2018-2019学年四川省雅安市高二下学期期末数学（理)试题 解析版

2018-2019学年四川省雅安市高二下学期期末数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 四川省雅安市 2018-2019 学年高二下学期期末数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 1．已知 是虚数单位，若复数 满足 ，则 的虚部为（ ） A．-1 B． C．1 D．-3 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算可得 z＝1﹣3 i，从而可得答案． 【详解】 ,∴复数 z 的虚部是-3 故选：D 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题． 2． 的展开式中， 的系数是（ ） A．30 B．40 C．-10 D．-20 【答案】B 【解析】 【分析】 通过对括号展开，找到含有 的项即可得到 的系数. 【详解】 的展开式中含有 的项为： ，故选 B. 【点睛】 本题主要考查二项式定理系数的计算，难度不大. 3．若直线 和椭圆 恒有公共点，则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． i z 3z i i⋅ = + z 3i− 3 1 3iz ii += = − 52x x  −   x x x 52x x  −   x 2 2 3 5 2 40C x xx  − =   2y kx= + 2 2 2 1( 0)9 x y bb + = > b [2, )+∞ [2,3) (3, )∪ +∞ [2,3) (3, )+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据椭圆 1（b＞0）得出 ≠3，运用直线恒过（0，2），得出 1，即可求 解答案． 【详解】 椭圆 1（b＞0）得出 ≠3， ∵若直线 ∴直线恒过（0，2）， ∴ 1,解得 ，故实数 的取值范围是 故选：B 【点睛】 本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题． 4．甲、乙两人进行乒乓球比赛，假设每局比赛甲胜的概率是 0.6，乙胜的概率是 0.4. 那么采用 5 局 3 胜制还是 7 局 4 胜制对乙更有利？（ ） A．5 局 3 胜制 B．7 局 4 胜制 C．都一样 D．说不清楚 【答案】A 【解析】 【分析】 分别计算出乙在 5 局 3 胜制和 7 局 4 胜制情形下对应的概率，然后进行比较即可得出答 案. 【详解】 当采用 5 局 3 胜制时，乙可以 3:0，3:1，3:2 战胜甲，故乙获胜的概率为： ;当采用 7 局 4 胜制时，乙可以 4:0，4:1，4:2，4:3 战胜甲，故乙获胜的概率为： ，显然采用 5 局 3 胜制对乙更有利，故选 A. 【点睛】 本题主要考查相互独立事件同时发生的概率，意在考查学生的计算能力和分析能力，难 2 2 29 x y b + = b 2 4 b ≤ 2 2 29 x y b + = b 2y kx= + 2 4 b ≤ 2b ≥ b [2,3) (3, )∪ +∞ 3 2 2 2 2 2 3 40.4 + 0.4 0.6 0.4 0.4 0.6 0.4 0.3174C C× × + × × ≈ 4 3 3 3 3 2 3 3 3 4 5 60.4 + 0.4 0.6 0.4 0.4 0.6 0.4+ 0.4 0.6 0.4 0.2898C C C× × + × × × × ≈ 度中等. 5．正方体 中，直线 与平面 所成角正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 作出相关图形，设正方体边长为 1，求出 与平面 所成角正弦值即为答案. 【详解】 如图所示，正方体 中，直线 与 平行，则直线 与平面 所成角正弦值即为 与平面 所成角正弦值.因为 为等边三角形， 则 在平面 即为 的中心，则 为 与平面 所成角.可设 正方体边长为 1，显然 ，因此 ，则 ，故答案选 C. 【点睛】 本题主要考查线面所成角的正弦值，意在考查学生的转化能力，计算能力和空间想象能 力. 6．已知 ，则 等于( ) A．-4 B．-2 C．1 D．2 【答案】D 【解析】 1 1 1 1ABCD A B C D− AD 1 1A BC 1 2 3 2 3 3 6 3 1 1B C 1 1A BC 1 1 1 1ABCD A B C D− AD 1 1B C AD 1 1A BC 1 1B C 1 1A BC 1 1A BC∆ 1B 1 1A BC 1 1A BC∆ 1 1B C O∠ 1 1B C 1 1A BC 3 6= 2=3 3BO × 2 1 6 3= 1 ( ) =3 3B O − 1 1 1 1 1 0 3sin 3 BB C O B C ∠ = = ( ) ( )2 2 1f x x x f ′= + ⋅ 3( )f ' 【分析】 首先对 f（x）求导，将 1 代入，求出 f′（1）的值，化简 f′（x），最后将 x＝3 代入即 可． 【详解】 因为 f′（x）＝2x+2f′（1）， 令 x＝1，可得 f′（1）＝2+2f′（1）， ∴f′（1）＝﹣2， ∴f′（x）＝2x+2f′（1）＝2x﹣4， 当 x＝3，f′（3）＝2． 故选：D 【点睛】 本题考查导数的运用，求出 f′（1）是关键，是基础题． 7．“ ”是“函数 在区间 单调递增”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 分析：求出导函数 ，若函数 在 单调递增，可得 在区间 上恒成立．解出 ，故选 A 即可． 详解： ， ∵若函数函数 在 单调递增， ∴ 在区间 上恒成立． ∴ ，而 在区间 上单调递减， ∴ ．即“ ”是“函数 在 单调递增”的充分不必要条件. 故选 A.． 