2018-2019学年安徽省涡阳第一中学高一下学期第二次质量检测数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省涡阳第一中学高一下学期第二次质量检测数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省涡阳第一中学高一下学期第二次质量检测数学（理）试题 一、单选题 ‎1．下列各组向量中，可以作为基底的是( )‎ A．， B．， ‎ C．， D．， ‎ ‎【答案】B ‎【解析】可以作为基底的两个向量必须不能共线，因此判断四个选项中的两个向量是否共线即可.‎ ‎【详解】‎ 选项A: 是零向量，而零向量与任意一个向量共线，故不能作为基底；‎ 选项B: ，所以不共线，故可以作为基底；‎ 选项C：因为， ，所以，故不能作为基底；‎ 选项D: 因为， ，所以，故不能作为基底，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基底的概念，以及判断共线向量的方法.‎ ‎2．设M是平行四边形的对角线的交点，O为任意一点且不与M重合，则 等于　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为此题为单选题，故可考虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入，计算即可得解．‎ ‎【详解】‎ 为任意一点，不妨把A点看成O点，则，‎ 是平行四边形的对角线的交点，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答．‎ ‎3．现要完成下列3项抽样调查：‎ ‎①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格.‎ ‎②涡阳县某中学共有480名教职工，其中一线教师360名，行政人员48名，后勤人员72名.为了解教职工对学校校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.‎ ‎③涡阳县某中学报告厅有28排，每排有35个座位，一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请28名听众进行座谈.‎ 较为合理的抽样方法是（ ）‎ A．①简单随机抽样， ②系统抽样， ③分层抽样 B．①简单随机抽样， ②分层抽样， ③系统抽样 C．①系统抽样， ②简单随机抽样， ③分层抽样 D．①分层抽样， ②系统抽样， ③简单随机抽样 ‎【答案】B ‎【解析】根据三种不同抽样方法适合的不同情况依次来判断应选取的抽样方法.‎ ‎【详解】‎ ‎①总体数量较少，抽取样本数量较少，采用简单随机抽样；‎ ‎②不同岗位员工差异明显，且会影响到统计结果，因此采用分层抽样；‎ ‎③总体数量较多，且排数与抽取样本个数相同，因此采用系统抽样.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查统计中的抽样方法问题，关键是明确各种抽样方法所适用的情况.‎ ‎4．已知向量在方向上的投影为，，，则为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由向量在方向上的投影为，可得到等式，利用向量数量积的定义可以计算出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为向量在方向上的投影为，所以有，‎ 因此故本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的投影、以及向量数量积的定义，考查了数学运算能力.‎ ‎5．已知，，则有( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先通过诱导公式，化简三个数，然后判断它们的正负性，最后利用商比法判断 的大小，最后选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 而，故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了诱导公式、以及同角三角函数关系，以及商比法判断两数大小.在利用商比法时，要注意分母的正负性.‎ ‎6．已知、、 分别是的边、、的中点，且，，，则：①；②；③；m(数量零)其中正确的个数为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由平面向量的三角形法则以及平行四边形法则可以验证等式的正误.‎ 详解：因为，所以（1）错误；因为，所以正确；因为，所以正确；因为，所以正确.‎ 点睛：1、本题考查平面向量的基本定理的应用等知识，意在考查学生的分析问题、解决问题的能力.‎ ‎2、在解答此类问题时，熟练掌握向量的三角形法则、平行四边形法则是解题的关键．‎ ‎3、用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底表示向量，再通过向量的运算来解决．‎ ‎7．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点( )‎ A．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变.‎ B．横坐标缩短为原来的倍， 纵坐标不变.‎ C．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变.‎ D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据两函数解析式的特点，可以分析出这种变换是周期变换，所以按照正弦型函数的周期变换的特点，从四个选项中选出正确的答案.‎ ‎【详解】‎ 函数的图象为，通过变换得到函数的图象，可以发现振幅和初相都没有改变，只改变周期，周期由原来的变为，因此只需横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变即可，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦型函数的周期变换，通过解析式之间的关系，判断出哪种变换或哪几种变换是解题的关键.‎ ‎8．