2020届二轮复习函数中的识图与用图学案（全国通用）
专题二 函数与导数
问题三：函数中的识图与用图
一、考情分析
函数图象是高考热点,注意考查方式有二,一是根据图象确定函数解析式,二是借组图象研究函数图象交点个
数或方程实根个数,此类问题一般常与函数性质交汇考查,综合性较强,能有效考查学生分析问题解决问题的
能力,及数形结合思想,在高考中常以选择题形式出现,难度中等或中等以上..学@科网
二、经验分享
(1) 描点法作图的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即奇偶性、周期性、
单调性、最值(甚至变化趋势)；④描点连线,画出函数的图象．
(2) 函数图象平移变换八字方针
① “左加右减”,要注意加减指的是自变量．
② “上加下减”,要注意加减指的是函数值．
(3) 图象变换法作函数的图象
① 熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 y＝x＋1
x
的函数．
②若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变
换顺序．
(4) 函数图象的识辨可从以下方面入手：
①从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域,判断图象的上下位置；
②从函数的单调性,判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性,判断图象的对称性；
④从函数的周期性,判断图象的循环往复；
⑤从函数的特征点,排除不合要求的图象．
(4) ① 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶
性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系．
②利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程 f(x)＝g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象交点的
横坐标；不等式 f(x)
0 且 a≠1) ―――――→关于y＝x对称
y＝logax(a>0 且 a≠1)．
(3)伸缩变换
y＝f(ax)．
②y＝f(x) ―――――――――――――――――――→a > 1
0 < a < 1 y＝af(x)．
(4)翻折变换
①y＝f(x) ―――――――――→保留x轴上方图象
将x轴下方图象翻折上去 y＝|f(x)|.
②y＝f(x) ――――――――――→保留y轴右边图象
关于y轴对称的图象 y＝f(|x|)．
2.函数对称的重要结论[来源:学*科*网 Z*X*X*K]
(1)函数 y＝f(x)与 y＝f(2a－x)的图象关于直线 x＝a 对称．
(2)函数 y＝f(x)与 y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a,b)中心对称．
(3)若函数 y＝f(x)对定义域内任意自变量 x 满足：f(a＋x)＝f(a－x),则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对
称．
四、题型分析
(一) 知式选图
【例 1】函数 f(x)＝2x－tan x 在(－π
2,π
2)上的图象大致为( )
( ) 11
10 1
a a
a a
y f x
>
< <
→，横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变
，横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变
① ＝
【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值的符号排除不符合条件的选项.
【解析】f(x)＝2x－tan x 是奇函数,其图象关于原点成中心对称,又 f(π
4)＝π
2－tan π
4＝π
2－1>0,故选 D.[来源:学§科§网]
【点评】函数图象问题主要包括 3 个方面的问题：作图、识图、用图,其中识图问题一直是高考中的热点,解
决该类问题的关键是从图中读出有用的信息,根据这些信息排除不符合条件的选项.本题属于识图问题中的
“知式选图”,常用方法是：
(1)从函数定义域、值域确定图象大致位置；
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性；
(4)根据特殊点的位置或特殊函数值的正负,排除不符合条件的选项.
【小试牛刀】【2018 届北京市东城区高三上学期期中】函数 的图象大致为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当 时, ,排除 ；又 ,故该
函数是奇函数,排除 ；又当 时, ,排除 ,故选 ．
(二) 知图选式
【例 2】【20188 届辽宁省葫芦岛市六校协作体月考】已知函数 的图象如图所示,则函数 的解析
cos siny x x x= +
πx = π 0y = − < A ( ) ( ) ( )cos sin cos sinf x x x x x x x f x− = − − = − + = −
B π
2x = π0 sin 1 02y = + = > C D
( )f x ( )f x
式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【评注】知图选式一般采用逐个排除的方法.
【小试牛刀】【2018 届山东省、湖北省部分重点中学 12 月联考】若函数 （ , ,
, ）的图象如图所示,则下列说法正确的是（ ）学￥科网
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由渐近线是 得, 的两根是 1,5,由选项知, ,则
( ) ( ) 24 4 logx xf x x−= + ( ) ( ) 24 4 logx xf x x−= −
( ) ( ) 1
2
4 4 logx xf x x−= + ( ) ( )4 4x xf x x−= +
( ) 2
df x ax bx c
= + + a b
c d R∈
0, 0, 0, 0a b c d> > > >
0, 0, 0, 0a b c d> > > <
0, 0, 0, 0a b c d> < > >
0, 0, 0, 0a b c d> < > <
1, 5x x= = 2 0ax bx c+ + = 0a > 2y ax bx c= + +
开口向上,得 ,有由 时, 可知, ,则 ,所以 ,
故选 D.
