上海中学2019-2020高一数学下学期期末试题（Word版附答案）

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第 1 页 共 7 页 上海中学高一下期末数学试卷 2020.6 一、填空题 1．在数列{ }na 中，若 1 1a  ， 1 13 3 n na a   ，则 na  ． 2．在首项为 2020，公比为 1 2 的等比数列中，最接近于 1 的项是第 项． 3．等差数列{ }na 的前 15 项和为 90，则 8a  ． 4．等比数列{ }na 满足 7 8 9 27a a a  ．则 3 1 3 2 3 3 3 15log log log loga a a a     ． 5．等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 1 0a  ， 4 9S S ，则 nS 取最大值时 n  ． 6．数列{ }na 由 2 , ( ),n n n n a na n     N 为奇数 为偶数 确定，则{ }na 中第 10 个 3 是该数列的第 项． 7．已知方程 cos2 3sin 2 1x x k   在区间[0, ]2  内有两个相异的解 ,  ，则 k 的取值范围 是 ． 8．在数列{ }na 中， 1 1a  ， 1 ( )1 n n n aa na     N ，则 na  ． 9． 1 1 1 1lim 1 3 2 4 3 5 ( 2)n n n             ． 10．对于数列{ }na ，当 n 为奇数时， 5 1na n  ；当 n 为偶数时， 22 n na  ，则这个数列的 前 2n 项之和为 ． 11．一个数字生成器，生成规则如下：第 1 次生成一个数 x ，以后每次生成的结果是将上一 次生成的每一个数 x 生成两个数，一个是 x ，另一个是 3x  ．若 1x  ，前 n 次生成的所． 有数．．中不同的数的个数为 nT ，则 nT  ． 12．若数列{ }na ，{ }nb 满足 1 1a  ， 1 1b  ，若对任意的 n N ，都有 2 2 1n n n n na a b a b     ， 2 2 1n n n n nb a b a b     ，设 1 1 1( )3n n n n c a b  ，则无穷数列{ }nc 的所有项的和为 ． 二、选择题 第 2 页 共 7 页 13．用数学归纳法证明“ ( 1)( 2) ( ) 2 1 3 (2 1)nn n n n n        ”，从“ n k 到 1n k  ”， 左边需增添的因式为（ ） A． 2 1k  B． 2(2 1)k  C． 2 1 1 k k   D． 2 3 1 k k   14．“ 2b ac ”是“ , ,a b c依次成等比数列”的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．既不充分也不必要 D．充分必要 15．等差数列{ }na 的公差 d 不为零，等比数列{ }nb 的公比 q 是小于 1 的正有理数，若 1a d ， 2 1b d ，且 2 2 2 1 2 3 1 2 3 a a a b b b     是正整数，则 q 的值可以为（ ） A． 1 7 B． 1 7  C． 1 2 D． 1 2  16． nS 为实数构成的等比数列{ }na 的前 n 项和，则{ }nS 中（ ） A．任一项均不为 0 B．必有一项为 0 B．至多有有限项为 0 D．或无一项为 0，或无穷多项为 0 三、解答题 17．有三个数 , ,a b c依次成等比数列，其和为 21，且 , , 9a b c 依次成等差效列，求 , ,a b c． 18．解下列三角方程： （1） 24cos 4cos 1 0x x   ； （2） 2sin 3sin cos 1 0x x x   ； （3） sin 2 12(sin cos ) 12 0x x x    ． 第 3 页 共 7 页 19．己知等差数列{ }na 满足 2 0a  ， 6 8 10a a   ． （1）求数列{ }na 的通项公式；（2）求数列 1{ }2 n n a  的前 n 项和 nS ． 20．已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 2 nS 是 6 和 na 的等差中项． （1）求数列{ }na 的通项公式和前 n 项和 nS ； （2）若对任意的 n N ，都有 [ , ]nS s t ，求 t s 的最小值． 21．对于实数 x ，将满足“ 0 1y ≤ 且 x y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分，用记 号 x 表示，对于实数 a ，无穷数列{ }na 满足如下条件： 1a a ， 1 1 , 0, 0, 0 n n n n aa a a       ． 其中 1,2,3,n   ． （1）若 2a  ，求数列{ }na ； （2）当 1 4 a  时，对任意的 n N ，都有 na a ，求符合要求的实数 a 构成的集合 A ． （3）若 a 是有理数，设 pa q （ p 是整数，q 是正整数，p 、q 互质），问对于大于 q 的任意 正整数 n ，是否都有 0na  成立，并证明你的结论． 第 4 页 共 7 页 参考答案 一、填空题 1．3 2n  2．12 3．6 4．15 5．6 或 7 6．1536 7．[0,1) 8． 1 n 9． 3 4 10． 2 15 2 2nn n    11． 1, 1 3, 2 4 6, 3, n n n n n        N≥ 12．1 【第 10 题解析】分组求和： 2 1 3 2 1 2 4 2( ) ( )n n nS a a a a a a         2 1(6 10 4) 2(1 2 ) 5 2 22 1 2 n nn n n n         ． 【第 11 题解析】第 1 次生成的数为“1”；第 2 次生成的数为“ 1 、4”；第 3 次生成的数为 “1、2、 4 、7”；第 4 次生成的数为“ 1 、4、 2 、5、4、 1 、 7 、10”；… 可观察出： 1 1T  ， 2 3T  ， 3 6T  ， 4 10T  ， 5 14T  ，…，当 3n ≥ 时，{ }nT 是公差为 4 的等差数列，∴ 1, 1 3, 2 4 6, 3, n n T n n n n        N≥ ． 