 随机选择 4 人参加比赛.   2 2sin sin 6f x x x       Rx ( )f x ( )f x [ , ]3 4 p p-  max 3( ) 4f x  min 1( ) 2f x   (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”求事件 A 发生 的概率； (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望. 【答案】(I) ; (II) 随机变量 的分布列为 [来源:学+科+网] 【解析】(I)由已知，有 【考点定位】古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望. 17. （本小题满分 13 分）如图，在四棱柱 中，侧棱 , , , ,且点 M 和 N 分别为 的中点. (I)求证： 平面 ； 6 35 X X 1 2 3 4 P 1 14 3 7 3 7 1 14   5 2E X  1 1 1 1ABCD A B C D- 1A A ABCD 底面 AB AC 1AB = 1 2, 5AC AA AD CD= = = = 1 1C DB D和 //MN ABCD (II)求二面角 的正弦值； (III)设 为棱 上的点，若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长[来源:Z.xx.k.Com] 【答案】(I)见解析； (II) ； (III) . 【解析】如图，以 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 ， ，又因为 分别为 和 的中点，得 . 1 1D AC B- - E 1 1A B NE ABCD 1 3 1A E 3 10 10 7 2 A (0,0,0), (0,1,0), (2,0,0), (1, 2,0)A B C D  ,M N 1B C 1D D 11, ,1 , (1, 2,1)2M N     【考点定位】直线 和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用. 18.（本小题满分 13 分）已知数列 满足 ，且{ }na 2 1 2( ) *, 1, 2n na qa q q n N a a     为实数，且 1， 成等差数列. (I)求 的值和 的通项公式； (II)设 ，求数列 的前 项和. 【答案】(I) ; (II) . 【解析】(I) 由已知，有 ，即 ， 所以 ， 又因为 ，故 ，由 ，得 ，[来源:学科网] 【考点定位】等差数列定义、等比数列及前 项和公式、错位相减法求和. 【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列定义与性质，求和公式以及错位相减法求和的问题，通过等差 数列定义、等比数列性质，分 为奇偶数讨论求通项公式，并用错位相减法基本思想求和.是中档题.[来源:学科网] 2 3 3 4 4 5, ,a a a a a a+ + + q { }na *2 2 2 1 log ,n n n ab n Na    { }nb n 1 2 2 2 , 2 , . n n n na n     为奇数, 为偶数 1 24 2n n nS    ( ) ( ) ( ) ( )3 4 2 3 4 5 3 4a a a a a a a a+ - + = + - + 4 2 5 3a a a a   2 3( 1) ( 1)a q a q   1q  3 2 2a a  3 1a a q 2q  n n 19.（本小题满分 14 分）已知椭圆 的左焦点为 ,离心率为 ，点 M 在椭圆 上且位于第一象限，直线 被圆 截得的线段的长为 c， . (I)求直线 的斜率； (II)求椭圆的方程； (III)设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，求直线 （ 为原点）的斜率的取值范围. 【答案】(I) ； (II) ；(III) . 【解析】(I) 由已知有 ，又由 ，可得 ， ， 设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，由已知有 ，解得 . 2 2 2 2+ =1( 0)x y a ba b > > ( ,0)F c 3 3 FM 4 2 2+ 4 bx y = 4 3|FM|= 3 FM P FP 2 OP O 3 3 2 2 13 2 x y  2 3 2 2 3, ,3 3 3             2 2 1 3 c a  2 2 2a b c  2 23a c 2 22b c FM ( 0)k k  FM ( )y k x c  2 2 2 2 2 21 kc c b k                 3 3k  【考点定位】1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式. 20.（本小题满分 14 分）已知函数 ，其中 . (I)讨论 的单调性； (II)设曲线 与 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 ,求证：对于任意的正实 数 ，都有 ； (III)若关于 的方程 有两个正实根 ，求证： 【答案】(I) 当 为奇数时， 在 ， 上单调递减，在 内单调递增；当 为偶数时， 在 上单调递增， 在 上单 调递减. (II)见解析； (III)见解析. ( ) n ,nf x x x x R   *n ,n 2N  ( )f x ( )y f x= x ( )y g x= x ( ) ( )f x g x x ( )=a(a )f x 为实数 1 2x x， 2 1| - | 21 ax x n< +- n ( )f x ( , 1)  (1, ) ( 1,1) n ( )f x ( , 1)  ( )f x (1, ) (2)当 为偶数时， 当 ，即 时，函数 单调递增； 当 ，即 时，函数 单调递减. 所以， 在 上单调递增， 在 上单调递减. 内单调递减，所以对任意的正实数 都有 ，即对任意的正实数 ，都有 . n ( ) 0f x  1x  ( )f x ( ) 0f x  1x  ( )f x ( )f x ( , 1)  ( )f x (1, ) x 0( ) ( ) 0F x F x  x ( ) ( )f x g x 【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.