2017-2018学年山东省单县第五中学高二上学期第三次月考数学（理）试题
山东省单县第五中学 2017-2018 学年高二上学期第三次月考
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“若 且 ，则 ”的否命题是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 且 ，则
C．若 至少有一个不大于 0，则
D．若 至少有一个小于或等于 0，则
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3．不等式 的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
4．命题 ：在 中， 是 的充要条件；命题 ： 是
的成分不必要条件，则（ ）
A． 真 假 B． 假 假 C．“ 或 ”为假 D．“ 且 ”为真
5．设命题 ： ，则 为（ ）
A． B． C．
D．
6． 是方程 表示椭圆的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
0>x 0>y 0>xy
0≤x 0≤y 0>xy
0>x 0>y 0≤xy
yx, 0
a 12 >a
0352 2 <−− xx
32
1 <<− x 02
1 <<− x 2
13 <<− x 61 <<− x
p ABC∆ BC ∠>∠ BC sinsin > q ba >
22 bcac >
p q p q p q p q
p nnNn 2, 2 >∈∃ p¬
nnNn 2, 2 >∈∀ nnNn 2, 2 ≤∈∃ nnNn 2, 2 ≤∈∀
nnNn 2, 2 =∈∃
62 << m 162
22
=−+− m
y
m
x
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知 是椭圆 的两焦点，过点 的直线交椭圆于 两点，在
中，若有两边之和是 10，则第三边的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．方程 表示的曲线是（ ）
A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线
C．一条直线 D．一个圆
9．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在该椭圆上，且
，则点 到 轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，一圆形纸片的圆心为 ， 是圆内一定点， 是圆周上一动点，把纸片折
叠使 与 重合，然后抹平纸片，折痕为 ，设 与 交于点 ，则点 的轨迹
是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
11．已知 是抛物线 的焦点， 是该抛物线上的两点， ，则线
段 的中点到 轴的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
12．若直线 和圆 ： 相离，则过点 的直线与椭圆
的交点个数为（ ）
A．至多一个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
21,FF 1916
22
=+ yx
2F BA, BAF1∆
03)2( 22 =−+−+ yxxyx
14
2
2
=+ yx
21,FF M
021 =⋅ MFMF M y
3
32
3
62
3
3 3
O F M
M F CD CD OM P P
P xy =2 BA, 3|||| =+ BFAF
AB y
4
3
4
5
4
7
4=+ nymx O 422 =+ yx ),( nm
149
22
=+ yx
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．若命题“ 使 ”是假命题，则实数 的取值范围为 ．
14．设椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， 是 上的点，
， ，在 的离心率为 ．
15．已知椭圆 上一点 到左焦点 的距离为 6， 是 的中点，则
.
16．如图，已知过双曲线 的右顶点 作一个圆，该圆与其渐近线
交于点 ，若 ， ，则该双曲线的离心率为 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．）
17．已知命题 ：函数 是 上的减函数；命题 ：在 时，不等
式 恒成立，若 是真命题，求实数 的取值范围.
18．设命题 ：实数 满足 ，其中 ；命题 ：实数 满足
（1）若 且 为真，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
19．设命题 ： ，函数 有意义；命题 ： ，不等
式 恒成立，如果命题“ 或 ”为真命题，命题“ 且 ”为假命题，求
实数 的取值范围.
Rx∈∃ 012 <++ axx a
C )0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
21,FF P C
212 FFPF ⊥ 0
21 30=∠ FPF C
1925
22
=+ yx M 1F N 1MF
=|| ON
)0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x
2A
0=− aybx QP, 0
2 90=∠ QPA ||2|| OPPQ =
p xaxf )52()( −= R q )2,1(∈x
022 <+− axx qp ∨ a
p x 034 22 <+− aaxx 0>a q x 02
3 ≤−
−
x
x
1=a qp ∧ x
p¬ q¬ a
p Rx∈∀ )16
1lg()( 2 axaxxf +−= q 0>∀x
axx +<+ 112 p q p q
a
20.已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于 ，
（ ）两点，且 .
（1）求该抛物线的方程；
（2） 为坐标原点， 为抛物线上一点，若 ，求 的值.
21．已知 分别是椭圆 ： 的左右焦点， 是椭圆 的上顶点，
是直线 与椭圆 的另一个交点， .
（1）求椭圆 的离心率；
（2）已知 的面积为 ，求 的值.
22．已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，左、右焦点分别为
， .
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 ： 与椭圆交于 两点，与以 为直径的圆交于 两点，
且满足 ，求直线 的方程.
