2018-2019学年江西省抚州市金溪县第一中学高二12月月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年江西省抚州市金溪县第一中学高二12月月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 江西省抚州市金溪县第一中学2018-2019学年高二12月月考数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是的充分不必要条件,可得（）是解集的子集，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求出解集，综合三种情况可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为是的充分不必要条件,‎ 所以（）是解集的子集，‎ 时，由，解得：，‎ 故,所以；‎ 时，不等式无解，不合题意；’‎ 时，由，解得，‎ 故，不合题意；‎ 综上可得，的取值范围是，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式的解法，充分条件与必要条件的定义以及分类讨论思想的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎2．不等式成立的一个必要不充分条件是　　‎ A． B． 或 C． D． 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的解集为选项中集合的真子集，先利用一元二次不等式的解法解不等式，然后逐一判断即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 解不等式可得 或 ‎ 根据题意，该解集为选项中集合的真子集，‎ 依次将选项代入验证可得,不合题意；不合题意；‎ 或不合题意； 或是或的真子集，‎ 即不等式成立的一个必要不充分条件是或，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式的解法，集合包含关系的判断及应用和必要条件、充分条件和充要条件的判断，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎3．给出下列命题： ‎ ‎①命题“若，则方程（）无实根”的否命题；‎ ‎②命题“在中， ，那么为等边三角形”的逆命题；‎ ‎③命题“若，则”的逆否命题；‎ ‎④“若，则的解集为”的逆命题． ‎ 其中真命题的序号为（ ）‎ A． ①②③ B． ①②④ C． ②④ D． ①②③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】①命题“若，则方程（）无实根”的否命题是“若，则方程（‎ ‎）有实根”，是正确的；②命题“中， ，那么为等边三角形”的逆命题是“是等边三角形，则”，是正确的；③命题“若，则＞0”是正确的，∴它的逆否命题也是正确的；④命题“若，则的解集为”的逆命题是“若的解集为，则，∵不等式的解集为时，∴的解集为，∴逆命题是错误的；∴正确命题有①②③；故选A.‎ ‎4．若曲线表示椭圆，则k的取值范围是　　‎ A． B． ‎ C． D． 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆标准方程可得，解不等式组可得结果.‎ ‎【详解】‎ 曲线表示椭圆，‎ ‎，‎ 解得，且，‎ 的取值范围是或，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.‎ ‎5．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意知，，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A.‎ ‎6．已知双曲线C： 的一条渐近线方程为，且与椭圆 有公共焦点，则C的方程为　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的焦点坐标可得根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，结合性质解得，，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的焦点坐标，‎ 则双曲线的焦点坐标为，可得，‎ 双曲线的一条渐近线方程为，‎ 可得，即，可得，解得，，‎ 所求的双曲线方程为：，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆与双曲线的方程，以及简单性质的应用，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线、离心率等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ ‎7．设，是椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆定义得，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当垂直于轴时的最小值为，从而可得，求得b的值，根据椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率．‎ ‎【详解】‎ 过的直线交椭圆于两点，‎ 则，‎ ‎．‎ 当垂直轴时最小，值最大，‎ 此时，则，‎ 解得，可得，‎ 则椭圆的离心率，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．‎ ‎8．已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为点到抛物线焦点距离等于点到抛物线的准线的距离，所以到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小等价于到点的距离与点到抛物线准线距离之和取得最小，如图，由几何性质可得，从向准线作垂线，其与抛物线交点就是所求点，将代入，可得，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为，故选D.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.‎ ‎9．已知椭圆的焦点是，，P是椭圆上的一个动点，如果延长到Q，使得，那么动点Q的轨迹是　　‎ A． 椭圆 B． 双曲线的一支 C． 抛物线 D． 圆 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆定义可得，又，可得再由圆的定义得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎．‎ 动点到定点的距离等于定长，‎ 动点的轨迹是圆，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义与圆的定义的应用，考查学生分析转化问题的能力以及数形结合思想的应用，属于基础题．‎ ‎10．斜率为2的直线l过双曲线 的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是　　‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数形结合，根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出的关系，然后求出离心率的范围．‎ ‎【详解】‎ 双曲线的一条渐近线的斜率为，‎ 结合图形分析可知，‎ 若小于或等于2，‎ 则直线与双曲线的一支相交或没有交点，不合题意；‎ 所以必大于2，即，‎ 解得双曲线的离心率，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求离心率范围问题，应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的取值范围.‎ ‎11．设、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的值等于（ ）‎ A． 2 B． C． 4 D． 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知及双曲线定义可知，，即，所以（*），又，可知，则，代入（*）式，得.‎ ‎12．设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（　　）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 当椭圆的焦点在轴上，即时，当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，，，，解得：； 当椭圆的焦点在轴上时，，当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，，，，解得，∴的取值范围是，故选A．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知命题p：，是真命题，则实数a的取值范围是______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据判别式大于或等于零，解不等式即可得结果．