已知，，，则（ ）‎ A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 ‎【答案】A ‎【解析】利用平面向量的线性运算求得,由共线定理证明三点共线.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，‎ ‎，‎ 与共线，‎ 即三点共线，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的线性运算以及共线的性质，属于中档题. 向量的运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.‎ ‎9．为弘扬传统文化，某县举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于等于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图所示．则获得复赛资格的人数为（ ）‎ A．640 B．520 C．280 D．240‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据直方图中，每个矩形的面积和为1，求得后三个矩形的面积和，可得初赛成绩大于等于90分的频率，与总人数相乘即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由频率分布直方图得初赛成绩大于等于90分的频率为 ‎，‎ ‎∴获得复赛资格的人数为，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直方图的性质与应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.‎ ‎10．若，是夹角为的两个单位向量，则，的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用向量夹角公式 计算即可．‎ 详解：由题，则 ‎ ‎ 同理可得又 ‎ 则与的夹角余弦值为 点睛： 本题考查向量夹角的计算，考查向量数量积的综合运算，属基础题.．‎ ‎11．已知满足，，则为( )‎ A．顶角为的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个内角为的直角三角形 D．等边三角形 ‎【答案】D ‎【解析】设，则，根据向量加法的几何意义和 ，可以得出是的角平分线，由，这样可以判断为等腰三角形，根据平面向量的数量积的定义，由，可以得到,最后能判断出的形状.‎ ‎【详解】‎ 设，则，而，所以是的角平分线，又，所以为等腰三角形，‎ ‎，所以是等边三角形.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的定义、等腰三角形、以及等边三角形的判定，考查了数形结合思想.‎ ‎12．在直角三角形中，，，，点在斜边的中线上，则的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知条件，可以建立以的方向为轴的正方向的直角坐标系， 求出三点的坐标，由于是斜边的中线，可以求出点坐标，设点的坐标，点在上，所以设，求出点的坐标，根据平面向量的数量积的坐标表示求出的表达式，利用二次函数求最值的方法，求出的最大值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以以的方向为轴的正方向，建立直角坐标系，如下图所示：‎ 所以 设，‎ 所以，，‎ ‎，所以当时，的最大值为，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量数量积的坐标表示、二次函数的最值，考查了数形结合、构造函数法，求出的坐标表达式，是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎13．已知，则 _________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式，对所求式子进行化简，然后分子、分母同时除以，最后把代入求值.‎ ‎【详解】‎ ‎，因为，所以故 ‎【点睛】‎ 本题考查了诱导公式、二倍角的余弦公式、同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.‎ ‎14．已知，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，，且与的夹角为钝角，所以·<0，‎ 且π，，，但，时，=π，故答案为。‎ ‎【考点】本题主要考查平面向量的坐标运算，数量积及夹角计算。‎ 点评：中档题， 对于平面向量，。‎ ‎15．函数，的单调减区间是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知：，结合，求出函数的单调减区间.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知：而，所以函数的单调减区间为 ‎【点睛】‎ 本题考查了给定函数的定义域，求正弦型函数的单调减区间问题，正确求不等式的解集是解题的关键.‎ ‎16．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在直线上，若，则= ______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 在矩形中，，，可以以的方向为轴的正方向的直角坐标系，如下图所示：‎ 所以，点为的中点，故，设 ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量数量积的坐标表示，由已知的图形，建立直角坐标系，是解题的关键.‎ 三、解答题 ‎17．（1）求证：；‎ ‎（2）已知为非零向量，且， 求证：.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见证明 ‎【解析】（1）用两角的和的正弦公式的左右两边减去两角差的正弦公式的左右两边，即可证明；‎ ‎（2）先证明：.通过计算的值为零即可证明出结论；‎ 尔后证明：.用数量积的运算公式即可证明出结论.