2019-2020学年浙江省宁波市效实中学高二上学期期中考试数学（数理班）试题

2019-2020学年浙江省宁波市效实中学高二上学期期中考试数学（数理班）试题

说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分． ‎ 第Ⅰ卷（选择题　共30分） ‎ 参考公式： ‎ ‎ 柱体的体积公式 ‎ ‎ 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 锥体的体积公式 ‎ ‎ 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 ‎ 球的表面积公式 ‎ 球的体积公式 ，其中表示球的半径 台体的体积公式 ‎ 其中，分别表示台体的上、下底面积， 表示台体的高 ‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.空间中，已知是直线，是平面，且，则的位置关系是 （ ）‎ ‎ A. 平行 B. 相交 C.异面 D.平行或异面 ‎2.已知椭圆的焦点在轴上，若其离心率为，则的值是(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 下列命题不正确的是 （ ）‎ A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若直线直线，则直线与直线确定一个平面 D. 三点确定一个平面.‎ ‎4. 将半径为的圆形铁皮，剪去后，余下部分卷成一个圆锥的侧面，则此 圆锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为 的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 如图所示，已知三棱台的体积为，其中，截去三棱锥，则剩余部分的体积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 有下列说法：‎ ‎①若，则与，共面；②若与，共面，则；‎ ‎③ 若，则 共面；④ 若共面，‎ 则. 其中正确的是 （ ）‎ A. ①②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ②④‎ ‎8. 等腰梯形中，,沿对角线将平面 折起，折叠过程中，与夹角的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 从空间一点作条射线，使得任意两条射线构成的角均为钝角，最多为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎10. 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,中点为，若直线与直线AB的中垂线交于点，当最大时点的横坐标为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ 卷（非选择题　共70分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题4分，单空题每小题3分，共25分．‎ ‎11. 已知正方体中，，若，‎ 则 ▲ ， ▲ ．‎ ‎12. 已知球的表面积为，则它的半径等于 ▲ cm，它的内接长方体的表 正视图 ‎2‎ ‎2‎ 侧视图 ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ 俯视图 面积的最大值为 ▲ .‎ ‎13. 一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的 俯视图的面积为 ▲ ，体积为 ▲ ．‎ ‎14.椭圆的弦的中点为点，‎ 则弦所在的直线方程为 ▲ ；点为椭圆上 的任意一点，为左焦点，则的取值范围 为 ▲ ．‎ ‎15.直线与双曲线的左、右支分别交于两点，，为坐标原点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．‎ ‎16. 平面//平面，直线，点与面夹角为，，与的夹角为，则与的夹角为 ▲ .‎ ‎17. 已知正方体的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 ▲ .‎ 三、解答题：本大题共5小题，共45分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎18.（本题共7分）已知椭圆焦点为，且过点，椭圆第一象限上的一点到两焦点的距离之差为2.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）求的内切圆方程.‎ ‎19. （本题共9分）在所有棱长都为的三棱柱中，‎ ‎，. ‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正切值. ‎ ‎20. （本题共9分）如图，四棱锥的底面是 边长为的正方形，四条侧棱长均为．点 ‎ 分别是棱上共面的四点，平面．‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）若，且二面角大小为,‎ 求与平面所成角的正弦值．‎ ‎21. （本题共10分）如果四面体的四条高交于一点，则该点称为四面体的垂心，该四面体称为垂心四面体.‎ ‎（Ⅰ）证明：如果四面体的对棱互相垂直，则该四面体是垂心四面体；反之亦然.‎ ‎（Ⅱ）给出下列四面体 ‎①正三棱锥；②三条侧棱两两垂直；‎ ‎③高在各面的射影是所在面的垂心；‎ ‎④对棱的平方和相等.‎ 其中是垂心四面体的序号为 .（多选、少选或错选均扣分）‎ ‎22. （本题共10分）平面直角坐标系中，已知椭圆，抛物线的焦点是的一个顶点，设是上的动点，且位于第一象限，记在点处的切线为. （I）求的值和切线的方程（用表示）‎ ‎（II）设与交于不同的两点 ，‎ 线段的中点为，直线与过 且垂直于轴的直线交于点.‎ ‎（i）求证：点在定直线上;‎ ‎（ii）设与轴交于点，记 的面积为，的面积为，求 的最大值.‎ 高二期中考（数理班）数学参考答案 一.选择题 ‎1.D 2.B 3.D 4.B 5.A 6.C 7. C 8.B 9.B 10. A 二.选择题 ‎ 11. 1，； 12. 1,8 ； 13. ；‎ ‎14. ；15. ； 16.； 17. .‎ 三. 解答题 ‎18. （Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）由，‎ 故内切圆半径，‎ 所以内切圆方程为：‎ ‎19. （Ⅰ）取BC中点D，由题设得均为等边三角形，‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎,‎ ‎20. （Ⅰ）平面，‎ 同理由 ‎（Ⅱ）取BC,AD的中点M,N，设,‎ ‎,‎ 又 ‎,‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21. （Ⅰ）先证对棱互相垂直的四面体是垂心四面体.‎ 作，则 ‎，‎ ‎， ‎ ‎ 此时两条高线 ‎ ‎ 连接，下证 ‎ ‎ ‎. 连接 ‎ 综上可知，四条高线交于点，故该四面体为垂心四面体；‎ 反之，若该四面体为垂心四面体，即四条高线交于点. ‎ ‎,,，故,‎ 同理可证 ‎（Ⅱ）①②③④均符合要求.‎ ‎22.解：（I）由题意可得，抛物线的焦点F为，则，，直线方程为 （Ⅱ）（i）证明：设， ‎ 由点差法可得，， 即有，‎ 直线OD的方程为，当时，可得 即有点M在定直线上； （ii）直线l的方程为，令，可得 ，‎ 则 ‎ 则 令 ，‎ 则 当，即时，取得最大值