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文档介绍
2014年高考真题——理科数学(浙江卷) 原卷版
2014 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(理科) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1)设全集 2| xNxU ,集合 5| 2 xNxA ,则 ACU ( ) A. B. }2{ C. }5{ D. }5,2{ (2)已知i 是虚数单位, Rba , ,则“ 1 ba ”是“ ibia 2)( 2 ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 (3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是 A. 90 2cm B. 129 2cm C. 132 2cm D. 138 2cm 4.为了得到函数 xxy 3cos3sin 的图像,可以将函数 xy 3sin2 的图像( ) A.向右平移 4 个单位 B.向左平移 4 个单位 C.向右平移 12 个单位 D.向左平移 12 个单位 5. 在 46 )1()1( yx 的 展 开 式 中 , 记 nm yx 项 的 系 数 为 ),( nmf ,则 )3,0(2,1()1,2()0,3( ffff ) ( ) A.45 B.60 C.120 D. 210 6.已知函数 则且 ,3)3()2()1(0,)( 23 fffcbxaxxxf ( ) A. 3c B. 63 c C. 96 c D. 9c 7.在同意直角坐标系中,函数 xxgxxxf a a log)(),0()( 的图像可能是( ) 8.记 ,max{ , } , x x yxy y x y , ,min{ , } , y x yxy x x y ,设 ,ab为平面向量,则( ) A.min{| |,| |} min{| |,| |}a b a b a b B. min{| |,| |} min{| |,| |}a b a b a b C. 2 2 2 2min{| | ,| | } | | | |a b a b a b D. 2 2 2 2min{| | ,| | } | | | |a b a b a b 9.已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个篮球 3, 3mn,从乙盒中 随机抽取 1,2ii 个球放入甲盒中. (a)放入i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 1,2i i ; (b)放入i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 1,2ipi . 则 A. 1 2 1 2,p p E E B. 1 2 1 2,p p E E C. 1 2 1 2,p p E E D. 1 2 1 2,p p E E 10.设函数 2 1 )( xxf , ),(2)( 2 2 xxxf |2sin|3 1)(3 xxf , 99,,2,1,0,99 iiai ,记 |)()(||)()(||)()(| 98991201 afafafafafafI kkkkkkk , .3,2,1k 则( ) A. 321 III B. 312 III C. 231 III D. 123 III 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.若某程序框图如图所示,当输入 50 时,则该程序运算后输出的结果是________. 12.随机变量 的取值为 0,1,2,若 10 5P , 1E ,则 D ________. 13.当实数 x , y 满足 2 4 0, 1 0, 1, xy xy x 时,14ax y 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ________. 14.在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有_____种(用数字作答). 15.设函数 0, 0, 2 2 xx xxxxf 若 2aff ,则实数 a 的取值范围是______ 15.设直线 )0(03 mmyx 与双曲线 12 2 2 2 b y a x ( 0ab)两条渐近线分别交于点 BA, ,若点 )0,(mP 满足 PBPA ,则该双曲线的离心率是__________ 17、如图,某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行射击训练.已知点 到墙面的距离 为 ,某目标点 沿墙面的射击线 移动,此人为了准确瞄准目标点 ,需计算由点 观察点 的仰角 的大小.若 则 的最大值 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 14 分)在 ABC 中,内角 ,,A B C 所对的边分别为 ,,abc.