【第 12 题解析】 由题意， 1 1 2( )n n n na b a b    ，∴{ }n na b 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，∴ 2n n na b  ， 而 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 2n n n n n n n na b a b a b a b        ，可得 12n n na b   ， 从而 1 1 1 1 2( )3 3 3 n n n n n n n n n n a bc a b a b      ，其各项和为 1 2 3 111 1 3 c q    ． 二、选择题 13．B 14．B 15．C 16．D 【第 15 题解析】 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 (2 ) (3 ) 14 (1 ) 1 a a a d d d b b b d q q q q           ， 1 2 q  符合，选 C． 【第 16 题解析】 1 1 , 1 (1 ), 0, 11 n n na q S a q q qq       ， 当 1q   时，{ }nS 有无穷多项为 0；否则，{ }nS 无一项为 0，选 D． 第 5 页 共 7 页 三、解答题 17．由题意，可设 , 9a b d c b d     ，于是 2 9 3 12 4 ( )( 9) 3 12 a b c b b b d b d b d d                或 ， 从而，可得 1, 4, 16a b c   或 16, 4, 1a b c   ． 18．（1）即 2 1(2cos 1) 0 cos 2 ( )2 3 x x x k k       Z ； （2）即 2 2 2sin 3sin cos sin cos 0x x x x x    ， 两边同除 2cos x ，可得 22tan 3tan 1 0x x   ，∴ 1tan 2 x   或 tan 1x   ， ∴ 1arctan ( )2 4 x k x k k     Z或 ； （3）令 sin cos 2 sin 4 t x x x        ， [ 2, 2]t  ，则 2sin 2 1x t  ， 从而 21 12 12 0t t    ，即 2 12 13 0t t   ，解得 1t 或 13t  （舍）， 再由 22 sin 1 sin4 4 2 x x               ，∴ 24 4 x k    或 32 ( )4 4 x k k    Z ， ∴ 2 2 x k   或 2 ( )x k k   Z ． 19．（1） 2na n   ；（2）由错位相减法，可得 12n n nS  ． 20．（1）由题意， 4 6n nS a  ①，令 1n  ，可得 1 2a  ， 1 14 6n nS a   ②， ②-①，得 1 14 n n na a a   ，即 1 1 3n na a   ，∴{ }na 是首项为 2，公比为 1 3  的等比数列， ∴ 112 3 n na       ， 16 3 1 1 4 2 2 3 n n n aS          ； （2）① n 为奇数时， 13 1 1 2 2 3 n nS       ， nS 关于 n 单调递减且 3 2nS  恒成立， 此时， 1 3 22 nS S ≤ ； ② n 为偶数时， 13 1 1 2 2 3 n nS       ， nS 关于 n 单调递增且 3 2nS  恒成立， 此时， 2 4 3 3 2nS S ≤ ； ∴ min 4( ) 3nS s ≥ ， max( ) 2nS t ≤ ，于是 min 4 2( ) 2 3 3 t s    ． 第 6 页 共 7 页 21． （1） 1 2 2 1a    ， 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 a a       ， 2 1ka   ，则 1 1 2 1 2 1k k a a      所以 2 1na   ． （2） 1a a a  ，所以 1 14 a  ，所以 1 4a  ， ①当 1 12 a  ，即 1 2a  时， 2 1 1 1 1 1a aa a a     ，所以 2 1 0a a   ， 解得 1 5 2 a   （ 1 5 1( ,1)2 2 a    ，舍去）． ②当 1 1 3 2 a ≤ ，即 12 3a ≤ 时， 2 1 1 1 1 2a aa a a     ，所以 2 2 1 0a a   ， 解得 2 8 2 12 a     （ 1 12 1 ( , ]3 2 a     ，舍去）． ③当 1 1 4 3 a ≤ ，即 13 4a ≤ 时， 2 1 1 1 1 3a aa a a     ，所以 2 3 1 0a a   ， 解得 3 13 2 a   （ 3 13 1 1( , ]2 4 3 a    ，舍去）． 综上， 1 5 3 13, 2 1,2 2 A            ． （3）成立． （证明 1） 由 a 是有理数，可知对一切正整数 n ， na 为 0 或正有理数，可设 n n n pa q （ np 是非负整数， nq 是正整数，且 n n p q 既约）． ①由 1 1 1 ppa q q  ，可得 10 p q≤ ； ②若 0np  ，设 n nq p   （ 0 np ≤ ， ,  是非负整数） 则 n n n q p p   ，而由 n n n pa q 得 1 n n n q a p 第 7 页 共 7 页 1 1 n n n n n qa a p p      ，故 1np   ， 1n nq p  ，可得 10 n np p ≤ 若 0np  则 1 0np   ， 若 1 2 3, , , , qa a a a 均不为 0，则这 q 个正整数互不相同且都小于 q ， 但小于 q 的正整数共有 1q  个，矛盾． 故 1 2 3, , , , qa a a a 中至少有一个为 0，即存在 (1 )m m q≤ ≤ ，使得 0ma  ． 从而数列{ }na 中 ma 以及它之后的项均为 0，所以对于大于 q 的自然数 n ，都有 0na  . （证法 2，数学归纳法）