2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市阿城区第二中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市阿城区第二中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市阿城区第二中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．若a，b，c为实数，且，则下列命题正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用不等式的基本性质可知A正确；B若c=0，则ac2=bc2，错；C利用不等式的性质“同号、取倒，反向”可知其错；D作差，因式分解即可说明其错．‎ 详解：‎ A、若c=0，则ac2=bc2，故不正确；‎ B、∵a＜b＜0，∴ ∴，故错；‎ C、∵a＜b＜0，∴，,故错；‎ D、∵a＜b＜0，∴a2＞ab，且ab＞b2，∴a2＞ab＞b2，故D正确；‎ 故选：D．‎ 点睛：本小题主要考查不等关系与不等式、不等式的基本性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力及分类讨论思想．属于基础题．‎ ‎2．不等式的解集为,则的值为(   )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系列方程组，解得a，c的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意得为方程两根，所以，选B.‎ ‎【点睛】‎ 一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.‎ ‎3．已知向量，若，则（ ）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．‎ ‎【详解】‎ ‎；‎ ‎∵；‎ ‎∴；‎ 解得．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．‎ ‎4．函数的最小值为(   )‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】先对解析式等价变形，再利用基本不等式即可得出答案 ‎【详解】‎ ‎，，‎ 函数，‎ 当且仅当时取等号，‎ 因此函数的最小值为8‎ 答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式求 最值的应用，属于基础题 ‎5．在等比数列中，成等差数列，则公比等于（ ）‎ A．1 或 2 B．−1 或 −2 C．1 或 −2 D．−1 或 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】设出基本量，利用等比数列的通项公式，再利用等差数列的中项关系，即可列出相应方程求解 ‎【详解】‎ 等比数列中，设首项为，公比为，‎ 成等差数列，，即，‎ 或 答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列和等比数列求基本量的问题，属于基础题 ‎6．在中，角所对的边分别为己知，则（ ）‎ A．45°或135° B．135° C．45° D．以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】由的度数求出的值，再利用正弦定理求出的值，由小于，得到小于，即可求出的度数．‎ ‎【详解】‎ 解：∵，，‎ ‎∴由正弦定理得：，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 则．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题。‎ ‎7．与向量共线的单位向量坐标为（ ）.‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】设出单位向量，利用向量之间的共线关系即可求解 ‎【详解】‎ 设与向量共线的单位向量为，利用向量之间的共线关系，‎ 得：，化简得，利用 的关系，分别验证各选项，可得D为正确答案 答案选D ‎【点睛】‎ 本题考查共线向量的应用，属于基础题 ‎8．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）‎ A．21 B．20 C．18 D．25‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得：每天织的布数构成等差数列，设公差为d，由，可得，再计算第30项即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：每天织的布数构成等差数列，设公差为d，‎ 则前30项和，解得．‎ ‎∴最后一天织的布的尺数等于．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的应用，计算前n项和及等差数列的通项公式，属于基础题.‎ ‎9．正项等比数列中，，则的值（ ）‎ A．10 B．20 C．36 D．128‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等比数列的性质可得，然后根据对数的运算性质可得所求结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵数列为等比数列，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 在等比数列的计算问题中，除了将问题转化为基本量的运算外，还应注意等比数列下标和性质的运用，即“若，则”，用此性质进行解题可简化运算，提高运算的效率．‎ ‎10．数列…的前项和为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用分组求和法求数列1，2，3，4，…的前n项和.‎ ‎【详解】‎ ‎1＋2＋3＋…＋(n＋)‎ ‎＝(1＋2＋…＋n)＋(＋＋…＋)‎ ‎＝＋‎ ‎＝ (n2＋n)＋1－‎ ‎＝ (n2＋n＋2)－‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差等比数列的前n项和，考查数列分组求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎11．已知菱形的边长为2，，点，分别为，的中点，则（ ）‎ A．3 B．1 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先确定一组基底，利用向量加法运算法则，用这对基底把表示出来，然后进行数量积计算。