【数学】湖南省株洲市天元区株洲市第二中学2020届高三第13次月考试卷（理）

【数学】湖南省株洲市天元区株洲市第二中学2020届高三第13次月考试卷（理）

湖南省株洲市天元区株洲市第二中学2020届高三第13次月考数学试卷（理）‎ 第I卷（选择题共60分）‎ 一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意）‎ ‎1.已知集合则（ A ）‎ A.[-3,2) B.(-3,2) C. (-1,0] D. (-1,0)‎ ‎2.数满足，其中为虚数单位,则的虚部为（ D ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.记为等差数列的前项和，若则的公差为（ B ）‎ A.1 B. 2 C.3 D.4‎ ‎4.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ B ）‎ A．20 B．27 C．54 D．64‎ ‎5.函数的图像大致为( A )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题，某市创新性的采用“公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心”，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理，计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有5号23号和29号，则下面号码中可能被抽到的号码是（ D ）‎ A. 9 B. 12 C. 15 D. 17‎ ‎7.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函 数的图象，则的取值不可能是（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.如图，已知中，为的中点，，若，‎ 则( C )‎ A. B． C． D．‎ ‎9.已知抛物线的焦点为，准线与x轴的交点为K，点P为抛物线上一点,，则的面积为( C )  ‎ A.8 B.4 C.2 D. 1‎ ‎10.已知的角的对边分别为，若，（ D ）‎ A. B． C． D．‎ ‎ 11.下列选项中，说法正确的是   B ‎ A．若向量则存在唯一的实数使 B．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是 C．甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，甲队获胜的概率等于 D．已知向量为非零向量，则“的夹角为钝角”的充要条件是“”‎ ‎12.设函数是函数的导函数，已知，且， ，则使得成立的的取值范围是（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】设，则，即函数在上单调递减，‎ 因为，即导函数关于直线对称，‎ 由于，即函数过点，‎ 其关于点的对称点也在函数上，‎ 所以有，所以，‎ 而不等式，即，即，所以，‎ 故使得不等式成立的的取值范围是．故选B．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题 5分，共20分）‎ ‎13.随着新型冠状病毒肺炎疫情的发展，网络上开始出现一些混淆视听的谣言和新冠病毒预防措施的错误说法，为了辟谣并宣讲正确的预防措施，某社区拟从5名男志愿宣讲员和3名女志愿宣讲员中任选3人，参加本社区的宣讲服务，则选中的3人中恰有2名女宣讲员的选法共有 15 (用数字作答）。‎ ‎14.已知，，，且，则的最小值为 .‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】，，，且，‎ 所以，，‎ 当且仅当时，即当时，等号成立，‎ 因此，的最小值为.‎ ‎15.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，‎ 由，与相似，‎ 所以，即，‎ 又因为，‎ 所以，，‎ 所以，即，，‎ 所以双曲线C的离心率为.‎ ‎16.在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点（点与、‎ 不重合），则下列结论正确的编号为 .‎ ‎①存在点，使得平面平面；‎ ‎②存在点，使得平面；‎ ‎③若的面积为，则；‎ ‎④若、分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得.‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】连接，设平面与对角线交于，‎ 由，可得平面，即平面，‎ 所以存在点，使得平面平面，所以①正确；‎ 由，‎ 利用平面与平面平行的判定，可得证得平面平面，‎ 设平面与交于，可得平面，所以②正确；‎ 连接交于点，过点作,‎ 在正方体中，平面，所以，‎ 所以为异面直线与的公垂线，‎ 根据，所以，即，‎ 所以的最小面积为.‎ 所以若的面积为，则，所以③不正确；‎ 再点从的中点向着点运动的过程中，从减少趋向于0，即，‎ 从增大到趋向于，即，在此过程中，必存在某个点使得，‎ 所以④是正确的.‎ 综上可得①②④是正确的.‎ 三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.(本小题为12分)等差数列的公差为2, 分别等于等比数列的第2项，‎ 第3项，第4项.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足,求数列的前项的和．‎ ‎【答案】（1），； （2）.‎ ‎18.(本小题为12分)已知正三角形△ABC边长为3，点M，N分别是AB，AC边上的点，AN＝BM＝1，如图1所示．将△AMN沿MN折起到△PMN的位置，使线段PC长为，连接PB，如图2所示．‎ ‎（1）求证：平面PMN⊥平面BCNM；‎ ‎（2）若点D在线段BC上，且BD＝2DC，求二面角M﹣PD﹣C的余弦值．‎ ‎（Ⅰ）证明：依题意，在△AMN中，AM＝2，AN＝1，∠A，‎ 由余弦定理及勾股得MN2+AN2＝AM2，∴AN⊥MN，即PN⊥MN，‎ 在图2△PNC中，PN＝1，NC＝2，PC，‎ ‎∴PC2＝PN2+NC2，∴PN⊥NC，‎ ‎∵MN∩NC＝N，∴PN⊥平面BCNM，‎ ‎∵PN⊂平面PMN，∴平面PMN⊥平面BCNM．