)0(22 >= ppxy 22 ),( 11 yxA
),( 22 yxB 21 xx < 9|| =AB
O C OBOAOC λ+= λ
21,FF C )0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x A C
B 2AF C 0
21 60=∠ AFF
C
BAF1∆ 340 ba,
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x )3,0( 2
1
)0,(1 cF − )0,(2 cF
l mxy +−=
2
1 BA, 21FF DC,
4
35
||
|| =
CD
AB l
试卷答案
一、选择题
1-5：DABAC 6-10：BDCBA 11、12：CB
二、填空题
13． 14． 15．2 16．
三、解答题
17．解：若命题 为真命题，则函数 是 上的减函数,
∴ ，∴
若命题 为真命题，则在 时，不等式 恒成立，
令 ，由条件知 ，
∴ ，∴
∵ 是真命题，∴ 或 ，即 .
18.解：(1)由 得 ，
又 ，所以 ，
当 时， ，即 为真时实数 的取值范围为 .
为真时实数 的取值范围是 ，
若 为真，则 真 真，所以实数 的取值范围是 .
（2） 是 的充分不必要条件，即 ，
等价于
22 ≤≤− a 3
3
2
5
p xaxf )52()( −= R
1520 <−< a 32
5 << a
q )2,1(∈x 022 <+− axx
2)( 2 +−= axxxg
≤
≤
0)2(
0)1(
g
g
≤+−
≤+−
0224
021
a
a 3≥a
qp ∨ 32
5 << a 3≥a 2
5>a
034 22 <+− aaxx 0))(3( <−− axax
0>a axa 3<<
1=a 31 << x p x 31 << x
q x 32 << x
qp ∧ p q x 32 << x
p¬ q¬ ⇒¬p q¬
pq ⇒
设 ， ，则 是 的真子集；
则 ，且 所以实数 的取值范围是 .
19、若命题 为真命题，则 对任意 均成立，
当 时，显然不符合题意，
故 ，解得
所以命题 为真
若命题 为真命题，则不等式 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立
而函数 在 为减函数，
所以 ，即
所以命题 为真
因为命题“ 或 ”为真命题，命题“ 且 ”为假命题，
所以命题 与 中一个是真命题，一个是假命题，
当 为真命题， 为假命题时， 的值不存在；
当 为真命题， 为假命题时，
综上知，实数 的取值范围是 .
20、（1）直线 的方程是 ，与 联立，
从而有 ，所以 ，
由抛物线定义得 ，
所以 ，从而抛物线方程为 .
（2）由于 ， 可化简为 ，
}3|{ axaxA <<= }32|{ <<= xxB B A
20 << a 33 >a a 21 ≤< a
p 016
12 >+− axax Rx∈
0=a
>−=∆
>
04
11
0
2a
a
2>a
p 2>⇔ a
q axx +<+ 112 0>x
112
2
)112(
2112
++
=
++
=−+>
xxx
x
x
xa 0>x
112
2)( ++
=
x
xf ),0( +∞
)1,0()( ∈xf 1≥a
q 1≥⇔ a
p q p q
p q
p q a
q p )2,1[∈a
a )2,1[
AB )2(22 pxy −= pxy 22 =
054 22 =+− ppxx 4
5
21
pxx =+
9
4
5|| 21 =+=++= pppxxAB
4=p xy 82 =
4=p 054 22 =+− ppxx 0452 =+− xx
从而 ， ，
从而
设 ，则 ，
又 ，即 ，
即 ，解得 或 .
21.解：（1）∵ ,∴
∴
（2）由 知 ， ，
∴椭圆的方程可化为
∵直线 的方程为
由 联立消去 知
设 ，则
∴
点 到直线 的距离
∴ ，
∴ .
从而 ， .
22、（1）由题设知 解得 ，
4,1 21 == xx 24,22 21 =−= yy
)24,4(),22,1( BA −
),( 33 yxC )2224,14()24,4()22,1(),( 33 −+=+−== λλλyxOC
3
2
3 8xy = )14(8)]12(22[ 2 +=− λλ
14)12( 2 +=− λλ 0=λ 2=λ
0
21 60=∠ AFF 0
2 30=∠OAF
2
130sin 0
2
2 ====
AF
OF
a
ce
2
1=e ca 2= cb 3=
134 2
2
2
2
=+
c
y
c
x
AB )(3 cxy −−=
=+
−−=
134
)(3
2
2
2
2
c
y
c
x
cxy
y 085 2 =− cxx
),(),,( 2211 yxByxA 5
8,0 21
cxx ==
5
16))(31(|| 2
21
cxxAB =−+=
1F AB cd 3=
340
5
38||
2
1 2
1
===∆ cdABS BAF
5=c
102 == ca 353 == cb
−=
=
=
222
2
1
3
cab
a
c
b
1,3,2 === cba
∴椭圆的方程为 .
（2）由（1）知，以 为直径的圆的方程为 ，
∴圆心到直线 的距离 ，由 ，得 （*）
∴
设 ，
由 ，得
由根与系数关系可得 .
∴
由 ，得 ，解得 ，满足（*）
∴直线 的方程为 或 .
134
22
=+ yx
21FF 122 =+ yx
l
5
||2 md = 1
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