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文档介绍
江苏省盐城一中2020届高三六月第三次模拟考试数学试题含附加题
江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第三次模拟考试 数学试题 2020.06.29 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡 相应的位置上．） 1.已知集合 ， ，则 A∪B＝________． 2.若复数满足 ，则在复平面内与复数 对应的点 位于第______象限. 3.袋中共有大小相同的 4 只小球，编号为 1，2，3，4．现从中任取 2 只小球，则 取出的 2 只球的编号之和是奇数的概率为 ． 4.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)， [13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五 组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有 20 人， 则第三组的人数为________． 5.如图是某算法的伪代码，输出的结果 S 的值为________． 6.设向量 a＝(1，－1)，a－2b＝(k－1，2k＋2)，且 a⊥b，则 k＝ _______． 7.已知等比数列 满足 ， ，则 _______． 8.已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ． 9.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一 套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九 章算术 商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为 阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖 臑三而一，验之以棊，其形露矣．”下图解释了这段话中由一个 长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已知如图堑 堵的棱长 ，则鳖臑的外接球的体积为 ． 10.已知函数 ，则不等式 的解集是 ． 11.函数 的图像向右平移 得到函数 的图像，则 在 上的增区间 为 ． 2 2y x= ± }31|{ <<= xxA }42|{ <<= xxB (2 ) 5i z+ = z Z { }na 82 =a 144 453 −= aaa =3a 2 2 14 x y m − = m = 1,1,2 === cba 2)( xxf = 2( 2) ( )f x f x− > xxy 2cos2sin += 6 π ( )y f x= ( )f x 2,0 π 12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时， ．若关于 x 的方程 f(x)＝m 有解，则实 数 m 的取值范围是 ． 13.在△ABC 中， 当 取最大值时，△ABC 内切圆的半径为 ___. 14.已知函数 是定义域为 的偶函数，当 时， 若关于 的方程 有且仅有 8 个不同的实数根，则实数 的取值范围 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.） 15.（本题满分 14 分） 在 锐 角 中 ， 已 知 内 角 、 、 所 对 的 边 分 别 为 、 、 ， 向 量 ，且向量 , 共线． （1）求角 的大小； （2）如果 ，求 的面积 的最大值． x xxf e 1)( −= cos cos 3, 2 3.A B AB+ = = sin sinA B+ )(xfy = R 0≥x >− − ≤≤− = ,2,4 3 2 1 ,20,4 1 )( 2 x xx xf x x [ ] Raaxafxf ∈=++ ,016 7)()( 2 a ABC∆ A B C a b c 2(2sin( ), 3), cos2 ,2cos 12 Bm A C n B = + = − m n B 1b = ABC∆ ABCS∆ 16.（本题满分 14 分） 如图，矩形 所在平面与直角三角形 所在平面互相垂直， ，点 分别是 的中点． （1）求证： ∥平面 ； （2）求证：平面 平面 ． ABCD ABE BEAE ⊥ NM , CDAE, MN BCE ⊥BCE ADE N M A D B C E 17. （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， 已知 和 都在椭圆上. （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的直线 与椭圆 相交于 两点，且 ，求直线 的方程． 18. （本小题满分 16 分） 某房地产商建有三栋楼宇 ，三楼宇间的距离都为 2 千米，拟准备在此三楼宇围成的区域 外建第四栋楼宇 ，规划要求楼宇 对楼宇 ， 的视角为 ，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不 计． xOy 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > 1 2( ,0) ( ,0)F c F c− 、 )2 2,1( )2 3,2 2( C 2F l C ,P Q 2 1 1 2 2 4QPF F F F QF⋅ + ⋅ = l , ,A B C ABC D D B C 120° （1）求四栋楼宇围成的四边形区域 面积的最大值； （2）当楼宇 与楼宇 ， 间距离相等时，拟在楼宇 ， 间建休息亭 ，在休息亭 和楼宇 ， 间分别铺设鹅卵石路 和防腐木路 ，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为 ， （单 位：元千米， 为常数）．