‎ ‎【详解】‎ 若命题，是真命题，‎ 二次函数的图象与轴有交点，‎ 方程有根，‎ 则判别式，‎ 即，故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查特称命题的应用，以及一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系，考查了转化与划归思想的应用，属于简单题.‎ ‎14．已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为_________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆与圆外切与内切的性质可得，， 相减可得， 可得点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，结合双曲线的定义即可解决问题．‎ ‎【详解】‎ 由圆，圆心，半径为，‎ 圆，圆心，半径为， ‎ 设动圆心的坐标为，半径为，‎ 则，， ‎ ‎， ‎ 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，‎ 且，，，，‎ 双曲线的方程为，故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义与方程，属于中档题. 关于双曲线定义的理解有以下几种情况：‎ ‎（1）,,表示双曲线；‎ ‎（2）,,表示两条射线；‎ ‎（3）,表示双曲线的一支；‎ ‎（4）,表示一条射线.‎ ‎15．点P是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得，解得，从而可得结果．‎ ‎【详解】‎ 椭圆，‎ 可得，设，，‎ 可得，‎ 化简可得：，‎ ‎，故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎16．已知是抛物线 的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 抛物线 的焦点，‎ 设，‎ 为的中点，‎ 在抛物线 上，‎ ‎，即 点睛：分析题意，回想抛物线的简单性质，求出 的坐标是解题的关键。先根据抛物线的性质得到的坐标，设，根据中点坐标公式表示出的坐标，将代入抛物线解析式求出的值，确定点坐标，最后根据两点距离公式计算即可。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题p：方程有两个不相等的实数根；‎ 命题q：．‎ 若p为真命题，求实数m的取值范围；‎ 若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）若为真命题，则应有，解得实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，则，应一真一假，进而实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）若为真命题，则应有，解得； ‎ ‎（2）若为真命题，则有，即，因为为真命题，为假命题， 则，应一真一假，①当真假时，有，得；②当假真时，有，无解，综上，的取值范围是． ‎ ‎18．已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率．‎ 求椭圆的方程；‎ 求以点为中点的弦所在的直线方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）焦点为，求得,根据离心率，求得,可得,‎ 从而可得结果；（2）设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减，利用平方差公式分解因式；转化为斜率与中点坐标的关系式，可求出弦所在直线斜率，利用点斜式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆方程为，‎ 由已知，又，解得，所以，‎ 故所求方程为．‎ 由题知直线的斜率存在且不为，‎ 设直线与椭圆相交代入椭圆方程得 作差得，即 得所以直线方程的斜率．‎ 故直线方程是 即．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程和利用点差法求中点弦问题,利用设而不求得到斜率，从而求出直线方程. 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ ‎19．平面直角坐标系中，椭圆C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，一个焦点F的坐标为，离心率为．‎ 求椭圆C的标准方程：‎ 若直线l经过焦点F，其倾斜角为，且交椭圆C于A、B两点，求线段AB长 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 一个焦点F的坐标为，可得，由离心率为可得，利用可得，从而可得结果；（2）利用点斜式可得直线方程为，与椭圆方程联立，得，求出，利用两点间距离公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆标准方程为 ‎，其中 又         ‎ 由解得 椭圆C的标准方程为：‎ 根据直线过焦点F，其倾斜角为，‎ 可得直线方程为，‎ 与椭圆C方程联立，得，‎ 解得 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属中档题．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎20．中心在原点的双曲线的右焦点为，渐近线方程为.‎ ‎（I）求双曲线的方程；‎ ‎（II）直线与双曲线交于两点，试探究，是否存在以线段为直径的圆过原点.若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 存在， ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设双曲线的方程为 ，（a＞0，b＞0），则有c=，，c2=a2+b2，解得即可; （Ⅱ）由 得（2-k2）x2+2kx-2=0，根据韦达定理和向量的数量积得出关于k的方程，即可求出k的值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设双曲线的方程为，则有 得，所以双曲线方程为． ‎ ‎（Ⅱ）由得， ‎ 依题意有 解得且，① ‎ 且，， ‎ 设，，‎ 依题意有，所以， ‎ 又， ‎ 所以，化简得， ‎ 符合①，所以存在这样的圆.‎ ‎21．在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的右顶点为.‎ ‎（1）求该椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线的斜率之和为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）直线AP，AQ的斜率之和为定值1. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可知，，离心率，求得，则，即可求得椭圆的方程；（2）则直线的方程：，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线，的斜率，即可证明直线 ‎，的率之和为定值.‎ 试题解析：（1）由题 所以，. ‎ 所以椭圆C的方程为 ‎ ‎（2）当直线PQ的斜率不存在时，不合题意； ‎ 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为， ‎ 代入 得， ‎ 设，，则：‎ ‎，，， ‎ ‎ 所以，， ‎ 又 ‎=1.‎ 所以直线AP，AQ的斜率之和为定值1. ‎ ‎22．如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，是椭圆上异于点的任意两点，且．试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直线恒过定点 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程；（Ⅱ）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入消去y，设 P，Q，利用韦达定理，通过BP⊥BQ，化简求出，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1，将直线BP的方程代入，消去y，解得x，设 P，转化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ的方程利用直线系方程求出定点坐标 试题解析：（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为．依题意，得，‎ 且，‎ 解得．‎ 所以，椭圆的方程是．‎ ‎（Ⅱ）证法一：易知，直线的斜率存在，设其方程为．‎ 将直线的方程代入，‎ 消去，整理得．‎ 设，，‎ 则，．（1）‎ 因为，且直线的斜率均存在，‎ 所以， 整理得．（2）‎ 因为，，‎ 所以，．（3）‎ 将（3）代入（2），整理得 ‎．（4）‎ 将（1）代入（4），整理得．‎ 解得，或（舍去）．‎ 所以，直线恒过定点．‎ 证法二：直线的斜率均存在，设直线的方程为．‎ 将直线的方程代入，消去，得 解得，或．‎ 设，所以，，‎ 所以．‎ 以替换点坐标中的，可得．‎ 从而，直线的方程是．‎ 依题意，若直线过定点，则定点必定在轴上．‎ 在上述方程中，令，解得．‎ 所以，直线恒过定点．‎ 考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程