‎ ‎（Ⅱ）解：以N为坐标原点，NM为x轴，NC为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则P（0，0，1），M（，0，0），D（，，0），C（0，2，0），‎ ‎∴（，0，﹣1），（，，0），（0，2，﹣1），（，，0），‎ 设平面MPD的一个法向量（x，y，z），‎ 则，取y＝1，得（，1，3），‎ 设平面PDC的法向量（a，b，c），‎ 则，取a＝1，得（1，，2），‎ 设二面角M﹣PD﹣C的平面角为θ，由图知θ是钝角，‎ ‎∴cosθ．‎ 二面角M﹣PD﹣C的余弦值为．‎ ‎19.(本小题为12分) 已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM的斜率为 ，且原点O到直线FM 的距离为 .‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若不经过点F的直线与椭圆 交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.‎ 解：（1）由题意得，，‎ ‎①，‎ 直线FM的方程为，即，‎ ‎②，‎ 由①②解得，，‎ 且，‎ 椭圆C的标准方程为。‎ ‎（2）直线l与圆相切，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设，，‎ 代入得，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ 同理可得，‎ ‎，‎ 的周长是，‎ 的周长是定值为。‎ ‎20.(本小题为12分) 2020年是具有里程碑意义的一年我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年．（总书记二O二O年新年贺词）截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的下降至2018年的；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤．某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．‎ ‎（1）将家庭人均纯年收入不足5000元的家庭称为"特困户”,用样本的频率估计总体的概率。若从这该地区取出10户调查致贫原因，求这10户中含有"特困户"的户数X的数学期望；‎ ‎（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：‎ 月份/2019（时间代码）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 人均月纯收入（元）‎ ‎275‎ ‎365‎ ‎415‎ ‎450‎ ‎470‎ ‎485‎ 由散点图及相关性分析发现:家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系，由此估计该家庭2020年能实现小康生活，但2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1，2，3月份）每月的人均月纯收入人均只有2019年12月的预估值的，为加快脱贫进程，政府加大扶贫力度，拟从2020年3月份起，以后每月的增长率为，为了使2020年该家庭顺利迈入小康生活，则至少应为多少?（保留小数点后两位数字）；‎ ‎①可能用到的数据:‎ ‎②参考公式:线性回归方程中，‎ 解：（1）由频率分布直方图可知，‎ 家庭人均年收入在元的家庭数为:户；‎ 家庭人均年收入在元的家庭数为:户；‎ 家庭人均年收入在元的家庭数为:户；‎ 家庭人均年收入在元的家庭数为:户；‎ 家庭人均年收入在元的家庭数为:户；‎ 家庭人均年收入在元的家庭数为:户；‎ 共计50户，其中家庭人均年收入不足5000元的特困户有：户，‎ 由题意： 户；‎ 即这10户中含有“特困户”的户数的数学期望为（户）.‎ ‎（2）由题意得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以：，‎ ‎，‎ 所以回归直线方程为：，‎ 令，则可知2019年12月份该家庭人均月纯收入为（元），‎ 所以，2020年第一季度该家庭人均月纯收入为（元），‎ 设从开始3月份到12月份的月纯收入之和为，‎ 则 由题意应有：，‎ 即：，‎ 显然是以为自变量的增函数， ‎ ‎①当时，显然成立，‎ ‎②当时，，‎ ‎（舍）‎ 或，‎ 所以，为了使2020年该家庭顺利迈入小康生活，则至少应为；‎ ‎21.(本小题为12分) 已知函数 ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设，若对任意的恒成立，求整数的最大值；‎ ‎（3）求证：当时，.‎ 解：（1）‎ ‎①若，则，函数在上单调递增；‎ ‎②，由得，由得，‎ 则函数在上单调递增，在上单调递减.-------4分 ‎（2）若，则，所以不满足恒成立.‎ 若，由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 所以，又恒成立.即 -----6分 设，则.‎ 因为函数在上单调递增，且.‎ 所以存在唯一的，使得.‎ 当时，，当时，.‎ 所以，解得，又.‎ 所以，整数的最大值为. --------8分 ‎（3）由（2）可知，时，，‎ ‎.‎ ‎12分 请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎22.(本小题为10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），‎ 以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ‎（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线l与曲线C相交于AB两点，求的值.‎ 解：（1）由,两式相加可得,即.‎ 又,即 即. ‎ ‎（2）将化简成关于点的参数方程有：,（为参数）,‎ 代入有,‎ 则 ‎23.(本小题为10分)已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集包含，求的取值集合。‎ 解：当时，函数， 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为，无解； 当时，不等式化为，解得，即； 综上知，不等式的解集为． 关于x的不等式的解集包含， 等价于在上恒成立， 由，，所以时，恒成立； 即，恒成立，所以， 又，则恒成立，所以，解得； 所以a的取值集合是．‎