记 ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费 用的最小值． 19. （本小题满分 16 分） 已知等差数列 和等比数列 的各项均为整数，它们的前 项和分别为 ，且 ， . （1）求数列 ， 的通项公式；（2）求 ； （3）是否存在正整数 ，使得 恰好是数列 或 中的项？若存在，求出所有满足条件的 的值；若不存在，说明理由. ABDC D B C A B E E A D EA ED a 2a a BDE θ∠ ＝ { }na { }nb n ,n nS T 1 12 2b a= = 2 3 2 254, 11b S a T= + = { }na { }nb 1 1 2 2 3 3n n nM a b a b a b a b= + + + + m 1m m m m S T S T ++ + { }na { }nb m 20.（本题满分 16 分） 已知 ， ，其中常数 ． （1）当 时，求函数 的极值； （2）若函数 有两个零点 ，求实数 的范围； （3）设 ，在区间 内是否存在区间 ，使函数 在区间 的值域也是 ？请给出结论，并说明理由. ( )H x ( ) lnxf x a x a= − −e xexg x −=)( 0a > a = e ( )f x )()( xfxgy −= 1 2 1 2, (0 )x x x x< < a 2( ) ( 1) ( ( ) )H x x g x x= − + (1, )+∞ [ , ]( 1)m n m > [ , ]m n [ , ]m n 江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第三次模拟考试 数学试题 2020.06.29 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21．【选做题】本题共 2 小题，每小题 10 分共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． A．选修 4—2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵 ，若 ，求矩阵 的特征值．3 2 aA d = 1 8 2 4A = A B．选修 4—4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 轴的正半轴重合．已知圆 O： 和直线 l： (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． 22.（本小题满分 10 分） 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 个球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球 x cos sinρ θ θ＝ ＋ 2sin( )4 2 πρ θ − ＝ ， 1 7 在每一次被取出的机会是等可能的，用 ξ 表示取球终止所需要的取球次数．(1) 求袋中原有白球的个数；(2) 求随机变量 ξ 的概率分布和数学期望. 23.（本小题满分 10 分） 如图，已知抛物线 焦点为 ，过 上一点 作切线 ，交 轴于点 ，过点 作直线 交 于点 . （1）证明： ； （2）设直线 ， 的斜率为 ， 的面积为 ，若 ，求 的最小值. 2: 4r y x= F r 0 0 0( , )( 0)x y y > 1l x T T 2l r ( )1 1 2 2, )( , ,B C xx yy 2 1 2 0y y y=⋅ AB AC 1 2,k k ABC S 1 2 2k k⋅ = − S AF 江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第三次模拟考试 数学试题 2020.06.29 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡 相应的位置上．） 1.已知集合 ， ，则 A∪B＝________． 【答案】 【解析】本题考查的是集合的并集合运算，利用并集运算的定义不难得到 A∪B＝ 2.若复数满足 ，则在复平面内与复数 对应的点 位于第______象限. 【答案】四 【解析】因为 ，所以在复平面内与复数 对应的点 为 ，复数 对应的点 位于第 四象限. 3.袋中共有大小相同的 4 只小球，编号为 1，2，3，4．现从中任取 2 只小球，则取出的 2 只球的编号之 和是奇数的概率为 ． 【答案】 【解析】从编号为 1，2，3，4 的 4 只小球中任取 2 只小球共有 ，其中 取出的 2 只球的编号是奇数有 ，所以所求概率为 . 4.