已知 ,3a b c, 22cos - cos 3 sin cos - 3 sin cos .A B A A B B (I)求角C 的大小; (II)若 4sin 5A ,求 ABC 的面积. 19(本题满分14分)已知数列 na 和 nb 满足 Nnaaa nb n 221 .若 na 为等比数列, 且 .6,2 231 bba (1)求 na 与 nb ; (2)设 Nnbac nn n 11 。记数列 nc 的前 n 项和为 nS . (i)求 nS ; (ii)求正整数 k ,使得对任意 Nn ,均有 nk SS . 20. (本题满分 15 分)如图,在四棱锥 BCDEA 中,平面 ABC 平面 ACBEDECDABBEDCDEBCDE ,1,2,90, 0 2 . (1)证明: DE 平面 ACD ; (2)求二面角 EADB 的大小 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 15 10 5 5 10 15 20 E D C B A 21(本题满分15分)如图,设椭圆 ,01: 2 2 2 2 bab y a xC 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点 P ,且点 P 在第一象限. (1)已知直线l 的斜率为 k ,用 kba ,, 表示点 P 的坐标; (2)若过原点O 的直线 1l 与l 垂直,证明:点 P 到直线 1l 的距离的最大值为 ba . 22.(本题满分 14 分)已知函数 ).(33 Raaxxxf (1)若 xf 在 1,1 上的最大值和最小值分别记为 )(),( amaM ,求 )()( amaM ; (2)设 ,Rb 若 42 bxf 对 1,1x 恒成立,求 ba 3 的取值范围. 参考答案 1.B 2.A 3.D 4.D 5.C 6. C 7.D 8.D 9.C 10.B 11.6 12. 2 5 13. 31, 2 14.60 15. 2a 16. 5 2 17. 53 9 18. (I)由题意得,1 cos 2 1 cos 2 3 3sin 2 sin 22 2 2 2 AB AB ,即 3 1 3 1sin 2 cos 2 sin 2 cos 22 2 2 2A A B B , sin(2 ) sin(2 )66AB ,由 ab 得, AB ,又 0,AB ,得 2266AB ,即 2 3AB ,所以 3C ; (II)由 3c , 4sin 5A , sin sin ac AC 得 8 5a ,由 ac ,得 AC ,从而 3cos 5A , 故 4 3 3sin sin sin cos cos sin 10B A C A C A C ,所以 ABC 的面积为 1 8 3 18sin2 25S ac B . 19. (I)由题意, Nnaaa nb n 221 , 326bb,知 32 3 28 bb a ,又有 1 2a , 得公比 2q ( 2q 舍去),所以数列 na 的通项公式为 2 ( )n na n N ,所以 1 1 2 1 2 3 22 nn nn na a a a ,故数列 nb 的通项公式为, 1 ( )nb n n n N ; (II)( i)由( I)知, 1 1 1 1 1 ()21n n nn c n Na b n n ,所以 11()12n nS n Nn ; (ii)因为 1 2 3 40, 0, 0, 0c c c c ;当 5n 时, 11 112n n nnc nn ,而 11 1 1 2 1 2 02 2 2n n n n n n n n n ,得 5 1 5 5 1 122n nn,所以当 5n 时, 0nc ,综上对任意 nN 恒有 4 nSS ,故 4k . 20. (I)在直角梯形 BCDE 中,由 1DE BE, 2CD 得, 2BD BC,由 2, 2AC AB,则 2 2 2AB AC BC,即 AC BC ,又平面 ABC 平面 BCDE ,从 而 AC 平面 BCDE ,所以 AC DE ,又 DE DC ,从而 DE 平面 ACD ; (II)方法一:作 BF AD ,与 AD 交于点 F ,过点 F 作 FG DE ,与 AE 交于点G ,连 结 BG ,由(I)知, DE AD ,则 FG AD ,,所以 BFG 是二面角 EADB 的平面 角,在直角梯形 BCDE 中,由 2 2 2CD BD BC,得 BD BC ,又平面 ABC 平面 BCDE , 得 BD 平面 ABC ,从而,BD AB ,由于 AC 平面 BCDE ,得:AC CD ,在 Rt ACD 中,由 2CD , 2AC ,得 6AD , 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 15 10 5 5 10 15 20 G F E D C B A 在 Rt AED 中, 1DE , 6AD ,得 7AE ,在 Rt ABD 中, 2BD , 2AB , 6AD ,得 23 3BF , 2 3AF AD ,从而 2 3GF ,在 ,ABE ABG 中,利用余弦定 理分别可得 5 7 2cos ,14 3BAE BG ,在 BFG 中, 2 2 2 3cos 22 GF BF BGBFG BF GF ,所以 6BFG ,即二面角 EADB 的大小是 6 . 