(三)借助图象确定函数零点个数或方程实根个数
【例 3】若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x),当 x∈[0,1]时,f(x)＝x,则函数 y＝f(x)－log3|x|的零点个
数是( )
A．多于 4 B．4
C．3 D．2
【答案】B
【解析】由题意知,f(x)是周期为 2 的偶函数．在同一坐标系内作出函数 y＝f(x)及 y＝log3|x|的图象,如图,
观察图象可以发现它们有 4 个交点,即函数 y＝f(x)－log3|x|有 4 个零点．
【评注】(1)确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①
解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．
【小试牛刀】【2018 河北省阜城月考】方程 的解的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】在同一坐标系中画出函数 与 的图象,如图所示：
易判断其交点个数为 2 个,则方程 的解的个数也为 2 个,故选 C.
(四) 由函数零点个数或方程实根个数确定参数范围
【例 4】【2018·山东高考】已知函数 f(x)＝Error!其中 m>0,若存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不
同的根,则 m 的取值范围是________．
【答案】(3,＋∞)
0, 0b c< > 3x = ( )3 2f = ( )3 0y < 0d < 0, 0. 0, 0a b c d> < > <
3
1 log3
x
x =
1
3
x
y = 3logy x=
3
1 log3
x
x =
【评析】已知函数零点情况求参数的步骤及方法
(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组),即
得参数的取值范围．(2)方法：常利用数形结合法．
【 小 试 牛 刀 】【 2018 北 京 西 城 区 高 三 上 学 期 12 月 月 考 】 已 知 若 函 数
只有一个零点,则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意可得函数 的图象和直线 只有一个交点,直线 经过定点
, 斜 率 为 , 当 , , 当 时 , , 如 图 所 示 , 故
．故选 ．
[来源:]
五、迁移运用
1．【2018 北京师范大学附属中期中】函数 与 的图象可能是
( )
1 1, 1,{
,0 1,
xf x x
lnx x
− ≥=
< <
( ) ( )g x f x kx k= − + k
( ) ( ), 1 1,−∞ − ∪ +∞ ( )1,1− [ ]0,1 ] [( , 1 0,1−∞ − ∪
( )y f x= ( )1y k x= − ( )1y k x= −
( )1,0 k 0 1x< < ( ) 1 1f x x
′ − > 1x ≥ ( ) [ )2
1 1,0f x x
∈ −′ = −
] [( , 1 0,1k ∈ −∞ − ∪ D
2y ax bx= + ( )0y ax b ab= + ≠
A. B. C. D.
【答案】D
2．【2018 届福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上学期三校联考】定义运算 ,则
函数 的图象是下图中
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得 ,则答案为 D.学！科网
3．【2018 河北省张家口市 12 月月考】函数 （ ）的图象不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
,{ ,
a a ba b b a b
≤⊕ = >
( ) 11 2
x
f x = ⊕
( )
1, 0
11 { 12 , 02
x
x
x
f x
x
≤
= ⊕ = >
( ) 2 2x xf x a −= + ⋅ a R∈
【解析】∵ 函数 （ ）∴当 时, ,故 可能
当 时, ,显然 为增函数,且 时, ,故 可能
当 时, ,令 ,则 , 在 上单调递减,在 上单调
递增,故 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,则 在 上单调递减,
在 上单调递增,故 可能,综上,函数 （ ）的图象不可能为
故选 D
4.【2018 广东省化州市高三上学期第二次高考模拟】函数 的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】结合函数的解析式：当 x=0 时,可得 ,f(x)图象过原点,排除 A.
当 时, ,而|x+1|>0,f(x)图象在上方,排除 CD.本题选择 B 选项.
5.【2018 浙江省部分市学校高三联考数学】已知函数 （ ）,下列选项中不
可能是函数 图象的是（ ）
A. B.
( ) 2 2x xf x a −= + ⋅ a R∈ 0a = ( ) 2xf x = A
0a < ( ) 2 2
x
x
af x = + ( )f x 1a = − ( ) 12 2
x
xf x = − C
0a > ( ) 2 2
x
x
af x = + 2 ( 0)xt t= > ay t t
= + y ( )0, a ( ),a +∞
1a = y ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) 12 2
x
xf x = + ( ),0−∞
( )0,+∞ B ( ) 2 2x xf x a −= + ⋅ a R∈ D
( ) ( )sin 2
1
xf x x
−= +
( )0 0f =
04 x
π− < < ( )sin 2 0x− >
( ) 3 21 1 13 2f x ax x x= + + + a R∈
( )f x
C. D.
【答案】D
6. 【2018 届山西省太原高三上学期 10 月月考】已知函数 ,若函数
有两个零点,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】作出函数 图象,依题意,则 与函数 图象有两个交点,当
与 相切时,设切点为 ,则 求得 ,当 时,
与函数 图象有两个交点,故选 D.
