安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测 数学（理）试题（PDF版）

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合肥市 2019 届高三第一次教学质量检测 数学试题(理科) (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位， 4 1iz   ，则复数 z 的虚部为( ). A. 2i B. 2i C.2 D. 2 2. 集合  2 20A x x x    ，  10B x x   ，则 AB= ( ). A.  1xx B.  11xx   C. 2xx D. 21xx   3.执行右图所示的程序框图，则输出 n 的值为( ). A.63 B.47 C.23 D.7 4.已知正项等差数列 na 的前 n 项和为 nS ( nN )， 2 5 7 6 0a a a   ，则 11S 的值为( ). A.11 B.12 C.20 D.22 5.已知偶函数  fx在 0 ， 上单调递增，则对实数 ab， ， “ ab ”是“    f a f b ”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从 事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ). 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生. A.互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C.互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D.互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 7.平面 外有两条直线 a ， b ，它们在平面  内的射影分别是直线 m ， n ， 则下列命题正确的是( ). A.若 ab ，则 mn B.若 mn ，则 ab C.若 //mn，则 //ab D.若 m 和 n 相交，则 a 和 b 相交或异面 8.若 61ax x  展开式的常数项为 60，则 a 的值为( ). A.4 B. 4 C.2 D. 2 9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ). A. 2 5 4 2 10 B. 4 3 C. 8 3 D. 16 3 10.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为 1，2，3，4，5 的五个小 球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连 号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个 小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ). A. 4 5 B. 19 25 C. 23 50 D. 41 100 11.设双曲线 22 22:1xyC ab( 00ab， )的左、右焦点分别为 12FF， ，过 1F 的直线分别交双曲线左右两 支于点 MN， ，连结 22MF NF， ，若 220MF NF， 22MF NF ，则双曲线C 的离心率为( ). A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 12.已知函数   2 2 lnf x ax x x   有两个不同的极值点 12xx， ，若不等式    12f x f x 恒成立，则实 数  的取值范围是( ). A. 3  ， B.  3 ， C. e  ， D. e ， 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题、 第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.设 xy， 满足约束条件 0 0 10 30 x y xy xy            ，则 2z x y的取值范围为 . 14.若非零向量 ab， 满足  2a a b ，则 ab b   . 15.在锐角 ABC 中， 2BC  ， sin sin 2sinB C A ，则中线 AD 长的取值范围是 . 16.在平面直角坐标系 xOy中，点 nA (  12 2 n n nn  ， )( *nN )，记 2 1 2 2 1n n nA A A 的面积为 nS ，则 1 n i i S   . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分 12 分) 已知函数   cos2 sin 2 6f x x x    . (Ⅰ)求函数  fx的最小正周期； (Ⅱ)若 0 2   ， ，   1 3f   ，求 cos2 . 18.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ABCD 中， 23BC BD DC   ， 2AD AB PD PB    . (Ⅰ)若点 E 为 PC 的中点，求证： BE ∥平面 PAD ； (Ⅱ)当平面 PBD 平面 ABCD 时，求二面角C PD B的余弦值. B D P C E A 19.(本小题满分 12 分) 每年 3 月 21 日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠 日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了 100 人，通过问询的方式得到他们在一周内 的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图： (Ⅰ)求这 100 人睡眠时间的平均数 x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)； (Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间 t 近似服从正态 分布  2N ， ，其中  近似地等于样本平均数 x ， 2 近似 地等于样本方差 2s ， 2 33.6s  .