【数学】2020届一轮复习人教B版10-4变量间的相关关系、统计案例学案

【数学】2020届一轮复习人教B版10-4变量间的相关关系、统计案例学案

第四节　变量间的相关关系、统计案例 变量间的相关关系、统计案例 ‎1．变量间的相关关系 ‎(1)会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用数点图认识变量间的相关关系．‎ ‎(2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．‎ ‎2．统计案例 了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．‎ ‎(1)独立性检验 了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．‎ ‎(2)回归分析 了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．‎ 知识点一　回归分析 ‎1．变量间的相关关系 ‎(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．‎ ‎(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．‎ ‎2．两个变量的线性相关 ‎(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．‎ ‎(2)回归方程为＝x＋，其中＝，＝－.‎ ‎(3)通过求Q＝ (yi－bxi－a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法．‎ ‎(4)相关系数：‎ 当r>0时，表明两个变量正相关；‎ 当r<0时，表明两个变量负相关．‎ r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，‎ 表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．‎ 易误提醒　‎ ‎1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．‎ ‎2．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上 .‎ ‎3．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．‎ ‎[自测练习]‎ ‎1．已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为＝0.95x＋，则＝(　　)‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ A.3.25　　　　‎‎　　　　　 B．2.6‎ C．2.2 D．0‎ 解析：∵回归直线必过样本点的中心(，)，又＝2，＝4.5，代入回归方程，得＝2.6.‎ 答案：B ‎2．(2018·镇江模拟)如图所示，有A，B，C，D，E 5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．‎ 解析：由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D.‎ 答案：D 知识点二　独立性检验 独立性检验 假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：‎ y1‎ y2‎ 总计 x1‎ a b a＋b x2‎ c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．‎ 易误提醒　(1)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．‎ ‎(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表．在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果做出错误的解释．‎ ‎[自测练习]‎ ‎3．下面是2×2列联表：‎ y1‎ y2‎ 总计 x1‎ a ‎21‎ ‎73‎ x2‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎47‎ 总计 b ‎46‎ ‎120‎ 则表中a，b的值分别为(　　)‎ A．94,72　　　　　　　 B．52,50‎ C．52,74 D．74,52‎ 解析：∵a＋21＝73，∴a＝52，又a＋22＝b，∴b＝74.‎ 答案：C 考点一　相关关系的判断|‎ ‎1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(　　)‎ A．r27.879.因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．‎ ‎(3)设常喝碳酸饮料的肥胖男生为A，B，C，D，女生为E，F，任取两人的取法有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女的取法有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，共8种．故抽出一男一女的概率是P＝.‎ 解独立性检验的应用问题的关注点 ‎(1)两个明确：‎ ‎①明确两类主体；‎ ‎②明确研究的两个问题．‎ ‎(2)两个关键：‎ ‎①准确画出2×2列联表；‎ ‎②准确理解K2.‎ 提醒：准确计算K2的值是正确判断的前提．‎ ‎　‎ ‎　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎2．通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 走天桥 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 走斑马线 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ K2＝，n＝a＋b＋c＋d.‎ 附表：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参照附表，得到的正确结论是(　　)‎ A．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”‎ B．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”‎ C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”‎ D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”‎ 解析：K2＝≈7.8.‎ P(K2≥6.635)＝0.01＝1－99%，∴有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”，故选A.‎ 答案：A ‎　　12.独立性检验与概率交汇综合问题的答题模板 ‎【典例】　(12分)(2018·保定调研)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：‎ 喜欢“应用统计”课程 不喜欢“应 用统计”课程 总计 男生 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女生 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 总计 ‎30‎ ‎25‎ ‎55‎ ‎(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？‎ ‎(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．‎ 下面的临界值表供参考：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.25‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)‎ ‎[规范解答]　(1)由公式K2＝≈11.978>7.879，(3分)‎ 所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关．(6分)‎ ‎(2)设所抽样本中有m个男生，则＝，得m＝4，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作B1，B2，B3，B4，G1，G2.从中任选2人的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，B4)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，(G1，G2)，共15个，(9分)‎ 其中恰有1个男生和1个女生的事件有(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，共8个．(11分)‎ 所以恰有1个男生和1个女生的概率为.(12分)‎ ‎[模板形成]　‎ ‎↓‎ ‎↓‎ ‎↓‎ ‎↓‎ ‎[跟踪练习]　某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据见下表所示：‎ 参加社团活动 不参加社团活动 合计 学习积极性高 ‎17‎ ‎8‎ ‎25‎ 学习积极性一般 ‎5‎ ‎20‎ ‎25‎ 合计 ‎22‎ ‎28‎ ‎50‎ ‎(1)如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？‎ ‎(2)运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．‎ 附：K2＝；其中n＝a＋b＋c＋d.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 解：(1)随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是＝；‎ 抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是＝.