7.【2018 届山东省济南高三 12 月考】 函数 的图象大致为（ ）
( )
1, 1{ 1
2 e , 1x
x xf x x
x
+ >= −
− ≤
( ) ( ) ( )1g x f x m x= − − m
( )2,0− ( )1,0−
( ) ( )2,0 0, ∞− ∪ + ( ) ( )1,0 0, ∞− ∪ +
( )f x ( )1y m x= − ( )y f x= ( )1y m x= −
2 exy = − ( )0 0,x y ( )
0
0
0
0 0
2 e
{ 1
e
x
x
y
y m x
m
= −
= −
− =
0
0
0
{ 1
1
x
y
m
=
=
= −
( ) ( )1,0 0,m ∞∈ − ∪ +
( )1y m x= − ( )y f x=
( )3 2ln 1y x x x= + + −
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意,f（﹣x）=（﹣x）3+ln（ +x）=﹣f（x）,函数是奇函数,
f（1）=0,f（2）=8+ln（ ﹣2）＞0,排除 ACD.故选 B．
8.【2018 届北京市西城区高三上学期 12 月月考】如图,点 为坐标原点,点 ,若函数 （ ,
且 ）及 （ ,且 ）的图象与线段 分别交于点 , ,且 , 恰好是线段
的两个三等分点,则 , 满足（ ）．[来源:学§科§网 Z§X§X§K]
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图象可以知道,函数均为减函数,所以 , ,∵点 为坐标原点,点 ,∴直
线 为 ,∵ 经过点 ,则它的反函数 也经过点 ,又∵ （ ,且
）的图象经过点 ,根据对数函数的图象和性质可知： ,∴ ．故选 ．
2 1x +
5
O ( )1,1A xy a= 0a >
1a ≠ logby x= 0b > 1b ≠ OA M N M N OA
a b
1a b< < 1b a< < 1b a> > 1a b> >
0 1a< < 0 1b< < D ( )1,1A
OA y x= xy a= M logay x= M logby x= 0b >
0b ≠ N a b< 1a b< < A
9.【2018 届广东省广州市华南师范大学附属中学高三综合测试】 设 是定义在 上的偶函数,对
,都有 ,且当 时, ,若在区间 内关于 的方程
恰好有三个不同的实数根,则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵对 ,都有 ,∴ ,即 的周期为 4,
∵当 时, ,∴当 时, ,则
∵ 是偶函数,∴当 时, ,∵
∴ ,∴作出在区间 内 的图象如下：
∵在区间 内关于 的方程 恰好有三个不同的实数根,∴函数 与
函数 在区间 内有三个不同的交点,∴只需满足 在点 的下方,
过点 或在点 上方,即 ,∴ ,故选 D.
10.【2018 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断】函数 的图像为
A. B.
( )f x R
x R∈ ( ) ( )2 2f x f x− = + [ ]2,0x∈ − ( ) 1 12
x
f x = −
( )2,6− x
( ) ( )log 2 0( 1)af x x a− + = > a
( )2,+∞ ( )1,2 ( )3 4,2 ( 3 4,2
x R∈ ( ) ( )2 2f x f x− = + ( ) ( )4f x f x+ = ( )f x
[ ]2,0x∈ − ( ) 1 12
x
f x = −
[ ]0,2x∈ [ ]2,0x− ∈ − ( ) 1 1 2 12
x
xf x
− − = − = −
( )f x [ ]0,2x∈ ( ) ( ) 2 1xf x f x= − = − ( ) ( )log 2 0( 1)af x x a− + = >
( ) ( )log 2af x x= + ( )2,6− ( )f x
( )2,6− x ( ) ( )log 2 0( 1)af x x a− + = > ( )f x
( ) ( )log 2ag x x= + ( )2,6− ( )g x ( )2 3A ， ( )g x
( )6,2B ( )6,2B
( )
( )
log 2 2 3{ log 6 2 3
a
a
+ <
+ ≥
3 4 2a< ≤
( ) 2
sin xf x x
π=
C. D.
【答案】D
【解析】 ,所以 为奇函数,舍去 A,C; 舍去 B,选 D.