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa) 的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到 右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的 频率分布直方图，已知第一组与第二组共有 20 人，则第三组的人数为 }31|{ <<= xxA }42|{ <<= xxB )4,1( )4,1( (2 ) 5i z+ = z Z 5 22z ii = = −+ z Z (2, 1)− z Z 3 2 (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) (1,2),(1,4),(2,3),(3,4) 2 3 ________． 【答案】18 【解析】 5.如图是某算法的伪代码，输出的结果 S 的值为________． 【答案】16 【解析】运用追踪法：初始 ，第一次循环 ；第二次循环 ；第三次循环 ，这时 退出，所以 . 6.设向量 a＝(1，－1)，a－2b＝(k－1，2k＋2)，且 a⊥b，则 k＝ _______． 【答案】 【解析】由 a＝(1，－1)，a－2b＝(k－1，2k＋2)解得 由 a⊥b 得 ，所以得 ，所以得 7.已知等比数列 满足 ， ，则 _______． 【答案】 【解析】由 得 ，所以得 ， ，所以得 8.已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ． 【答案】2 【解析】由双曲线 的渐近线方程为 得 ，所以 9.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一 套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九 章算术 商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不 易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、 “ 阳 马 ”、“ 鳖 臑 ” 的 过 程 ． 已 知 如 图 堑 堵 的 棱 长 ， 则 鳖 臑 的 外 接 球 的 体 积 为 ． 【答案】 【解析】由题意 “鳖臑”的外接球即为“堑堵” 2 2y x= ± 2 2y x= ± 20 (0.24 0.16) 0.36 18÷ + × = 1, 1i S= = 3, 4i S= = 5, 9i S= = 7, 16i S= = 6i ≥ 16S = 5− 3(1 , )2 2 kb k= − − − 0a b⋅ = 31 02 2 k k− + + = 5k = − { }na 82 =a 144 453 −= aaa =3a 2± 144 453 −= aaa 2 4 44 4 1 0a a− + = 4 1 2a = 2 3 2 4 4a a a= = 3 2a = ± 2 2 14 x y m − = m = 2 2 14 x y m − = 22( )4 2 m = 2m = 1,1,2 === cba π6 的外接球，即为长方体的的外接球 所以得 ， 所以得 ，所以 10.已知函数 ，则不等式 的解集是 ． 【答案】 【解析】因为函数 是偶函数且在 上递增，所以得 ，即 或 ，解之得 11.函数 的图像向右平移 得到函数 的图像，则 在 上的增区间 为 ． 【答案】 【解析】 ，所以 由 ，解之得 ，所以 在在 上的 增区间为 . 12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时， ．若关于 x 的方程 f(x)＝m 有解，则实 数 m 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当 时， ，所以 ，所以 ，当 时， ，令 ，所以 ，所以 在 上单调递减，在 上单调 递增，且当 时， ，当 时， ，所以当 时， ， 即 ，由对称性可知，当 时， ，又 ，故当 时， ，若关于 的方程 有解，则 ， 2 2 22 2 1 1 6r = + + = 6 2r = 34 63V r= π = π 2)( xxf = 2( 2) ( )f x f x− > )1,2(− 2( )f x x= (0, )+∞ 2| 2 |x x− > 22x x− > 22x x− < − 2 1x− < < xxy 2cos2sin += 6 π ( )y f x= ( )f x 2,0 π π 24 7,0 sin 2 cos2 2 sin(2 )4y x x x π= + = + ( ) 2 sin[2( ) ] 2 sin(2 )6 4 12f x x x π π π= − + = − 2 2 22 12 2k x k π π π− + π ≤ − ≤ + π 5 7 ( )24 24k x k k z π π− + π ≤ ≤ + π ∈ ( )f x 2,0 π π 24 7,0 x xxf e 1)( −= )1,1(− 0x < 0x >－ ( )( ) ( 1)xf x e x f x− = − − = − ( ) ( 1)xf x e x= + 0x < ( ) ( 2)xf x e x′ = + ( ) 0f x′ = 2x＝－ ( )f x ( ), 2−∞ − ( )2,0− 1x <－ ( ) 0f x < 1 0x< <－ ( ) 0f x > 0x < ( )( 2) 1f f x− ≤ < ( )2 1 1f xe − ≤ < 0x > ( ) 2 11 f x e − < ≤ ( )0 0f ＝ ( ),x∈ −∞ +∞ ( ) ( 1,1)f x ∈ − x ( )f x m= 1 1m< <－ 13.在△ABC 中， 当 取最大值时，△ABC 内切圆的半径为___. 【答案】 【解析】设 ，则 ，所以 ， 当且仅当 时， ，即当 ，即 时 取最大值 ，这时 △ABC 中求得 ，由 解得 . 