‎ ‎(2)因为K2＝＝≈11.688>10.828，‎ 所以大约有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．‎ A组　考点能力演练 ‎1．根据如下样本数据得到的回归方程为＝x＋，则(　　)‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎－0.5‎ ‎0.5‎ ‎－2.0‎ ‎－3.0‎ A.>0，>0　　　　　　 B.>0，<0‎ C.<0，>0 D.<0，<0‎ 解析：把样本数据中的x，y分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy中作出散点图(图略)，由图可知<0，>0.故选B.‎ 答案：B ‎2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，‎ 则由该观测数据算得的线性回归方程可能为(　　)‎ A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4‎ C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4‎ 解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D.且直线必过点(3,3.5)，代入A，B得A正确．‎ 答案：A ‎3．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：‎ 做不到“光盘”‎ 能做到“光盘”‎ 男 ‎45‎ ‎10‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ 附表及公式 P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.‎ 则下面的正确结论是(　　)‎ A．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ 解析：由2×2列联表得到a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，则a＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100，计算得K2的观测值k0＝≈3.030.因为2.706<3.030<3.841，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选A.‎ 答案：A ‎4．根据如下样本数据：‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ y ‎4.0‎ a－5.4‎ ‎－0.5‎ ‎0.5‎ b－0.6‎ 得到的回归方程为＝x＋.若样本点的中心为(5，0.9)，则当x每增加1个单位时，y就(　　)‎ A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位 C．增加7.9个单位 D．减少7.9个单位 解析：依题意得，＝0.9，故＋＝6.5①；又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5＋②，联立①②，解得＝－1.4，＝7.9，则＝－1.4x＋7.9，可知当x每增加1个单位时，y就减少1.4个单位，故选B.‎ 答案：B ‎5．已知x与y之间的几组数据如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)‎ A.>b′，>a′ B.>b′，a′ D.a′.‎ 答案：C ‎6．(2018·忻州联考)已知x，y的取值如下表：‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ 从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为＝1.46x＋，则实数的值为________．‎ 解析：＝＝3.5，＝＝4.5，回归方程必过样本的中心点(，)．把(3.5,4.5)代入回归方程，计算得＝－0.61.‎ 答案：－0.61‎ ‎7．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 总计 男生 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女生 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 则在犯错误的概率不超过________的前提下认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示).‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解析：K2＝ ‎＝≈8.333>7.879.‎ 答案：0.5%‎ ‎8．已知下表所示数据的回归直线方程为＝4x＋242，则实数a＝________.‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎251‎ ‎254‎ ‎257‎ a ‎266‎ 解析：回归直线＝4x＋242必过样本点的中心点(，)，而＝＝4，＝＝，∴＝4×4＋242，解得a＝262.‎ 答案：262‎ ‎9．(2018·东北三校联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)‎ ‎(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：‎ 主食蔬菜 主食肉类 合计 ‎50岁以下 ‎50岁以上 合计 ‎(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．‎ 解：(1)2×2列联表如下：‎ 主食蔬菜 主食肉类 合计 ‎50岁以下 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎50岁以上 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 合计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎(2)因为K2＝＝10>6.635，‎ 所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．‎ ‎10．(2018·高考重庆卷)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2018‎ ‎2018‎ ‎2018‎ 时间代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 储蓄存款y(千亿元)‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎(1)求y关于t的回归方程＝t＋；‎ ‎(2)用所求回归方程预测该地区2018年(t＝6)的人民币储蓄存款．‎ 附：回归方程＝t＋中，‎ ＝，＝－.‎ 解：(1)列表计算如下 i ti yi t tiyi ‎1‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎12‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎21‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎25‎ ‎32‎ ‎50‎ ‎∑‎ ‎15‎ ‎36‎ ‎55‎ ‎120‎ 这里n＝5，＝ti＝＝3，＝yi＝＝7.2.‎ 又ltt＝t－n2＝55－5×32＝10，lty＝tiyi－n ＝120－5×3×7.2＝12，‎ 从而＝＝＝1.2，＝－＝7.2－1.2×3＝3.6，‎ 故所求回归方程为＝1.2t＋3.6.‎ ‎(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2018年的人民币储蓄存款为＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．‎ B组　高考题型专练 ‎1．(2018·高考福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入x(万元)‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出y(万元)‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎9.8‎ 根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)‎ A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 解析：∵＝10.0，＝8.0，＝0.76，∴＝8－0.76×10＝0.4，∴回归方程为＝0.76x＋0.4，把x＝15代入上式得，＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)，故选B.‎ 答案：B ‎2．(2018·高考北京卷)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．‎ 从这次考试成绩看，‎ ‎(1)在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________；‎ ‎(2)在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．‎ 解析：(1)由题图分析乙的语文成绩名次略比甲的语文成绩名次靠前，但总成绩名次靠后，所以甲、乙两人中语文成绩名次比总成绩靠前的是乙；(2)丙同学的数学成绩名次位于中间稍微靠后，而总成绩名次相对靠后，所以丙同学的语文成绩名次比较靠后，所以丙同学的成绩名次靠前的科目是数学．‎ 答案：乙　数学