11．【2018 届广东省佛山市段考】已知 ,则方程 所有实数根的个数为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在同一坐标系内作出函数 的图象,如图所示,
根据函数图象可知,两函数的图象交点的个数为 5 个,所以方程 所有实数根的个数为 5 个.
选 D．学@科网
12．【2018 届福建省莆田市第二十四中学 2018 届高三上学期第二次月考】设函数 对任意的
满足 ,当 时,有 .若函数 在区间 （ ）
上有零点,则 的值为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】∵函数 y=f(x)对任意的 x∈R 满足 f(4+x)=f(−x),∴函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,
又∵当 x∈(−∞,2]时,有 .故函数 y=f(x)的图象如下图所示：
( ) ( )2
sinπxf x f xx
−− = = − ( )f x 0x ≠ ∴
[ ]1,1x∈ − 2 cos2x xπ− =
2 3 4 5
( ) ( )2 , cos2xf x g x xπ−= =
2 cos2x xπ− =
( )y f x= x R∈
( ) ( )4f x f x+ = − ( ]2x∈ −∞， ( ) 2 5xf x −= − ( )f x ( )1k k +， k Z∈
k
3− 7 4− 7 4− 6 3− 6
( ) 2 5xf x −= −
由图可知,函数 f(x)在区间(−3,−2),(6,7)各有一个零点,故 k=−3 或 k=6,故选：D.
13．【2018 届广东省五校高三 12 月联考】函数 的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 为奇函数,图象关于原点对称,排除 ；当 时,
,排除 ；当 时, ,排除 ；故选 D.
14．【2018 届江西省南城县高三上学期期中】已知函数 与 ,则它们所有交
点的横坐标之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】作函数 图像,由图可知所有交点的横坐标之和为 ,选 C.
( ) 2 2
x xe ef x x x
−−= + −
( ) ( ) ( )2 ,2
x xe ef x f x f xx x
− −− = = − ∴+ − A ( )0,1x∈
( ) ( )( ) 0
2 1
x xe ef x
x x
−−= <
+ + − B ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x > C
( ) 2ln 1||f x x x= − + ( ) 2g x x=
0 2 4 8
2ln 1||, 2y x y x x= − = − 2 2 4× =
15.【2018 江西省新余市高三第四次模拟】设函数 的导函数为 ,若 为偶函数,且在
上存在极大值,则 的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
16.【2018 届湖南省衡阳县高三 12 月联考】 函数 在 上的图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
( )f x ( )f x′ ( )f x ( )0,1
( )f x′
( ) 2
sin
1
xf x x x
= + + ,2 2
π π −
【解析】函数的解析式满足 ,则函数为奇函数,排除 CD 选项,由
可知： ,排除 A 选项.本题选择 B 选项.
17. 【 福 建 省 莆 田 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 】 现 有 四 个 函 数 ： ① ； ② ；
③ ；④ 的图象（部分）如图：
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A. ①④③② B. ③④②① C. ④①②③ D. ①④②③
【答案】D
18. 【2018 届辽宁省葫芦岛高三上学期期中】函数 的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题 定义域为 ,且 ,∴ 是奇函数,图象关于原
点对称,排除 C,D；又当 时, 排除 A,故选 B．
( ) ( )f x f x− = −
2
2 1 3sin 1, 1 12 4x x x x ≤ + + = + + ≥
( ) 1f x ≤
siny x x= ⋅ cosy x x= ⋅
cosy x x= ⋅ 2xy x= ⋅
( ) 2 1
x xe ef x x
−−= +
f x（ ） R ( ) ( ) ( )2 2 11
x x x xe e e ef x f xxx
− −− −− = = = −+− + f x（ ）
0x＞ 1 0x xe e f x− ∴＞ ＞ ， （ ）＞ ，
19. 【2018 届内蒙古杭锦后旗高三上学期第三次月考】函数 的部分图像大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知,函数 为奇函数,故排除 B；当 x=π 时,y=0,故排除 D；
当 x=1 时,y>0,故排除 A；故选：C
20. 【2018 届北京东城高三上学期期中】已知函数 ,若方程 有且只有
两个不相等的实数根,则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 图像如图所示, , 与 图像有两个交点,符合题意．
故选 D .
sin2
1 cos
xy x
= −
sin2
1 cos
xy x
= −
( ) ( )
2 1, 0={ 1 , 0
x xf x f x x
− − ≤
− > ( )=f x x a+
a
[ )0,+∞ ( )0,1 ( ),1−∞ ( ],1−∞
( )f x 1a < ( )f x y x a= +