14.已知函数 是定义域为 的偶函数，当 时， 若关于 的方程 有且仅有 8 个不同的实数根，则实数 的取值范围 ． 【答案】 【解析】当 时， 递减，当 时， 递增，由于函数 是定义 域为 的偶函数， 则函数 在 和 上递减，在 和 上递增， 当 时，函数 取得最大值 ；当 时，函数 取得最小值 ． 当 时， ；当 时， . 要使关于 的方程 ， ，有且仅有 个不同实数根， 设 ，则 的两根均在区间 ． cos cos 3, 2 3.A B AB+ = = sin sinA B+ 332 − sin sint A B= + 2 3 2 2cos( )t A B+ = + − 2 2cos( ) 1 1t A B= − − ≤ A B= max 1t = 3cos cos 2A B= = 6A B π= = sin sinA B+ 1 2a b= = 1 2 1sin ( )2 3 2S ab a b c r π= = + + 2 3 3r = − )(xfy = R 0≥x >− − ≤≤− = ,2,4 3 2 1 ,20,4 1 )( 2 x xx xf x x [ ] Raaxafxf ∈=++ ,016 7)()( 2 a )9 16,4 7( 0 2x≤ ≤ 21 4y x= − 2x > 1 3 2 4 x y = − − ( )y f x= R ( )y f x= ( ), 2−∞ − ( )0,2 ( )2,0− ( )2,+∞ 0x = ( )y f x= 0 2x = ± ( )y f x= 1− 0 2x≤ ≤ [ ]21 1,04y x= − ∈ − 2x > 1 3 31,2 4 4 x y = − − ∈ − − x ( ) ( )2 7 016 af x af x+ + = a R∈ 8 ( )t f x= 2 7 016 at at+ + = 31, 4 − − 则有 ，即为 ，解得 ． 因此，实数 的取值范围是 . 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.） 15.（本题满分 14 分） 在 锐 角 中 ， 已 知 内 角 、 、 所 对 的 边 分 别 为 、 、 ， 向 量 ，且向量 , 共线． （1）求角 的大小； （2）如果 ，求 的面积 的最大值． 【解析】（1）由向量 共线有： 即 ，又 ，∴ ，则 = ，即 （2）由余弦定理得 则 ， ∴ 当且仅当 时等号成立∴ ． 16.（本题满分 14 分） 如图，矩形 所在平面与直角三角形 所在平面互相垂直， ，点 分别是 的中点． （1）求证： ∥平面 ； （2）求证：平面 平面 ． 2 7 04 31 2 4 71 016 9 3 7 016 4 16 aa a aa a a ∆ = − > − < − < − − + > − + > 7 04 3 22 16 9 9 5 a a a a a > < < < < < 或 7 16 4 9a< < a 7 16,4 9 ABC∆ A B C a b c 2(2sin( ), 3), cos2 ,2cos 12 Bm A C n B = + = − m n B 1b = ABC∆ ABCS∆ ,m n 22sin( ) 2cos 1 3 cos2 ,2 BA C B + − = tan 2 3B = 0 2B π< < 0 2B π< < 2B 3 π 6B π= 2 2 2 2 cos ,b a c ac B= + − 2 21 3 (2 3)a c ac ac= + − ≥ − 2 3,ac ≤ + a c= 1 1sin (2 3)2 4ABCS ac B∆ = ≤ + ABCD ABE BEAE ⊥ NM , CDAE, MN BCE ⊥BCE ADE N M A D B C E 【解析】证明：（1）取 中点 ，连接 ， 又∵ 是 中点，∴ ， 又∵ 是矩形 边 中点， ∴ ，∴四边形 是平行四边形， ……………4 分 ∴ ，又 面 ， 面 ，∴ ∥平面 ．…７分 （2）∵平面 平面 ， ，∴ 平面 ，…………9 分 ∵ 平面 ，∴ ， …………10 分 又 ， ，∴ 平面 ， 而 平面 ，∴平面 平面 ． ……………14 分 17. （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， 已知 和 都在椭圆上. （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的直线 与椭圆 相交于 两点，且 ，求直线 的方程． 【解析】（1）椭圆的方程为： （2）由（1）得 ，设 ， ， 且 验证：当直线 的斜率为 0 时， 不符合题意， BE F ,CF MF M AE 1/ / , 2MF AB MF AB= N ABCD CD / / ,MF NC MF NC= MNCF / /MN CF MN ⊄ BCE CF ⊂ BCE MN BCE ABCD ⊥ ABE BC AB⊥ BC ⊥ ABE AE ⊂ ABE BC AE⊥ BEAE ⊥ BC BE B= AE ⊥ BCE AE ⊂ ADE ⊥BCE ADE xOy 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > 1 2( ,0) ( ,0)F c F c− 、 )2 2,1( )2 3,2 2( C 2F l C ,P Q 2 1 1 2 2 4QPF F F F QF⋅ + ⋅ = l 2 2 12 x y+ = 1 2( 1,0), (1,0)F F− ( ) ( )1 1 2 2 , , ,P x y Q x y ( ) ( )2 1 1 1 2 21 , , 1,PF x y