【数学】2018届一轮复习人教A版　空间几何体的结构特征及三视图和直观图教案

【数学】2018届一轮复习人教A版　空间几何体的结构特征及三视图和直观图教案

知识点 考纲下载 空间几何体的结构及三视图和直观图 ‎1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．‎ ‎2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．‎ ‎3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．‎ ‎4．会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．‎ 空间几何体的表面积与体积 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．‎ 空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎1.理解空间直线、平面位置关系的定义．‎ ‎2．了解可以作为推理依据的公理和定理．‎ ‎3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．‎ 空间中的平行关系 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．‎ 空间中的垂直关系 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．‎ 空间向量及其运算 ‎1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．‎ ‎2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．‎ ‎3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．‎ 立体几何中的向量方法 ‎1.理解直线的方向向量与平面的法向量．‎ ‎2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．‎ ‎3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．‎ ‎4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．‎ 第1讲　空间几何体的结构特征及三视图和直观图 ‎1．空间几何体的结构特征 ‎(1)多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台 ‎(2)旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 矩形一边所在的直线 或对边中点连线所在直线 圆锥 直角三角形或 等腰三角形 一直角边所在的直线或等腰 三角形底边上的高所在直线 圆台 直角梯形或 等腰梯形 直角腰所在的直线或 等腰梯形上下底中点 连线所在直线 球 半圆或圆 直径所在的直线 ‎2.直观图 ‎(1)画法：常用斜二测画法．‎ ‎(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．‎ ‎3．三视图 ‎(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．‎ ‎ (2)三视图的画法 ‎①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．‎ ‎②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．‎ ‎1．辨明三个易误点 ‎(1)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要强调截面与底面平行．‎ ‎(2)注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．‎ ‎(3)几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．‎ ‎2．由三视图还原几何体的方法 ‎3．用斜二测画法画直观图 ‎(1)一般在已知原图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．‎ ‎(2)一定要注意在原图形中与y轴平行的线段的长度在直观图中变为原来的一半，在由直观图还原时，与y′轴平行的线段的长度要变为原来的二倍．在斜二测画法中，真实图形的面积和直观图的面积之比是2∶1.‎ ‎1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)‎ A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆柱、圆锥、球的组合体 ‎　C　[解析] 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．‎ ‎2．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(　　)‎ A．棱柱的侧棱长都相等 B．棱锥的侧棱长都相等 C．三棱台的上、下底面是相似三角形 D．有的棱台的侧棱长都相等 ‎　B　[解析] 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．‎ ‎3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)‎ ‎　B　[解析] 根据选项A、B、C、D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．‎ ‎4. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体为________．‎ ‎[答案] 四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体 ‎5.在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.‎ ‎[解析] 由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.‎ ‎[答案] 矩形　8‎ ‎　空间几何体的结构特征[学生用书P127]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)下列说法正确的是(　　)‎ A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 ‎(2)以下命题：‎ ‎①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；‎ ‎②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；‎ ‎③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；‎ ‎④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．0　　　　　　 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎【解析】　(1)A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．‎ ‎(2)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B 判定与空间几何体结构特征有关命题的方法 ‎(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．‎ ‎(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．　 ‎ ‎　给出下列四个命题：‎ ‎①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；‎ ‎②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；‎ ‎③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；‎ ‎④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．‎ 其中错误的命题的序号是________．‎ ‎[解析] 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不正确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④‎ 平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．‎ ‎[答案] ①②③④‎ ‎　空间几何体的三视图(高频考点)[学生用书P128]‎ 空间几何体的三视图是每年高考的热点，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题．‎ 高考对三视图的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)根据几何体的结构特征确认其三视图；‎ ‎(2)根据三视图还原直观图；‎ ‎(3)由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2015·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B． C. D．2‎ ‎(2)(2017·东北四市联考(二))如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥PA1B1A的侧视图为(　　)‎ ‎【解析】　(1)‎ 根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥VABCD，其中VB⊥平面ABCD，‎ 且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD．连接BD，易知BD＝，‎ 在Rt△VBD中，‎ VD＝＝.‎ ‎(2)如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥PA1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D．‎ ‎【答案】　(1)C　(2)D 三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)已知几何体，识别三视图的技巧 已知几何体画三视图时，可先找到各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚．‎ ‎(2)已知三视图，判断几何体的技巧 ‎①对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．‎ ‎②明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．‎ ‎③遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．　 ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　根据几何体的结构特征确认其三视图 ‎1．(2017·沈阳市教学质量监测(一))‎ ‎“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是(　　)‎ ‎　B　[解析] 根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B．‎ ‎ 角度二　根据三视图还原直观图 ‎2．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是(　　)‎ A．三棱锥　　 B．四棱锥 C．四棱台 D．三棱台 ‎　A　[解析] 因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥形，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥．‎ ‎ 角度三　由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图 ‎3.(2016·高考天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(　　)‎ ‎　B　[解析] 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.‎ ‎　空间几何体的直观图[学生用书P129]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(　　)‎ A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 ‎【解析】　如图，在原图形OABC中，‎ 应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，‎ CD＝C′D′＝2 cm，‎ 所以OC＝＝＝6(cm)，‎ 所以OA＝OC，‎ 故四边形OABC是菱形，‎ 因此选C.‎ ‎【答案】　C ‎ 若本例中直观图为如图所示的一个边长为1 cm的正方形，则原图形的周长是多少？‎ ‎[解] 将直观图还原为平面图形，如图．‎ 可知还原后的图形中OB＝2，AB＝＝3，于是周长为2×3＋2×1＝8(cm)．‎ ‎　 ‎ ‎　如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．‎ ‎[解析] 直观图的面积S′＝×(1＋1＋)×＝.‎ 故原平面图形的面积S＝＝2＋.‎ ‎[答案] 2＋ ‎ [学生用书P129]‎ ‎——忽视三视图中的虚实线而致误 ‎　将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为(　　)‎ ‎【解析】　侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B．‎ ‎【答案】　B ‎　(1)因对三视图的含义认识不到位，区分不清选项A和B，而易误选A；‎ ‎(2)因对三视图的画法要求不明而误选C或D．在画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画，被遮住的部分的轮廓线用虚线画；‎ ‎(3)解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图．‎ ‎　(2017·河北省五校联盟质量检测)某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是(　　)‎ A．2　　　　　　　　 B．2 C. D．2 ‎　D　[解析] 在正方体ABCDA1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1BCB1，如图所示，其四个面的面积分别为2，2，2，2，故选D．‎ ‎ [学生用书P291(独立成册)]‎ ‎1．(2017·沈阳质检)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为(　　)‎ A．三棱台　　　　　　　　 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥 ‎　B　[解析] 根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示．这是一个三棱柱．‎ ‎2.如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则在原图中三条线段AB，AD，AC中(　　)‎ A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AC，最短的是AD ‎　B　[解析] 由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB

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