方法二:以 D 为原点,分别以射线 ,DE DC 为 ,xy轴的正半轴,建立空间直角坐标系 D xyz 如图所示,由题意可知各点坐标如下: 0,0,0 , 1,0,0 , 0,2,0 , 0,2, 2 , 1,1,0D E C A B ,设平面 ADE 的法向量为 1 1 1,,m x y z ,平面 ABD 的法向量为 2 2 2,,n x y z ,可算得 0, 2, 2AD , 1,1,0 , 1, 2, 2DB AE ,由 0 0 m AD m AE 得, 11 1 1 1 0 2 2 0 2 2 0 yz x y z ,可取 0,1, 2m ,由 0 0 n AD n BD 得, 22 22 0 2 2 0 0 yz xy ,可取 1,1, 2n ,于是 3cos , 2 mn mn mn ,由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角 EADB 的大小是 6 . 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 15 10 5 5 10 15 20 Z Y x E D C B A 21. (I)设直线l 的方程为 0y kx m k ,由 22 221 y kx m xy ab ,消去 y 得, 2 2 2 2 2 2 2 2 220b a k x a kmx a m a b ,由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点 P ,故 0 ,即 2 2 2 2 0b m a k ,解得点 P 的坐标为 22 2 2 2 2 2 2,a km b m b a k b a k ,由点 P 在第 一象限,故点 P 的坐标为 22 2 2 2 2 2 2 ,a k b b a k b a k ; (II)由于直线 1l 过原点O ,且与l 垂直,故直线 1l 的方程为 0x ky,所以点 P 到直线 1l 的 距离 22 2 2 2 2 2 2 21 a k b b a k b a kd k ,整理得 22 2 2 2 2 2 2 abd bb a a k k ,因为 2 22 2 2ba k abk ,所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b ab b b a abb a a k k ,当且仅当 2 bk a 时 等号成立,所以点 P 到直线 1l 的距离的最大值为 ba . 22.(I)因为 3 3 3 3 ,( ) 3 3 ,( ) x x a x afx x x a x a ,所以 2 2 3 3,( )' 3 3,( ) x x afx x x a ,由于 11x , (i)当 1a 时,有 xa ,故 3 33f x x x a ,此时 xf 在 1,1 上是增函数,因 此 1 4 3M a f a , 1 4 3m a f a , 4 3 4 3 8M a m a a a (ii)当 11a 时,若 ,1xa , 3 33f x x x a ,在 ,1a 上是增函数,,若 1,xa , 3 33f x x x a ,在 1, a 上是减函数,所以 max 1 , 1m a f f, 3m a f a a,由于 1 1 6 2f f a ,因此,当 11 3a 时, 3 34M a m a a a ,当 1 13 a时, 3 32M a m a a a , (iii)当 1a 时,有 xa ,故 3 33f x x x a ,此时 xf 在 1,1 上是减函数,因 此 1 2 3M a f a , 1 2 3m a f a ,故 2 3 2 3 4M a m a a a ,综上 3 3 8, 1 13 4, 1 3 13 2, 13 4, 1 a a a a M a m a a a a a ; (II)令 h x f x b,则 3 3 3 3 ,( ) 3 3 ,( ) x x a b x ahx x x a b x a , 2 2 3 3,( )' 3 3,( ) x x ahx x x a , 因为 2 4f x b,对 1,1x 恒成立,即 22hx 对 1,1x 恒成立,所以由(I) 知, (i)当 1a 时, hx在 1,1 上是增函数, hx在 1,1 上的最大值是 1 4 3h a b ,最小值是 1 4 3h a b ,则 4 3 2ab ,且 4 3 2ab , 矛盾; (ii)当 11 3a 时, hx在 1,1 上的最大值是 1 4 3h a b ,最小值是 3h a a b,所以 3 2ab , 4 3 2ab ,从而 32 3 3 6 2a a a b a 且 10 3a,令 323t a a a ,则 2' 3 3 0t a a , ta在 10, 3 上是增函数,故 02t a t ,因此 2 3 0ab , (iii)当 1 13 a时, hx在 1,1 上的最大值是 1 3 2h a b ,最小值是 3h a a b,所以 3 2ab ,3 2 2ab ,解得 28 3027 ab , (iv)当 1a 时, hx在 1,1 上的最大值是 1 3 2h a b ,最小值是 1 2 3h a b ,所以3 2 2ab , 2 3 2ab ,解得30ab,综上 ba 3 的 取值范围 2 3 0ab .查看更多