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）因为 将上式左右两边分别相减，得 即 ；‎ ‎（2）证明：若则 所以 若，则，即，所以 综上得 ：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二角和差的正弦公式的应用，考查了数量积的运算性质，考查了公式变形的能力 ‎。‎ ‎18．已知函数，其中，，，其部分图象如图所示．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若，，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）首先通过函数的最高点的坐标，可以求出的值，接着通过图象过的零点和相邻的最高点，可以求出函数的周期，进而求出的值，最后根据函数的最高点的坐标，代入函数解析式中，可以求出的值；‎ ‎（2）由，，可以得到的值，确定的取值范围，利用同角的三角函数关系，可以求出的值，这样利用两角差的正弦公式，可以求出的值，最后利用二倍角的余弦公式，可以求出的值.‎ ‎【详解】‎ 解(1)由图可知 所以，所以，即 由，所以，即 因为，所以，故，‎ 所以，‎ ‎（2）因为，所以，即 因为，所以 所以 所以 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通过正弦型函数图象求正弦型函数的解析式，考查了同角的三角函数关系、两角差的正弦公式、以及二倍角的余弦公式.由函数图象确定函数的解析式是解题的关键，对于正弦型函数的图象上零点、最高点、是低点是很重要的特殊点，它们之间的关系很重要.‎ ‎19．已知向量，，若函数的最大值为.‎ ‎(1)求常数的值；‎ ‎(2)求使成立的的取值集合.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用平面向量的数量积的坐标表示，结合两角的和差的正弦公式，化简函数的解析式，通过函数的最大值，可以求出常数的值；‎ ‎（2）由(1)得，要使成立，只需满足即可，根据正弦函数图象，可以求出的取值集合.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 最大值= ‎ ‎(2)由(1)得，要使成立 只需满足即可，所以 解得：‎ 所以：满足成立的的取值集合 ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及利用函数图象求正弦型不等式的解集，掌握正弦的函数图象特征是解题的关键.‎ ‎20．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，求当取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.‎ ‎【答案】当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．‎ ‎【解析】试题分析：解：由题意可得 在三角形OCB中，OC=1,,‎ 所以 BC=sinOB=cos 在三角形OAD中，，AD="BC=" sin 所以所以AB="OB-OA=" cos-5分 则，矩形ABCD的面积为 ‎=‎ ‎==‎ 所以矩形ABCD面积的最大值为。‎ 此时==12分 ‎【考点】三角函数的运用 点评：主要是考查了三角函数的实际问题中的运用，属于中档题。‎ ‎21．如图，设是平面内相交成角的两条数轴 ，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，假设.‎ ‎（1）计算的大小；‎ ‎（2）设向量，若与共线，求实数的值；‎ ‎（3）是否存在实数，使得与向量垂直，若存在求出的值，若不存在请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】（1）先计算出的值，再根据公式，求出；‎ ‎（2），由已知与共线，根据向量共线的条件，可以得到等式，再根据平面向量基本定理，得到一个二元一次方程组，解这个方程组，可求出实数的值；‎ ‎（3）假设存在实数，使得与向量垂直，则有：，根据平面向量数量积的运算公式，可以得到一个关于的方程，如果能解出方程，就说明存在，如果方程没有实数根，就说明不存在.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ，‎ 所以 ‎；‎ ‎（2）若与共线，则存在实数使得 即，由平面向量基本定理得：‎ ‎，解得 所以实数的值 ‎（3）假设存在实数，使得与向量垂直，则有：‎ 即 ‎，得 所以，存在实数， 使得与向量垂直.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的数量积运算公式，以及求平面向量的模，正确运用平面向量的运算公式是解题的关键.‎ ‎22．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.‎ ‎(1)已知平面内点，点，把点绕点顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标；‎ ‎(2)设平面内曲线上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点的轨迹方程是曲线，求原来曲线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1)求出向量的坐标表示，由点绕点顺时针方向旋转后得到点，相当于点绕点逆时针方向旋转，设出点的坐标，写出向量的坐标，根据已知给的公式，得到一个二元一次方程组，解这个方程组，求出点的坐标；‎ ‎（2）设平面内曲线上的每一点，绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点，根据已知条件给的公式，可以得到一个方程组，可以分别求出与的关系，结合，可以求出原来曲线的方程.‎ ‎【详解】‎ 由已知可得：‎ 将点绕点顺时针方向旋转，即是点绕点逆时针方向旋转，‎ 即可得到点 设点，则 所以 所以，解得 所以点的坐标为 ‎(2)设平面内曲线上的每一点，绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点 则即 又，所以，即 所以曲线的方程为 ‎【点睛】‎ 本题考查了轨迹的求法，考查了平面向量的旋转，考查了阅读能力，通过阅读找到有用的数学信息是解题的关键.‎