2018届高三数学一轮复习： 第2章 第6节 对数函数

2018届高三数学一轮复习： 第2章 第6节 对数函数

第六节　对数函数 ‎[考纲传真]　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．‎ ‎1．对数的概念 如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．‎ ‎2．对数的性质、换底公式与运算性质 ‎(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．‎ ‎(2)换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．‎ ‎(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；‎ ‎②loga＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．‎ ‎3．对数函数的定义、图象与性质 ‎4.反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)log2x2＝2log2x.(　　)‎ ‎(2)当x＞1时，logax＞0.(　　)‎ ‎(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．(　　)‎ ‎(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象不在第二、三象限．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　　)‎ A．a＞b＞c　　　　　 B.a＞c＞b C．c＞b＞a D.c＞a＞b D　[∵0＜a＝2－＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，‎ ‎∴c＞a＞b.]‎ 图261‎ ‎3．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图261，则下列结论成立的是(　　)‎ ‎【导学号：01772050】‎ A．a＞1，c＞1‎ B．a＞1,0＜c＜1‎ C．0＜a＜1，c＞1‎ D．0＜a＜1,0＜c＜1‎ D　[由图象可知y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.]　‎ ‎4．(教材改编)若loga＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B.(1，＋∞)‎ C.∪(1，＋∞) D. C　[当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；‎ 当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.‎ 即实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]‎ ‎5．(2017·杭州二次质检)计算：2log510＋log5＝________，2log43＝________.‎ ‎2　　[2log510＋log5＝log5＝2，因为log43＝log23＝log2，所以2 log43＝2log2＝.]‎ 对数的运算 ‎　(1)设‎2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)‎ A.　　　　　　　 B.10‎ C．20 D.100‎ ‎(2)计算：÷100＝________.‎ ‎(1)A　(2)－20　[(1)∵‎2a＝5b＝m，∴a＝log‎2m，b＝log‎5m，‎ ‎∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，‎ ‎∴m＝.‎ ‎(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝×10＝(lg 10－2)×10＝－2×10＝－20.]‎ ‎[规律方法]　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．‎ ‎2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．‎ ‎3．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2017·东城区综合练习(二))已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为(　　)‎ A．24　　　 B.16‎ C.12　　　 D.8‎ ‎(2)(2015·浙江高考)若a＝log43，则‎2a＋2－a＝________.‎ ‎(1)A　(2)　[(1)∵3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×3＝24，故选A.‎ ‎(2)∵a＝log43＝log223＝log23＝log2，‎ ‎∴‎2a＋2－a＝2log2＋2－log2＝＋2log2＝＋＝.]‎ 对数函数的图象及应用 ‎　(1)(2016·河南焦作一模)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)‎ A　　 　　　　　B　　　　　　C　　　 　　　D ‎(2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(1)B　(2)(1，＋∞)　[(1)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga|x|的大致图象如图所示．‎ 故选B.‎ ‎(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．]‎ ‎[规律方法]　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．‎ ‎2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．‎ ‎[变式训练2]　(2017·西城区二模)如图262，点A，B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m＝(　　)‎ ‎【导学号：01772051】‎ 图262‎ A．2 B.3‎ C. D. D　[由题意知等边△ABC的边长为2，则由点A的坐标(m，n)可得点B的坐标为(m＋，n＋1)．又A，B两点均在函数y＝log2x＋2的图象上，故有解得m＝，故选D.]‎ 对数函数的性质及应用 ‎☞角度1　比较对数值的大小 ‎　(2016·全国卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，则(　　)‎ A．logac＜logbc B.logca＜logcb C．ac＜bc D.ca＞cb B　[∵0＜c＜1，∴当a＞b＞1时，logac＞logbc，A项错误；‎ ‎∵0＜c＜1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又a＞b＞0，‎ ‎∴logca＜logcb，B项正确；‎ ‎∵0＜c＜1，∴函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，‎ 又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C项错误；‎ ‎∵0＜c＜1，∴y＝cx在(0，＋∞)上单调递减，‎ 又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D项错误．]‎ ‎☞角度2　解简单的对数不等式 ‎　(2016·浙江高考)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则(　　)‎ A．(a－1)(b－1)<0 B.(a－1)(a－b)>0‎ C．(b－1)(b－a)<0 D.(b－1)(b－a)>0‎ D　[法一：logab＞1＝logaa，‎ 当a＞1时，b＞a＞1；‎ 当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1.只有D正确．‎ 法二：取a＝2，b＝3，排除A，B，C，故选D.]‎ ‎☞角度3　探究对数型函数的性质 ‎　已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．‎ ‎(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．‎ ‎[解]　(1)∵f(1)＝1，‎ ‎∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，‎ 这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．‎ 由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，‎ 函数f(x)的定义域为(－1,3).2分 令g(x)＝－x2＋2x＋3，‎ 则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．‎ 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3).5分 ‎(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，‎ 则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，‎ 因此应有解得a＝. 10分 故存在实数a＝使f(x)的最小值为0. 12分 ‎[规律方法]　利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．对数值取正、负值的规律 当a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b＜1时，logab＞0；‎ 当a＞1且0＜b＜1或0＜a＜1且b＞1时，logab＜0.‎ ‎2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．‎ ‎3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．‎ ‎4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论．‎ ‎2．在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数)．‎ ‎ 3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．‎