内蒙古包头市2020届高三第一次模拟考试数学（理）试题

内蒙古包头市2020届高三第一次模拟考试数学（理）试题

‎2020年普通高等学校招生全国统一考试 ‎（包头市第一次模拟考试）‎ 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号、试卷类型（A或B）涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．‎ ‎2．作答时将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将答题卡交回．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合A，根据交集运算即可求解 ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式，集合的交集，属于容易题.‎ ‎2.已知是虚数单位，若，则（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数模的性质计算即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ ‎，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.‎ ‎3.设等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. 23 B. ‎25 ‎C. 28 D. 29‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可求，再求公差，再求解即可.‎ ‎【详解】解：是等差数列 ‎，又，‎ 公差为，‎ ‎，‎ 故选：D ‎【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.‎ ‎4.曲线在点处的切线方程为，则（ ）‎ A. B. C. 4 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数导数，利用切线斜率求出，根据切线过点求出即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 故，‎ 解得，‎ 又切线过点，‎ 所以，解得，‎ 所以，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.‎ ‎5.当时，函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由，解得，即或，函数有两个零点，，不正确，设，则，由，解得或，由，解得：，即是函数的一个极大值点，不成立，排除，故选B.‎ ‎【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.‎ 解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.‎ ‎6.已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ）‎ A 圆，但要去掉两个点 B. 椭圆，但要去掉两个点 C. 双曲线，但要去掉两个点 D. 抛物线，但要去掉两个点 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.‎ ‎【详解】,，‎ ‎,‎ 又，,‎ 平面,又平面 ‎，‎ 故在以为直径的圆上，‎ 又是内异于的动点，‎ 所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.‎ ‎7.小张家订了一份报纸，送报人可能在早上之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为，小张离开家的时间为，看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件的概率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.‎ ‎【详解】解：事件发生，需满足，即事件应位于五边形内，作图如下：‎ 故选：D ‎【点睛】考查几何概型，是基础题.‎ ‎8.在中，为边上的中线，为的中点，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的线性运算可得,利用及，计算即可.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以 ‎，‎ 所以，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.‎ ‎9.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据： ）‎ A. 48 B. ‎36 ‎C. 24 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由开始，按照框图，依次求出s，进行判断．‎ ‎【详解】‎ ‎ ，故选C.‎ ‎【点睛】框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键．‎ ‎10.已知是双曲线的左、右焦点，是的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为等腰三角形，可求出点P的坐标，又由的斜率为可得出关系，即可求出渐近线斜率得解.‎ ‎【详解】如图，‎ 因为为等腰三角形，，‎ 所以，,‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ 解得，‎ 所以双曲线的渐近线方程为，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.‎ ‎11.棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连结并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，推导出OH∥RQ，且OH＝RQ＝，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长．‎ ‎【详解】如图，‎ MN为该直线被球面截在球内的线段 连结并延长PO，交对棱C1D1于R，‎ 则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，‎ ‎∴OH∥RQ，且OH＝RQ＝，‎ ‎∴MH＝＝＝，‎ ‎∴MN＝．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎12.设是定义域为的偶函数，且在单调递增，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的性质，比较即可.‎ ‎【详解】解：‎ 显然，所以 是定义域为的偶函数，且在单调递增，‎ 所以 故选：C ‎【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，13～15题每题5分，16题第一问2分，第二问3分，共20分．‎ ‎13.已知多项式的各项系数之和为32，则展开式中含项的系数为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令可得各项系数和为，得出,根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含一次项的积与第一个因式展开式含x的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含项，可得解.‎ ‎【详解】令，‎ 则得，‎ 解得，‎ 所以展开式中含项为：，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数和，二项展开式特定项，赋值法，属于中档题.‎ ‎14.已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，若，则直线的方程为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线l的方程为，，联立直线l与抛物线C的方程，得到A，B点横坐标的关系式，代入到中，解出t的值，即可求得直线l的方程 ‎【详解】设直线．‎ 由题设得，故，‎ 由题设可得． 由可得， ‎ 则，‎ 从而，得，‎ 所以l的方程为,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线的方程，抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.‎ ‎15.若函数在和上均单调递增，则实数的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数，求出在上的单调递增区间，然后根据在和上均单调递增，列出不等式求解即可．‎ ‎【详解】由知，‎ 当时，在和上单调递增，‎ 在和上均单调递增，‎ ‎， ， 取值范围为：． ‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，关键是根据函数的单调性列出关于m的方程组，属中档题．‎ ‎16.分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：记图乙中第行黑圈的个数为，则（1）_______；（2）______．‎ ‎ ‎ ‎【答案】 (1). 13 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察图形，归纳规律，得到结论.‎ ‎【详解】根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈， 第一行记为，第二行记为，第三行记为，第四行的白圈数为；黑圈数为， 第四行的“坐标”为； 第五行的“坐标”为， 各行白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即，，，，， 第n行的白圈数为，黑圈数为白圈数减1，即．