高一数学（人教A版）必修4能力提升：2-3-4 平面向量共线的坐标表示

高一数学（人教A版）必修4能力提升：2-3-4 平面向量共线的坐标表示

能 力 提 升 一、选择题 ‎1．(2011～2012·北京西城高三第一学期期末)已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若∥a，则实数y的值为(　　)‎ A．5 B．6 ‎ C．7 D．8‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　＝(3，y－1)，又∥a，‎ 所以(y－1)－2×3＝0，解得y＝7.‎ ‎2．(2013·陕西文)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(　　)‎ A．－ B. C．－或 D．0‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a∥b知1×2＝m2，即m＝或m＝－.‎ ‎3．若点M(3，－2)，点N(－5，－1)，且＝，则点P的坐标为(　　)‎ A．(－8,1) B. C. D．(8，－1)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，‎ ＝(－8,1)，‎ ‎∵＝，∴ 解得x＝－1，y＝－.‎ ‎4．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与‎3a＋λb平行，则λ的值等于(　　)‎ A．－6 B．6 ‎ C．2 D．－2‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　a＋2b＝(5,5)，‎3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，‎ 由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，‎ ‎∴λ＝6.‎ ‎5．(2013·济南模拟)若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(‎2a＋b)∥(a－mb)，则m＝(　　)‎ A．－ B. ‎ C．2 D．－2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　‎2a＋b＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)‎ a－mb＝(1,2)－m(－3,0)＝(1＋‎3m,2)‎ ‎∵(‎2a＋b)∥(a－mb)‎ ‎∴－1＝(1＋‎3m)×2‎ ‎∴‎6m＝－3，解得m＝－ ‎6．(2011～2012·湖南长沙)已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A．外心 B．垂心 ‎ C．内心 D．重心 ‎[答案]　D ‎[解析]　设＋＝，则可知四边形BACD是平行四边形，而＝λ表明A、P、D三点共线．‎ 又D在BC的中线所在直线上，于是点P的轨迹一定通过△ABC的重心．‎ 二、填空题 ‎7．(2011·北京高考)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　a－2b＝(，3)．因为a－2b与c共线，‎ 所以＝，解得k＝1.‎ ‎8．已知向量a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα等于________．‎ ‎[答案]　tanα＝ ‎[解析]　∵a∥b，∴3cosα－4sinα＝0.‎ ‎∴4sinα＝3cosα.∴tanα＝.‎ ‎9．若三点P(1,1)、A(2，－4)、B(x，－9)共线，则x 等于________．‎ ‎[答案]　3‎ ‎[解析]　＝(1，－5)，＝(x－1，－10)，因为与共线，所以1×(－10)－(－5)(x－1)＝0，解得x＝3.‎ 三、解答题 ‎10．平面内给定三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．‎ ‎(1)求‎3a＋b－‎2c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m和n；‎ ‎(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.‎ ‎[解析]　(1)‎3a＋b－‎2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．‎ ‎(2)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，‎ ‎∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,‎2m＋n)．‎ ‎∴解得 ‎∴m＝，n＝.‎ ‎(3)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)．‎ 又∵(a＋kc)∥(2b－a)，‎ ‎∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0.‎ ‎∴k＝－.‎ ‎11．已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且||＝||.求点P的坐标．‎ ‎[解析]　设点P的坐标为(x，y)，‎ 由于点P在线段P1P2上，则有＝，‎ 又＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x,3－y)，‎ 由题意得解得 ‎∴点P的坐标为.‎ ‎12．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且＝，＝.‎ ‎(1)求E，F的坐标；‎ ‎(2)判断与是否共线．‎ ‎[解析]　(1)设E(x1，y1)、F(x2，y2)，‎ 依题意得＝(2,2)，＝(－2,3)．‎ 由＝可知(x1＋1，y1)＝(2,2)，‎ 即，解得，∴E(－，)．‎ 由＝可知 ‎(x2－3，y2＋1)＝(－2,3)．‎ ‎∴，解得 ‎∴F(，0)，‎ 即E点的坐标为(－，)，F点的坐标为(，0)．‎ ‎(2)由(1)可知＝－＝(，0)－(－，)＝(，－)，(O为坐标原点)，‎ 又＝(4，－1)，‎ ‎∴＝(4，－1)＝，‎ 即与共线．‎