FQ x y= − − = + ( )1 2 2 2 2(2,0), 1 ,F F QF x y= = − − 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 24 1 0PF FQ F F QF x x y y x x⋅ + ⋅ = ∴ + + + + = ， l 2 1 1 2 2 5 4PF F F F QQ F⋅ + ⋅ = ≠ 设直线 的方程为 ， 由 ，可得 ． ， ， 直线 的方程为： 18. （本小题满分 16 分） 某房地产商建有三栋楼宇 ，三楼宇间的距离都为 2 千米，拟准备在此三楼宇围成的区域 外建第四栋楼宇 ，规划要求楼宇 对楼宇 ， 的视角为 ，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不 计． （1）求四栋楼宇围成的四边形区域 面积的最大值； （2）当楼宇 与楼宇 ， 间距离相等时，拟在楼宇 ， 间建休息亭 ， 在休息亭 和楼宇 ， 间分别铺设鹅卵石路 和防腐木路 ，如图，已 知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为 ， （单位：元千米， 为常 数）．记 ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值． 【解析】（1）因为三楼宇间的距离都为 2 千米，所以 AB＝AC＝BC＝2，(1 分) 因为楼宇 D 对楼宇 B，C 的视角为 120°，所以∠BDC＝120°，(2 分) 在△BDC 中，因为 BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，(3 分) 所以 22＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos 120 o＝BD2＋CD2＋BD·CD≥2BD·CD＋BD·CD＝3BD·CD， 则 BD·CD≤4 3，(4 分) 当且仅当 BD＝CD 时等号成立，此时∠DBC＝∠DCB＝30°，BD＝CD＝ 1 cos 30°＝2 3 3 . 区域最大面积 S＝S△ABC＋S△BCD＝1 2×2×2×sin 60°＋1 2BD·CD·sin 120°＝ 4 3 3 (平方千米)．(7 分) (或者：因为直角三角形△ABD，△ACD 全等，区域最大面积 S＝S△ABD＋S△ACD＝2S△ABD＝2×1 2AB·BD＝ 4 3 3 (平方千米)．(7 分)) ∴ l 1x my= + 2 2 12 1 x y x my + = = + ( )2 22 2 1 0m y my+ + − = 1 2 1 22 2 2 1,2 2 my y y ym m − −∴ + = =+ + ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 4x x x x y y m y y m y y+ + + + = + + + + ( )2 2 2 2 12 1 42 2 mm mm m − −= × + + × ++ + 0= 7m = ± ∴ l 7 1 0x y± − = , ,A B C ABC D D B C 120° ABDC D B C A B E E A D EA ED a 2a a BDE θ∠ ＝ （2）当楼宇 与楼宇 间距离相等时由（1）得： 则 ，又因为 ，所以 ，因为等边三角形 所以 ，所以 在 中， ，所以 ，则 所以铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用 令 因为 ，所以 - 0 + ↘ 极小值 ↗ 所以当 时， 即： 的最小值为 D ,B C 2 3 3BD DC= = DBC DCB∠ = ∠ 120BDC∠ = 30DBC ∠ = ABC 60ABC∠ = 2ABD ABC DBC π∠ = ∠ + ∠ = Rt EBD∆ BDE θ∠ = 2 3 cos 3cos BDDE BDE θ= =∠ 2 3tan tan3BE BD BDE θ= ∠ = 2 32 tan3AE AB BE θ= − = − ( ) 2f a EA a EDθ = ⋅ + ⋅ = 2 3 2 32 tan 23 3cosa aθ θ − + ⋅ 2 3 3cos sin 2 0,3 cos 3 a θ θ πθθ − + = ⋅ ∈ ( ) ( ) ( ) 2 3sin cos 3 2 sin2 3 3 cos cos cos sinaf θ θ θ θ θ θ θ θ − − − + =′ + 2 2 3 2sin 1 3 cos a θ θ −= ( ) 10 sin 2f θ θ⇒′ = = 0, 3 πθ ∈ 6 πθ = θ 0, 6 π 6 π ,6 3 π π ( )f θ′ ( )f θ 6 πθ = ( ) 3cos sin 22 3 6 6 46 3 cos 6 af f a π π πθ π − + = = = 极小值 ( )f θ 4a 答：铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值 元. 19. （本小题满分 16 分） 已知等差数列 和等比数列 的各项均为整数，它们的前 项和分别为 ，且 ， . （1）求数列 ， 的通项公式；（2）求 ； （3）是否存在正整数 ，使得 恰好是数列 或 中的项？若存在，求出所有满足条件的 的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，因为 ， 所以 ，即 ，解得 ，或 （舍去）. 