2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期末数学（文)试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期末数学（文)试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年高二下学期期末数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式，得出集合，再对四个选项的命题进行验证。‎ ‎【详解】‎ 解不等式，得或，则集合，‎ 所以，，，，，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法、集合的交集、并集计算以及集合间的包含关系，解出集合是解本题的关键，另外在处理无限数集相关的问题时，可适当利用数轴来强化理解。‎ ‎2．下列函数是奇函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义法判断四个选项中函数的奇偶性，可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 对于A选项中的函数，定义域为，关于原点对称，‎ ‎，该函数为偶函数；‎ 对于B选项中的函数，定义域为，关于原点对称，‎ ‎，该函数为奇函数；‎ 对于C选项中的函数，定义域为，关于原点对称，且 ‎，该函数为偶函数；‎ 对于D选项中的函数，定义域为不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数。故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用定义判断函数的奇偶性，基本步骤如下：‎ ‎（1）考查函数的定义域，若不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；‎ ‎（2）考查与之间的等量关系；‎ ‎（3）下结论。‎ ‎3．方程的实根所在的区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，考查该函数的单调性，结合零点存在定理得出答案。‎ ‎【详解】‎ 构造函数，则该函数在上单调递增，‎ ‎，，，‎ 由零点存在定理可知，方程的实根所在区间为，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查零点所在区间，考查零点存在定理的应用，注意零点存在定理所适用的情形，必要时结合单调性来考查，这是解函数零点问题的常用方法，属于基础题。‎ ‎4．与函数相等的函数是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，其中，A，B，D中定义域都不是，只有C化简后与题设函数，相同，故选C．‎ 考点：函数的定义．‎ ‎5．在同一直角坐标系中，函数，的的图象可能是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 就和分类讨论可得正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 解：当时，函数为增函数，且图象变化越来越平缓，‎ 的图象为增函数，‎ 当时，函数为增函数，且图象变化越来越快，的图象为减函数，‎ 综上：只有D符合 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数和对数函数的图像性质，属于基础题.‎ ‎6．已知，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数的单调性比较大小即可.‎ ‎【详解】‎ 是增函数，‎ 所以，即，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以,‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 解决大小关系问题，一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答.‎ ‎7．对于一个声强为为（单位：）的声波，其声强级（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强），设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则是的（ ）倍 A．10 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据声强级与声强之间的关系式，将两个声强级作差，结合对数的运算律可得出的值，可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，即，两式相减得，所以，，‎ 因此，是的倍，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的运算律，考查对数在实际问题的应用，熟练应用对数的运算性质是解本题的关键，其次就是要弄清题目的意思，考查理解能力与运算能力，属于中等题。‎ ‎8．若幂函数的图像经过点，则它在点处的切线方程是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵经过点A的幂函数，所以m=1，，所以，，‎ 则它在点A的切线方程为4x-4y+=0,故选C 考点：本题考查幂函数以及用导数研究函数的切线 点评：解决本题的关键是掌握幂函数的定义，以及导数的几何意义 ‎9．已知函数既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数既有极大值，又有最小值，转化为导函数有两个零点，得出，即可解出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 由于函数既有极大值，又有最小值，则导函数有两个零点，‎ ‎，即，解得或.‎ 因此，实数的取值范围是，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的极值点与导数之间的关系，一般而言，在解出导数为零的方程后，还需对导数在零点处左右附近的符号进行分析，函数的极值点个数与导数的零点个数不一定是一一对应的。‎ ‎10．已知函数的最小值为2，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复合函数求出函数的单调区间，可得出，据此可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 内层函数为，外层函数为，‎ 由于内层函数的减区间为，增区间为，且外层函数为增函数，‎ 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，‎ 所以，函数在处取得最小值，即，‎ 解得，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数型复合函数的最值，解题的关键就是要利用复合函数法分析函数的单调性，结合单调性来确定最值点，另外，考查函数单调性的方法有多种方法，解题时根据函数解析式灵活选择。