‎ ‎【详解】‎ 点为的中点 所以;‎ 点F为CD的中点，所以,‎ ‎=‎ ‎ =‎ 因为菱形的边长为2,所以,又因为，运用数量积公式，可求＝＝＝‎ ‎=故本题选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的数量积运算、向量的加法运算、菱形的几何性质。‎ ‎12．数列的前项和，则等于(　　)‎ A．171 B．21 C．10 D．161‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得 ‎。选D。 ‎ ‎13．如图，在山脚测得山顶的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为60°，则山高( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，，，‎ 根据三角形内角关系得到和，再由正弦定理可求，最后根据可得结果 ‎【详解】‎ 设，，，‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用角度和正弦定理解三角形，属于基础题 二、填空题 ‎14．等差数列中，，则数列前9项的和等于______________。‎ ‎【答案】99‎ ‎【解析】分析：由等差数列的性质可求得a4，=13，a6=9，从而有a4+a6=22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案．‎ 详解：：∵在等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27， ∴a4=13，a6=9， ‎ ‎∴a4+a6=22，又a4+a6=a1+a9，， ∴数列{an}的前9项之和 故答案为99.‎ 点睛：本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n项和公式是解决问题的关键，属于中档题．‎ ‎15．已知的内角所对的边分别为，若，则外接圆的半径为________‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】根据题意，设的外接圆的半径，由正弦定理可得，，即可得的值，再由的值计算可得的值，最后由正弦定理计算可得答案 ‎【详解】‎ ‎，‎ 所以由正弦定理得，‎ 又，，‎ 所以的外接圆的半径 ‎，‎ 答案：6‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理的应用，属于基础题 ‎16．已知，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用题设中的等式，把的表达式转化成，展开后，利用基本不等式求得y的最小值.‎ 详解：因为，所以，所以（当且仅当时等号成立），则的最小值是，总上所述，答案为.‎ 点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.‎ ‎17．已知数列满足,且,则的值是__________.‎ ‎【答案】-1175‎ ‎【解析】由，得，利用累加法进行求解即可 ‎【详解】‎ 由，得，利用递推式得到：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 利用累加法，得到，‎ 所以，‎ 答案：-1175‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用累加法求解，属于基础题 三、解答题 ‎18．在中，，，，点在边上．‎ ‎（1）求的长度及的值；‎ ‎（2）求的长度及的面积．‎ ‎【答案】（1），；（2）,S=6‎ ‎【解析】（1）由余弦定理可得BC的长，再利用正弦定理可得的值；‎ ‎（2）先求出,在三角形ABD中，利用余弦定理求得AD的长，再 可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 在中,由余弦定理得:‎ ‎ ‎ 在中,由正弦定理得: ‎ 得: ‎ ‎(2) ∵,,记,在中,由余弦定理得:‎ ‎,得 (另:得 )‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正余弦定理以及利用正余弦定理解三角形，三角形面积的求法，属于中档题.‎ ‎19．已知数列{an}为等比数列，a1=2，公比q>0，且a2,6,a3成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设,,求使的n的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）98‎ ‎【解析】(Ⅰ)由等比数列的通项公式及等差中项的定义，即可求得公比q，进而得到等比数列通项公式。‎ ‎(Ⅱ)根据对数函数性质，可得数列为等差数列，代入求得Tn表达式为裂项形式，进而求得前n项和Tn，进而求得使成立的n的最大值。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为a2,6,a3成等差数列，所以 ‎（2）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式，等差中项的定义和裂项求和法的应用，关键是注意计算，属于基础题。‎ ‎20．已知、、分别是的三个内角、、所对的边，求：‎ ‎（1）若面积求、的值；‎ ‎（2）若，且，试判断的形状．‎ ‎【答案】（1）；（2）等腰直角三角形。‎ ‎【解析】试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解出b边，得，再由由余弦定理得：，所以，（2）判断三角形形状，利用边的关系比较直观. 因为，所以由余弦定理得：，所以，在中，，所以，所以是等腰直角三角形.‎ 解：（1）， 2分 ‎，得3分 由余弦定理得：， 5分 所以6分 ‎（2）由余弦定理得：，所以9分 在中，，所以11分 所以是等腰直角三角形； 12分 ‎【考点】正余弦定理 ‎21．数列满足，（）.‎ ‎（Ⅰ）证明：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）证明等差数列有两种方法，其一是根据定义（是常数），其二是根据等差中项，本题只要证明即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，故；（Ⅲ）求数列前n项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点选择相应的求和方法，常用的求和方法有：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法等，本题中，故可采取错位相减法求和．‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知可得，所以，即，‎ ‎∴数列是公差为1的等差数列.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，所以，，相减得，∴．‎ ‎【考点】1、等差数列定义；2、错位相减法求和.‎