假设该辖区内这一年龄层次共 有 10000 人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2， 50.8)的人数. 附： 33.6 5.8 . 若随机变量 Z 服 从 正 态 分 布  2N ， ，则  0.6826PZ        ，  2 2 0.9544PZ        . 20.(本小题满分 12 分) 设椭圆 22 22:1xyC ab( 0ab)的离心率为 2 2 ，圆 22:2O x y与 x 轴正半轴交于点 A ，圆 O 在点 A 处的切线被椭圆 C 截得的弦长为 22． (Ⅰ)求椭圆 的方程； (Ⅱ)设圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于点 MN， ，试判断 PM PN 是否为定值？若为定值，求 出该定值；若不是定值，请说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数    ln 1xf x e x   ( e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求函数  fx的单调区间； (Ⅱ)若    g x f x ax， aR ，试求函数  gx极小值的最大值. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题 目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的方程为 cos sin x y      ( 为参数).以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 =2cos. (Ⅰ)求 1C 、 2C 交点的直角坐标； (Ⅱ)设点 A 的极坐标为 3   4， ，点 B 是曲线 2C 上的点，求 AOB 面积的最大值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 设函数   1f x x. (Ⅰ)若   22f x x，求实数 x 的取值范围； (Ⅱ)设      g x f x f ax ( 1a  )，若  gx的最小值为 1 2 ，求 a 的值. 合肥市 2019 届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分. 二、 填 空 题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.  1 6 ， 14.1 15. 133 2    ， 16. 222433 nn   三、解答题： 17.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)∵   3 1 3 1cos2 sin 2 cos2 sin 2 cos2 sin 22 2 2 2 6f x x x x x x x        ， ∴函数  fx的最小正周期为T  . …………………………5 分 (Ⅱ)由   1 3f   可得， 1sin 2 63  . ∵ 0, 2   ，∴ 72 6 6 6     ， . 又∵ 110 sin 2 6 3 2x     ，∴ 2 62  ， ， ∴ 22cos 2 63    ， ∴ 1 2 6cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin6 6 6 6 6 6 6                                  . ………………………12 分 18.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)取 CD 的中点为 M ，连结 EM ， BM . 由已知得， BCD 为等边三角形， BM CD . ∵ 2AD AB， 23BD  ， ∴ 30ADB ABD    ， ∴ 90ADC，∴ //BM AD. 又∵ BM  平面 PAD ， AD  平面 PAD ， ∴ BM ∥平面 PAD . ∵ E 为 PC 的中点， M 为 的中点，∴ EM ∥ PD . 又∵ EM  平面 PAD ， PD 平面 PAD ， ∴ EM ∥平面 PAD . ∵ EM BM M ，∴平面 BEM ∥平面 PAD . ∵ BE  平面 BEM ，∴ BE ∥平面 PAD . …………………………5 分 (Ⅱ)连结 AC ，交 BD 于点 O ，连结 PO ，由对称性知， O 为 BD 的中点，且 AC BD ， PO BD . ∵平面 PBD 平面 ABCD ， PO BD ， ∴ PO  平面 ABCD ， 1PO AO， 3CO  . 以 O 为坐标原点， OC 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 D xyz . 则 D (0， 3 ，0)， C (3，0，0)， P (0，0，1). 易知平面 PBD 的一个法向量为  1 1 0 0n  ，， . 设平面 PCD的法向量为  2n x y z ， ， ， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D A D D D C C B A B D P C E M A 则 2n DC ， 2n DP ，∴ 2 2 0 0 n DC n DP    ， ∵  3 3 0DC  ， ， ，  0 3 1DP  ， ， ，∴ 3 3 0 30 xy yz    . 令 3y  ，得 13xz   ， ，∴  2 1 3 3n   ， ， ， ∴ 12 12 12 1 13cos 1313 nnnn nn       ， . 设二面角 C PD B的大小为 ，则 13cos 13  . ………………………12 分 19.