所以 . （2） ， ， 所以 ， 所以 . （3）由（1）可得 ， ，所以 . 因为 是数列 或 中的一项，所以 ， 所以 ，因为 ， 所以 ，又 ，则 或 . 4a { }na { }nb n ,n nS T 1 12 2b a= = 2 3 2 254, 11b S a T= + = { }na { }nb 1 1 2 2 3 3n n nM a b a b a b a b= + + + + m 1m m m m S T S T ++ + { }na { }nb m { }na d { }nb q 1 1 2 3 2 22 2, 54, 11b a b S a T= = = + = 2 (3 3 ) 54 1 2 2 11 q d d q + = + + + = (1 ) 9 2 8 q d d q + = + = 3 2 q d = = 3 2 5 q d = = 12 1, 2 3n n na n b −= − = ⋅ ( )2 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 3 5 2 3 2 1 2 3n n n nM a b a b a b a b n −= + + + + = × + × × + × × + ⋅⋅⋅ + − × × 2 13 1 2 3 3 2 3 (2 3) 2 3 (2 1) 2 3n n nM n n−= × × + × × + + − × × + − × × ( )2 12 2 4 3 3 3 (2 1) 2 3n n nM n−− = + + + + − − × × 13(1 3 )2 4 (4 2) 3 4 (4 4) 31 3 n n nn n −−= + × − − × = − − − ⋅− 2( 1) 3 2n nM n= − ⋅ + 2 nS n= 3 1= −n nT 2 1 1 2 1 3 1 3 m m m m m m S T m S T m + ++ − +=+ − + 1m m m m S T S T ++ + { }na { }nb 2 1 * 2 1 3 ,1 3 m m m L L Nm +− + = ∈− + ( )2( 1) 1 (3 )3mL m L− − = − 2 1 0,3 0mm − > 1 3L< *L N∈ 2L = 3L = 当 时，有 ，即 ，令 . 则 . 当 时， ；当 时， ，即 . 由 ，知 无整数解. 当 时,有 ，即存在 使得 是数列 中的第 2 项， 故存在正整数 ，使得 是数列 中的项. 20.（本题满分 16 分） 已知 ， ，其中常数 ． （1）当 时，求函数 的极值； （2）若函数 有两个零点 ，求实数 的范围； （3）设 ，在区间 内是否存在区间 ，使函数 在区间 的值域也是 ？请给出结论，并说明理由. 【解析】函数 的定义域为 ， （1）当 时， ， ， …………2 分 而 在 上单调递增，又 ， 当 时， ，则 在 上单调递减； 当 时， ，则 在 上单调递增，所以 有极小值 ，没有极大 值． …………4 分 ( )H x 2L = ( )2 1 3mm − = ( )2 1 13m m − = 2 1( ) 3m mf m −= 2 2 2 1 1 ( 1) 1 1 2 2 3( 1) ( ) 3 3 3m m m m m m mf m f m + + + − − − −+ − = − = − 1m = (1) (2)f f< 2m ≥ ( ) ( )1 0f m f m+ − < (1) (2) (3) (4)f f f f< > > > ⋅⋅⋅ 1(1) 0, (2) 3f f= = ( )2 1 13m m − = 3L = 2 1 0m − = 1m = 2 1 2 1 3 31 3 m m m m +− + =− + { }na 1m = 1m m m m S T S T ++ + { }na ( ) lnxf x a x a= − −e xexg x −=)( 0a > a = e ( )f x )()( xfxgy −= 1 2 1 2, (0 )x x x x< < a 2( ) ( 1) ( ( ) )H x x g x x= − + (1, )+∞ [ , ]( 1)m n m > [ , ]m n [ , ]m n ( )f x (0, )+∞ ea = ( ) e eln exf x x= − − e( ) exf x x ′ = − e( ) exf x x ′ = − (0, )+∞ (1) 0f ′ = 0 1x< < ( ) (1) 0f x f′ ′< = ( )f x (0,1) 1x > ( ) (1) 0f x f′ ′> = ( )f x (1, )+∞ ( )f x (1) 0f = （2）令 ， ，因为 ，所以 0 增 减 因为 有两个零点，所以 ，所以 当 时因为 ， ，所以 有两个零点. (3) ，假设在区间 内是存在区间 ，使函数 在区间 的值域也是 ，因为 ，当 时 所以 在 上是增函数，所以 ，即 即方程 有两个大于 的不等实根.上述方程等价于 设 ，所以 所以 在 上是增函数，所以 上至多一个实数根. 即 上不可能有两个不等实数根，所以假设不成立，所以不存在区间 符合要求. 江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第三次模拟考试 数学试题 2020.06.29 第 II 卷（附加题，共 40 分） ( )H x axxaxfxgxh +−=−= ln)()()( x xaxh −=)(/ 0>a x ),0( a a ),( +∞a )(/ xh + − )(xh )(xh 0)( >ah 1>a 1>a 0)( 1 <−eh 0)4( 2查看更多