江苏省常州市2019-2020学年高二下学期期中联盟考试数学试卷

江苏省常州市2019-2020学年高二下学期期中联盟考试数学试卷

江苏省常州市2019-2020‎ 高二下学期期中联盟考试数学试卷 ‎ 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。‎ 1. 已知复数满足，则复数为 A． B． C． D．‎ ‎2. 函数的导数是 A． B． C． D．‎ ‎3. 从5名男生和4名女生中，选两人参加歌唱比赛，恰好选到一男一女的概率是 A． B． C． D．‎ ‎4. 展开式中的常数项为 A．80 B．-80 C．270 D．-270‎ 5. 已知随机变量服从正态分布，若，则 A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5‎ 6. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围 A． B． C． D．‎ ‎7. 用0，1，2，…，8这九个数字组成无重复数字的三位数的个数是 A． B． C． D．‎ ‎8. 若函数在区间内有且仅有一个零点，则在区间 上的最大值为 A．4 B．10 C．16 D．20‎ 一、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是 符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ 9. 若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为 A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 ‎10. 下列等式中，正确的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎11. 在平面直角坐标系中，点在曲线上，则点到直线的 距离可以为 A． B． C． D．‎ ‎12. 4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛）,任两支球队之间胜率都是.‎ 单循环比赛结束,以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序,成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是 A.恰有四支球队并列第一名为不可能事件 B.有可能出现恰有三支球队并列第一名 C.恰有两支球队并列第一名的概率为 D.只有一支球队名列第一名的概率为 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卷中的横线上。‎ 13. 曲线在点处的切线方程为________.‎ 14. 在复平面内，若复数满足，则的最大值为________.‎ ‎15．设随机变量的概率分布列如下表所示：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 其中，，成等差数列，若随机变量的均值为，则的方差为_________．‎ 16. 已知函数，，其中为自然对数的底数，若函数与函数的图像有两个交点，则实数的取值范围是________.‎ 四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（10分）‎ 已知复数（，是虚数单位）.‎ ‎（1）若是纯虚数，求实数的值；‎ ‎（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.‎ ‎18.（12分）‎ 在箱子中有10个小球,其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：‎ ‎（1）取出的3个球中红球的个数的分布列；‎ ‎（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．‎ ‎19.（12分）‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）已知，且.求的值.‎ ‎20.（12分）‎ 已知函数.(是自然对数的底数，)‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设函数，求证：当时，.‎ ‎21.（12分）‎ 某工厂生产了一批高精尖的仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家检测仪器的可靠性，毎台仪器被毎位专家评议为“可靠”的概率均为，且每台仪器是否可靠相互独立.‎ ‎（1）当，现抽取4台仪器，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列和数学期望；‎ ‎（2）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测.若三位专家检测结果都为不可靠，则仪器报废.其余情况，仪器需要回厂返修.拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费.现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算3.3万元用于检测和维修，问费用是否有可能会超过预算？并说明理由．‎ ‎22.（12分）‎ 已知，函数，函数.‎ ‎（1）当函数图像与轴相切时，求实数的值；‎ ‎（2）若函数对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，讨论函数在区间上的零点个数.‎ 数学试卷答案 一、 单选题 1. B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.B 8.D ‎ 二、 多选题 ‎ ‎9.CD 10.ABD 11.CD 12.ABD ‎ 三、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 四、解答题 ‎17.（1），…………………………………………………………2分 因为为纯虚数，所以，解得.…………………………………………………4分 （2） 因为是的共轭复数，所以，‎ 所以.………………………………………………………………………6分 因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，所以 ‎，解得.……………………………………………………………………10分 ‎18.（1）题意知的所有可能取值为，，，，且服从参数为，， 的超几何分布，‎ 因此 ．……………………………………………………………1分 所以 ， ‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎． …………………………………………………………………………4分 故 的分布列为 :‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎……………………………………………………………………6分 ‎（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件，“恰好取出个红球和个黑球”‎ 为事件，“恰好取出个红球”为事件，“恰好取出个红球”为事件,…………… 7分 由于事件，，彼此互斥，且，‎ 而，，，…………10分 所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：‎ ‎.……………………………………………11分 答 取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为.……………………………………12分 ‎19.（1）由题得，‎ ‎ 化简得，即，所以.……………………………4分 ‎ 因为，且 ‎ 所以不等式的解集为.…………………………………………………………………… …6分 ‎（2）二项式展开中的系数为，所以，‎ ‎ 化简得，即，‎ 因为，所以.……………………………………………………………………………8分 所以，‎ 当①‎ 当，②……………………………………10分 ‎①+②得，所以.…………………12分 ‎20.(1)由题得函数的定义域为，………………………………………………1分 化简得.‎ 令，解得或，所以单调增区间为，，‎ 令，解得或，所以单调减区间为，，‎ 综上的单调增区间为，，单调减区间为，.…………4分 ‎（2），即，‎ 令，令得.……………………………………………6分 列表 ‎-‎ ‎+‎ 极小值 所以当时，最小值为，……………………………………………10分 所以.‎ 因为当时，，所以，得证.……………………12分 21. ‎（1）题意知的所有可能取值为，，，，4，且服从参数为的二项分布，所以……………………………………………………………1分 ‎，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.………………………………………………………………………………3分 故 的分布列为 :‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 从而.………………………………………………………………………………………5分 ‎（2）设每台仪器所需费为X元，则X的可能取值为100，400．‎ ‎，.‎ 所以=，‎ 化简得，…………………………………………………………8分 令，‎ ‎，解得，‎ 当，，在单调递增，‎ 当，，在单调递减，‎ 所以当时，的最大值为.……………………………………………10分 实施此方案，最高费用为元33000元，不会超过预算.…………11分 答 （1）的数学期望为.（2）若以此方案实施，不会超过预算.………………12分 ‎22.（1）由题得设切点，，‎ 所以，,解得.…………………2分 ‎（2），，‎ 因为在单调递增，所以在单调递增，‎ 所以.‎ 当，，在单调递增，‎ 所以恒成立，所以.……………………………………………………4分 当，，易证，所以，‎ 当，.‎ 所以，使得，‎ 当，，在单调递减，‎ 所以时，，与矛盾舍.…………………………………6分 综上 .……………………………………………………………………………………7分 ‎（3），，显然在单调递减.‎ 当时，，因为，所以，‎ 所以在单调递增.‎ ‎，所以在区间内无零点.………………………………………8分 ‎ 当时，，，‎ 所以，，‎ 所以存在唯一，使得.‎ 所以在区间有1个零点.…………………………………………………………9分 当时，，在单调递减，‎ 所以存在唯一，使得,‎ 当，，单调递增，‎ 当，，单调递减，‎ 所以当时，最大值为，‎ 代入得，，‎ 因为，所以，故，‎ 所以,在在区间内无零点.…………………………………11分 综上，当时，在区间有1个零点，‎ 当时，在区间内无零点.…………………………………………12分