高中数学（人教A版）必修5能力强化提升及单元测试：章末质量评估(二)

高中数学（人教A版）必修5能力强化提升及单元测试：章末质量评估(二)

章末质量评估(二)‎ ‎(时间：100分钟　满分：120分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3为 (　　)．‎ A．4 B. C. D．2‎ 解析　在等比数列{an}中，a3，a6，a9也成等比数列 ‎∴a62＝a3a9，∴a3＝＝4.‎ 答案　A ‎2．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10等于 (　　)．‎ A．45 B．50 C．75 D．60‎ 解析　由已知：a1＋a2＋a3＋a11＋a12＋a13＝150，‎ ‎∴3(a1＋a13)＝150，∴a1＋a13＝50.‎ ‎∵a4＋a10＝a1＋a13，∴a4＋a10＝50.‎ 答案　B ‎3．计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机价格降低，现在的价格是8 100元的计算机，则15年后，价格降低为 (　　)．‎ A．2 200元 B．900元 C．2 400元 D．3 600元 解析　价格降了3次，则价格降为8 100×3＝2 400.‎ 答案　C ‎4．(2011·天津一中月考)在数列{an}中，a3＝2，a7＝1，如果数列是等差数列，那么a11等于 (　　)．‎ A. B. C. D．1‎ 解析　设bn＝，则数列{bn}是等差数列，由等差数列的性质可知b3，b7，b11‎ 成等差数列，又b3＝＝，b7＝＝，所以b11＝2b7－b3＝，所以＝，解得a11＝.‎ 答案　B ‎5．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}前n项的和最大时n的值为 (　　)．‎ A．10 B．11‎ C．10或11 D．12‎ 解析　令an≥0得n2－10n－11≤0，∴1≤n≤11.‎ 即1≤n≤10时，an>0，当n≥12时，an≤0，而a11＝0，‎ 故前10项和等于前11项和，它们都最大．‎ 答案　C ‎6．在等比数列{an}中，若an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为 (　　)．‎ A．16 B．81 C．36 D．27‎ 解析　⇒ ‎∴a4＋a5＝×33＋×34＝27.‎ 答案　D ‎7．(2011·辽宁卷)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为 (　　)．‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ 解析　由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4.‎ ‎∵a1a2＝a12q＝16>0，∴q>0，∴q＝4.‎ 答案　B ‎8．在等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为 (　　)．‎ A．3×10－5 B．3×29‎ C．128 D．3×2－5或3×29‎ 解析　∵a2＝，a4＝a3q，‎ ‎∴a2＝，a4＝12q.‎ ‎∴＋12q＝30，即2q2－5q＋2＝0.‎ ‎∴q＝或q＝2.‎ 当q＝时，a2＝24，‎ ‎∴a10＝a2q8＝24×8＝3×2－5；‎ 当q＝2时，a2＝6，‎ ‎∴a10＝a2q8＝6×28＝3×29.‎ 答案　D ‎9．在等差数列{an}中，设公差为d，若前n项和为Sn＝－n2，则通项和公差分别为 (　　)．‎ A．an＝2n－1，d＝－2 B．an＝2n－1，d＝2‎ C．an＝－2n＋1，d＝－2 D．an＝－2n＋1，d＝2‎ 解析　an＝Sn－Sn－1＝－n2－[－(n－1)2]＝－2n＋1(n>1，n∈N*)．当n＝1时，a1＝S1＝‎ ‎－1满足上式，显然d＝－2.‎ 答案　C ‎10．在数列{xn}中，＝＋(n≥2)，且x2＝，x4＝，则x10等于 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　由已知得数列是等差数列，设该数列的公差为d，∴－＝2d＝1，∴d＝，∴＝＋(10－2)×d＝＝，∴x10＝.‎ 答案　A 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)‎ ‎11．若数列{an}是等差数列，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两根，则a5＋a8＝________.‎ 解析　∵数列{an}为等差数列，∴a3＋a10＝a5＋a8.‎ ‎∵a3＋a10＝3，∴a5＋a8＝3.‎ 答案　3‎ ‎12．已知等差数列{an}，公差d≠0，a1，a3，a4成等比数列，则＝________.‎ 解析　由题意得(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，‎ ‎∵d≠0，∴a1＝－4d，∴an＝－4d＋(n－1)d，‎ 即an＝(n－5)d，∴＝＝.‎ 答案　 ‎13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．‎ 已知数列{an}是等和数列，且a1＝－1，公和为1，那么这个数列的前2 011项和S2 011＝________.‎ 解析　a1＝－1，a2＝2，a3＝－1，a4＝2，…，‎ ‎∴a2 011＝－1，∴S2 011＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 009＋a2 010)＋a2 011＝1 005×1＋(－1)＝1 004.‎ 答案　1 004‎ ‎14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．‎ ‎1‎ ‎2　3‎ ‎4　5　6‎ ‎7　8　9　10‎ ‎11　12　13　14　15‎ 根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．‎ 解析　该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1(n≥3)行的最后一个数为＝－，则第n行从左至右的第3个数为－＋3.‎ 答案　－＋3‎ 三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15．(10分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．‎ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a3＝－6，a6＝0，‎ 所以 解得a1＝－10，d＝2.‎ 所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.‎ ‎(2)设等比数列{bn}的公比为q.‎ 因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，‎ 所以－8q＝－24，q＝3.‎ 所以数列{bn}的前n项和公式为 Sn＝＝4(1－3n)．‎ ‎16．(10分)(2011·广东省湛江一中高二期中测试)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)证明　∵an＋2＝3an＋1－2an，‎ ‎∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，‎ ‎∴＝2.‎ ‎∵a1＝1，a2＝3，‎ ‎∴{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎(2)解　由(1)得an＋1－an＝2n，‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1.‎ 故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.‎ ‎17．(10分)已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝logaan＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax得a＝2，‎ 所以数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)－1＝2n－1.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，‎ 对n＝1时也适合，∴an＝2n－1.‎ ‎(2)由a＝2，bn＝logaan＋1得bn＝n，‎ 所以anbn＝n·2n－1.‎ Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①‎ ‎2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.②‎ 由①－②得：‎ ‎－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，‎ 所以Tn＝(n－1)2n＋1.‎ ‎18．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)当bn＝log(3an＋1)时，求证：数列的前n项和Tn＝.‎ ‎(1)解　由已知(n≥2)，‎ 得an＋1＝an(n≥2)．‎ ‎∴数列{an}是以a2为首项，以为公比的等比数列．‎ 又a2＝S1＝a1＝，‎ ‎∴an＝a2×n－2(n≥2)．‎ ‎∴an＝ ‎(2)证明　bn＝log(3an＋1)＝log＝n.‎ ‎∴＝＝－.‎ ‎∴Tn＝＋＋＋…＋ ‎＝＋＋＋…＋‎ ‎＝1－＝.‎ ‎19．(12分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn>总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.‎ ‎∵a1＝1，解得(d＝0舍)，d＝2.‎ ‎∴an＝2n－1(n∈N*)．‎ ‎(2)bn＝＝＝，‎ ‎∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝ ‎＝＝.‎ 假设存在整数t满足Sn>总成立，‎ 又Sn＋1－Sn＝－ ‎＝>0，‎ ‎∴数列{Sn}是单调递增的．‎ ‎∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9.‎ 又∵t∈N*，‎ ‎∴适合条件的t的最大值为8.‎