‎ ‎11．已知函数满足，与函数图象的交点为，则=（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知函数的图象和函数的图象都关于直线 对称，可知它们的交点也关于直线对称，于此可得出的值。‎ ‎【详解】‎ 设，由于，则函数的图象关于直线对称，‎ 且函数的图象也关于直线对称，‎ 所以，函数与函数的交点也关于直线对称，‎ 所以，，‎ 令，则，‎ 所以，，因此，，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的交点坐标之和，考查函数图象的应用，抓住函数图象对称性是解题的关键，同时也要注意抽象函数关系与性质之间的关系，如下所示：‎ ‎（1），则函数的周期为；‎ ‎（2）或，则函数的对称轴为直线；‎ ‎（3），则函数的对称中心为.‎ ‎12．定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（ ）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得出，转化为函数与函数图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可。‎ ‎【详解】‎ 由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，‎ 由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，‎ 由图象可知，，当时，，‎ 则函数与函数在上没有交点，‎ 结合图像可知，函数与函数图象共有个交点，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．=____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数与对数的运算性质可得出答案。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂的运算与对数的运算，熟练应用指数幂和对数的运算性质是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎14．有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔，今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将获得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜是1号，2号，4号中的一个；丁猜2号，3号，4号都不可能，若以上四位老师只有一位猜对，则猜对者是___________（填甲、乙、丙、丁）‎ ‎【答案】丁 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分四种情况讨论，即四位老师只有一个老师猜对，进行逻辑推理得出答案。‎ ‎【详解】‎ 若甲老师猜对，则其他三位老师全部猜错，乙老师猜错，则号获得第一名，这与甲老师的猜测矛盾，这种情况不可能；‎ 若乙老师猜对，则其他三位老师全部猜错，则号不可能，甲老师猜错，号和号都不可能，丙老师猜错，号、号、号都不可能，没有一个获得第一名，这种情况不可能；‎ 若丙老师猜对，则其他三位老师全部猜错，则号、号、号某一个获得第一名，甲老师猜错，号和号都不可能，乙老师猜错，号获得第一名，矛盾；‎ 若丁老师猜对，则其他三位老师全部猜错，那么号、号、号某一位获得第一名，甲老师猜错，号和号都不可能，乙老师猜错，号获得第一名，丙老师猜错，号、号、号都不可能，所以，号获得第一名。故答案为：丁。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查推理，考查分类讨论思想与假设思想的应用，通过不断试错来推出结论，考查逻辑推理能力，属于中等题。‎ ‎15．函数，若正实数满足，则的取值范围为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考查函数的单调性，将不等式变为，利用单调性得出，对分和两种情况讨论，解不等式即可。‎ ‎【详解】‎ 函数在上为增函数，且，‎ 由，可得，所以，.‎ ‎①当时，由，得，此时，；‎ ‎②当时，由，可得，此时，.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数不等式的解法，这类问题的解法步骤如下：‎ ‎（1）考查函数的单调性；‎ ‎（2）将不等式化为，由单调性得出与的大小关系；‎ ‎（3）解不等式，同时要注意定义域的限制。‎ 同时在解对数不等式时，要注意底数的范围。‎ ‎16．以下结论正确的是____________‎ ‎（1）如果函数在区间上是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点；‎ ‎（2）命题，则；‎ ‎（3）空集是任何集合的真子集；‎ ‎（4）“”是“的充分不必要条件”‎ ‎（5）已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围是 ‎【答案】（1）（2）（5）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用零点存在定理可判断命题（1）的正误，根据全称命题的否定可判断命题（2）的正误，根据集合的包含关系可判断命题（3）的正误，根据充分必要条件可判断命题（4）的正误，根据函数的单调性求出参数的取值范围，可判断出命题（5）的正误.‎ ‎【详解】‎ 对于命题（1），由零点存在定理可知，该命题正确；‎ 对于命题（2），由全称命题的否定可知，该命题正确；‎ 对于命题（3），空集是任何非空集合的真子集，但不是空集本身的真子集，该命题错误；‎ 对于命题（4），取，，则，但，所以，“”不是“”的充分不必要条件，该命题错误；‎ 对于命题（5），由于函数在上是增函数，则，‎ 解得，该命题正确.‎ 故答案为：（1）（2）（5）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查零点存在定理、全称命题的否定、集合的包含关系、充分不必要条件的判断以及分段函数单调性，解题时应充分利用这些基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握，属于中等题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．（1）已知，且，求的最小值。‎ ‎（2）已知是正数，且满足，求的最小值。‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用基本不等式结合指数幂的运算求出的最小值；‎ ‎（2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，‎ 由基本不等式可得，‎ 当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为；‎ ‎（2）由基本不等式可得，‎ 当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求最值，解这类问题的关键就是对代数式朝着定值方向进行配凑，同时注意定值条件的应用，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎18．已知，命题关于的不等式的解集是，命题函数的定义域为，如果是真命题，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出当命题与均为真命题时，实数的取值范围，再将两个范围取交集可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 由，得，该不等式的解集为，则，所以，命题.‎ 由于函数的定义域为，则，.‎ ‎①当时，则有，得，不合乎题意；‎ ‎②当时，则有，解得.‎ 命题为真命题，所以命题与均为真命题，所以，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，对于这类问题，首先求出当两个命题均为真命题时对应参数的取值范围，然后再分析各命题的真假得出参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎19．已知函数在为减函数，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的单调得出对任意的恒成立，利用参变量分离法得到 ‎，构造函数，结合单调性求出，即可得出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 由于函数在区间上单调递减，‎ 则，，则，所以，，‎ 构造函数，其中，则.‎ ‎，，‎ 因为，函数在区间上为单调递减函数，‎ 则，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，一般而言，函数的单调性与导数之间的关系可有如下转化：‎ ‎（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；‎ ‎（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；‎ ‎（3）函数在区间上不单调在区间上存在极值点；‎ ‎（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；‎ ‎（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.‎ ‎20．已知函数的值域是，关于的不等式，若是充分不必要条件，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出当命题、都是真命题时实数的取值范围，再由题中条件“是充分不必要条件”得出两范围的包含关系，并列出不等式进行求解。‎ ‎【详解】‎ 当命题是真命题时，函数的值域为，则，‎ 解得或；‎ 解不等式，即，‎ 解得或，所以，命题或.‎ 则，，‎ 由于是充分不必要条件，则，‎ 所以，，解得，因此，实数的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用充分必要条件求参数的取值范围，一般是结合充分必要性转化为集合的包含关系，具体关系如下：‎ ‎（1），则“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎（2），则“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎（3），则“”是“”的充要条件；‎ ‎（4），则则“”是“”的既不充分也不必要条件。‎ ‎21．设函数（其中）‎ ‎（1）当时，求的单调区间 ‎（2）求在上的最小值。‎ ‎【答案】（1）单减区间为，单调递增区间为；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，并求出函数的定义域，然后分别解不等式和可得出函数的单调递减区间和单调递增区间；‎ ‎（2）‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，定义域为，且，，‎ 由于函数在上单调递增，‎ 解不等式，即，得；‎ 解不等式，即，得.‎ 因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ ‎（2），，‎ 令，得.‎ ‎①当时，即当时，，，‎ 此时，函数在区间上单调递增，则；‎ ‎②当时，即当时，‎ 当时，，当时，.‎ 此时，函数在处取得极小值，亦即最小值，‎ 即；‎ ‎③当时，即当时，，，‎ 此时，函数在区间上单调递减，则.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的单调区间以及求最值，在讨论函数在定区间上的最值时，一般要对导数的零点与定义域的位置关系进行分类讨论，分析函数的单调性，结合单调性确定函数的最值，考查分类讨论数学思想，考查运算求解能力，属于中等题。‎ ‎22．22．已知为实数，函数.‎ ‎（1）若是函数的一个极值点，求实数的取值；‎ ‎（2）设，若，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2)实数的取值范围为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出函数f（x）定义域，函数的导函数f′（x），假设存在实数a，使f（x）在x=3处取极值，则f′（3）=0，求出a，验证推出结果．‎ ‎（2）由f （x0）≤g（x0） 得：（x0﹣lnx0）a≥x02﹣2x0，记F（x）=x﹣lnx（x＞0），求出F′（x），推出F（x）≥F（1）=1＞0，转化a≥，记G（x）=，x∈[，e]求出导函数，求出最大值，列出不等式求解即可．‎ 解析：（1）函数定义域为 ，‎ ‎.‎ ‎∵是函数的一个极值点，∴，解得.‎ 经检验时，是函数的一个极小值点，符合题意，‎ ‎∴.‎ ‎ （2）由，得，‎ 记，‎ ‎∴，‎ ‎∴当 时，，单调递减；‎ ‎ 当时，，单调递増.‎ ‎∴，‎ ‎∴，记，‎ ‎∴ .‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴时，，单调递减；‎ 时，，单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故实数的取值范围为.‎ 点睛：本题考查函数的动手的综合应用，函数的最值的求法，极值的求法，用到了变量集中的方法.‎