(本小题满分 12 分) (Ⅰ) 0.06 34 0.18 38 0.20 42 0.28 46 0.16 50 0.10 54 0.02 58 44.72 45x                 ； …………………………5 分 (Ⅱ)由题意得， 39.2 50.8      ， ，  39.2 50.8 0.6826Pt   ， 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间 39.2 50.8， 的人数约为10000 0.6826 6826(人)； …………………………12 分 20.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ，由椭圆的离心率为 2 2 知， 2b c a b， ， ∴椭圆 C 的方程可设为 22 2212 xy bb. 易求得  2 0A ， ，∴点  2 2， 在椭圆上，∴ 22 2212bb， 解得 2 2 6 3 a b     ，∴椭圆 C 的方程为 22 163 xy. …………………………5 分 (Ⅱ)当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 2x  ，由(Ⅰ)知，    2 2 2 2MN， ， ， ，    2 2 2 2 0OM ON OM ON    ， ， ， ， ，∴OM ON . 当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为 y kx m，    1 1 2 2M x y N x y， ， ， ， ∴ 2 2 1 m k   ，即  2221mk. 联立直线和椭圆的方程得  22 26x kx m   ， ∴  2 2 21 2 4 2 6 0k x kmx m     ，得     2 22 12 2 2 12 2 4 4 1 2 2 6 0 4 21 26 21 km k m kmxx k mxx k                 . ∵    1 1 2 2 OM x y ON x y， ， ， ， ∴   1 2 1 2 1 2 1 2OM ON x x y y x x kx m kx m       ，       2 2 2 2 2 1 2 1 2 22 2 6 4112 1 2 1 m kmk x x km x x m k km mkk                  2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 2 1 2 6 4 2 1 3 2 2 6 63 6 6 02 1 2 1 2 1 k m k m m k k kmk k k k              ， ∴ OM ON . 综上所述，圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于点 MN， ，都有OM ON . 在 Rt OMN 中，由 OMP 与 NOP 相似得， 2 2OP PM PN   为定值. …………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)易知 1x  ，且   1 1 xf x e x   . 令   1 1 xh x e x ，则    2 1 0 1 xh x e x      ， ∴函数   1 1 xh x e x 在  1x   ， 上单调递增，且    0 0 0hf. 可知，当  1 0x， 时，     0h x f x，    ln 1xf x e x   单调递减； 当  0x  ， 时，     0h x f x，    ln 1xf x e x   单调递增. ∴函数  fx的单调递减区间是 1 0 ， ，单调递增区间是 0 ， .…………………………5 分 (Ⅱ)∵      ln 1xg x f x ax e x ax      ，∴    g x f x a. 由(Ⅰ)知，  gx 在  1x   ， 上单调递增， 当 1x  时，  gx   ；当 x 时，  gx   ，则   0gx  有唯一解 0x . 可知，当  01xx， 时，   0gx  ，    ln 1xg x e x ax    单调递减； 当  0xx  ， 时，   0gx  ，    ln 1xg x e x ax    单调递增， ∴函数  gx在 0xx 处取得极小值    0 0 0 0ln 1xg x e x ax    ，且 0x 满足 0 0 1 1 xeax . ∴      0 0 0 0 0 11 ln 1 1 1 xg x x e x x       . 令       11 ln 1 1 1 xx x e x x        ，则    2 1 1 xx x e x        . 可知，当  1 0x， 时，   0x  ，  x 单调递增； 当  0x  ， 时，   0x  ，  x 单调递减， ∴    max 01x. ∴函数  gx极小值的最大值为 1. …………………………12 分 22.(本小题满分 10 分) (Ⅰ) 22 1 :1C x y， 2 : =2cosC ，∴ 2 =2 cos   ，∴ 222x y x. 联立方程组得 22 22 1 2 xy x y x    ，解得 1 1 1 2 3 2 x y     ， 2 2 1 2 3 2 x y     ， ∴所求交点的坐标为 13 22   ， ， 13 22  ， .………………………5 分 (Ⅱ)设  B ， ，则 =2cos. ∴ AOB 的面积 11sin 4 sin 4cos sin2 2 3 3S OA OB AOB                       2cos 2 36    ∴当 23 12   时， max 23S  . ………………………10 分 23.(本小题满分 10 分) (Ⅰ)   22f x x，即 1 >2 2xx 1 0 1>2 2 x xx    或 1 0 1 2 2 x xx      1 3x， ∴实数 x 的取值范围是 1 3  ， . ………………………5 分 (Ⅱ)∵ 1a  ，∴ 11 a   ，∴           1 2 1 111 112 a x x g x a x x a a x x a                       ， ， ， ， ， ， ， 易知函数  gx在 1x a    ， 时单调递减，在 1x a     ， 时单调递增， ∴  min 111g x g aa     . ∴ 111 2a，解得 2a  . ………………………10 分