‎ 故答案为：13，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，多观察几组数据是发现规律的有效方法，属于难题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17.在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）已知外接圆半径,求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）3+3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周长．‎ ‎【详解】（1） ‎ ‎ ，‎ 即 ‎ 又 ‎ ‎（2） , ‎ ‎∵，‎ ‎∴由余弦定理得 a2＝b2+c2﹣2bccosA， ‎ ‎∴， ‎ ‎∵c＞0，所以得c=2, ‎ ‎∴周长a+b+c=3+3．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．‎ ‎18.如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据菱形的特征和题中条件得到平面，结合线面垂直的定义和判定定理即可证明； 2建立空间直角坐标系，利用向量知识求解即可．‎ ‎【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 平面 平面，‎ 又是的中点，‎ ‎，‎ 又 平面 ‎（2）‎ ‎∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角．‎ 平面，‎ ‎∴直线与平面所成的角为，即．‎ 因为，则在等腰直角三角形中，‎ 所以．‎ 在中，由得，‎ 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系．‎ 则 所以 设平面的一个法向量为，‎ 则，可得，‎ 取平面的一个法向量为，‎ 则，‎ 所以二面角的正弦值的大小为．‎ ‎（注：问题（2）可以转化为求二面角的正弦值，求出后，在中，过点作的垂线，垂足为，连接，则就是所求二面角平面角的补角，先求出，再求出，最后在中求出．）‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题．‎ ‎19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：‎ 等级 不合格 合格 得分 频数 ‎6‎ ‎24‎ ‎（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；‎ ‎（2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；‎ ‎（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望．‎ ‎【答案】（1）64，65；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图及其性质可求出，平均数，中位数；‎ ‎（2）设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件，由条件概率公式可求出；‎ ‎（3）从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生数为，“合格”的学生数为6；由题意可得，5，10，15，20，利用“超几何分布”的计算公式即可得出概率，进而得出分布列与数学期望．‎ ‎【详解】由题意知，样本容量为，‎ ‎．‎ ‎（1）平均数为，‎ 设中位数为，因为，所以，则，‎ 解得．‎ ‎（2）由题意可知，分数在内的学生有24人，分数在内的学生有12人．设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件，‎ 则，所以．‎ ‎（3）在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取10人，则“不合格”的学生人数为，“合格”的学生人数为．‎ 由题意可得的所有可能取值为0,5,10,15,20．‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质、分层抽样、超几何分布列及其数学期望，考查了计算能力，属于中档题．‎ ‎20.已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，且与短轴两端点的连线相互垂直.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若圆上存在两点，，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）又题意知，，及即可求得，从而得椭圆方程.‎ ‎（2）分三种情况：直线斜率不存在时，的斜率为0时，的斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立方程组，用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可.‎ ‎【详解】（1）由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知，，‎ ‎∵过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ 又，解得.‎ ‎∴椭圆的方程为 ‎（2）由（1）可知圆的方程为，‎ ‎（i）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0，‎ 此时 ‎（ii）当直线的斜率为零时，.‎ ‎（iii）当直线的斜率存在且不等于零时，设直线的方程为，‎ 联立，得，‎ 设的横坐标分别为，则.‎ 所以，‎ ‎（注：的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.）‎ 由可得直线的方程为，联立椭圆的方程消去，‎ 得 设的横坐标为，则.‎ ‎.‎ 综上，由（i）（ii）（ⅲ）得的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆方程是基础；通过联立直线方程与椭圆方程建立方程组，应用一元二次方程根与系数，得到目标函数解析式，运用函数知识求解；本题是难题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）若函数在上单调递增，求实数的值；‎ ‎（2）定义：若直线与曲线都相切，我们称直线为曲线、的公切线，证明：曲线与总存在公切线．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导数，问题转化为在上恒成立，利用导数求出的最小值即可求解；‎ ‎（2）分别设切点横坐标为，利用导数的几何意义写出切线方程，问题转化为证明两直线重合，只需满足有解即可，利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.‎ ‎【详解】（1），‎ 函数在上单调递增等价于在上恒成立．‎ 令，得，‎ 所以单调递减，在单调递增，则．‎ 因为，则在上恒成立等价于在上恒成立；‎ 又 ‎，‎ 所以，即．‎ ‎（2）设的切点横坐标为，则 切线方程为……①‎ 设的切点横坐标为，则，‎ 切线方程为……②‎ 若存在，使①②成为同一条直线，则曲线与存在公切线，由①②得消去得 即 令，则 所以，函数在区间上单调递增，‎ ‎，使得 时总有 又时，‎ 在上总有解 综上，函数与总存在公切线．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，导数的几何意义，利用导数证明方程有解，属于难题.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按照所做的第一题记分．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，直线的参数方程为（为参数）.直线 与曲线交于，两点．‎ ‎（I）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）；‎ ‎（II）设，若，，成等比数列，求的值．‎ ‎【答案】（I），；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程；（II）联立直线的参数方程和C的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.‎ ‎【详解】（I）曲线：，两边同时乘以 可得，化简得）；‎ 直线的参数方程为（为参数），可得 x-y=-1，得x-y+1=0；‎ ‎（II）将（为参数）代入并整理得 韦达定理： ‎ 由题意得 即 ‎ 可得 ‎ 即 ‎ 解得 ‎【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题.‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，解关于的不等式；‎ ‎（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）分类讨论去绝对值号，然后解不等式即可.‎ ‎（2）因为对任意，都存在，使得不等式成立，等价于，根据绝对值不等式易求，根据二次函数易求，‎ 然后解不等式即可.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，则 当时，由得，，解得；‎ 当时，恒成立；‎ 当时，由得，，解得.‎ 所以的解集为 ‎（2）对任意，都存在，得成立，等价于.‎ 因为，所以，‎ 且|‎ ‎，①‎ 当时，①式等号成立，即.‎ 又因为，②‎ 当时，②式等号成立，即.‎ 所以，即 即的取值范围为：.‎ ‎【点睛】知识：考查含两个绝对值号的不等式的解法；恒成立问题和存在性问题求参变数的范围问题；能力：分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；中档题.‎ ‎ ‎