点睛：本题考查充分不必要条件的判定，考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题 的等价转化方法，属中档题． 8．某次运动会中，主委会将甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到三个不同比赛项目中担 1k > ( ) lnf x kx x= − [1, )+∞ f x′（ ） ( ) lnf x kx x= − ( )1,+∞ 0f x′ ≥（ ） ( )1,+∞ 1k ³ 1f x k x ′ = −（ ） ( ) lnf x kx x= − ( )1,+∞ 0f x′ ≥（ ） ( )1,+∞ 1k x ≥ 1y x = ( )1,+∞ 1k ³ 1k > ( ) lnf x kx x= − ( )1,+∞ 任服务工作，每个项目至少 1 人，若甲、乙两人不能到同一个项目，则不同的安排方式 有（ ） A．24 种 B．30 种 C．36 种 D．72 种 【答案】B 【解析】 【分析】 首先对甲、乙、丙、丁进行分组，减去甲、乙两人在同一个项目一种情况，然后进行 3 个地方的全排列即可得到答案. 【详解】 先将甲、乙、丙、丁分成三组（每组至少一人）人数分配是 1,1,2 共有 种 情况，又甲、乙两人不能到同一个项目，故只有 5 种分组情况，然后分配到三个不同地 方，所以不同的安排方式有 种，故答案选 B. 【点睛】 本题主要考查排列组合的相关计算，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力和计算能 力，难度不大. 9．若曲线 在 处的切线，也是 的切线，则 （ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 求出 的导数，得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线 相切的切 点为（m，n），得 的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得 m，n，进而得到 b 的值． 【详解】 函数 的导数为 y ＝ex，曲线 在 x＝0 处的切线斜率为 k＝ =1， 则曲线 在 x＝0 处的切线方程为 y﹣1＝x； 函数 的导数为 y ＝ ，设切点为（m，n），则 ＝1，解得 m＝1，n＝2， 即有 2＝ln1+b，解得 b＝2． 故选：A． 1 1 2 4 3 2 2 2 6C C C A = 3 35 30A = xy e= 0x = lny x b= + b = 1− e xy e= lny x b= + lny x b= + xy e= ' xy e= 0e xy e= lny x b= + ' 1 x 1 m 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义，求切线方程，属于基础题． 10．设 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 分别是 的导数，当 时， 且 ，则不等 式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数 ，判断函数的单调性和奇偶性，脱离 即可求得相关解集. 【详解】 根据题意，可设 ，则 为奇函数，又当 时 ，所以 在 R 上为增函数，且 ， 转化为 ,当 时，则 ，当 ，则 ，则 ，故解集是 ，故选 C. 【点睛】 本题主要考查利用抽象函数的相关性质解不等式，意在考查学生的分析能力和转化能力， 难度中等. 11．点 、 在以 为直径的球 的表面上，且 ， ， ， 若球 的表面积是 ，则异面直线 和 所成角余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 首先作出图形，计算出球的半径，通过几何图形，找出异面直线 和 所成角，通 过余弦定理即可得到答案. 【详解】 ( ) ( ),f x g x ( ) ( ),f x g x′ ′ ( ) ( ),f x g x 0x < ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x f x g x′ ′+ > ( )6 0g = ( ) ( ) 0f x g x < ( 6,0) (6, )− +∞ ( 6,0) (0,6)−  ( , 6) (0,6)−∞ −  ( , 6) (6, )−∞ − +∞ ( ) ( )( )h x f x g x= f ( ) ( )( )h x f x g x= ( )h x 0x < ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x f x g x′ ′+ > ( )h x ( )6 0h − = ( ) ( ) 0f x g x < ( ) 0h x < 0x < 6x < − 0x > ( ) (6)h x h< 0 6x< < ( , 6) (0,6)−∞ −  A B PC O AB BC⊥ 2AB = 4BC = O 24π PB AC 3 3 3 2 10 10 6 3 PB AC 设球 的半径为 ,则 ，故 ，如图所示：分别取 PA,PB,BC 的中点 M,N,E，连接 MN,NE,ME,AE，易知， 平面 ，由于 ，所以 ，所以 ，因为 E 为 BC 的中点，则 ，由于 M,N 分别为 PA,AB 的中点，则 ，且 ，同理 ，且 ，所以，异面直 线 和 所成角为 或其补角，且 ,在 中， ，由余弦定理得： ，因此异面直线 和 所成角余弦值为 ，故选 C. 【点睛】 本题主要考查外接球的相关计算，异面直线所成角的计算.意在考查学生的空间想象能 力，计算能力和转化能力，难度较大. 12．已知函数 在 时取得极大值，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先对 进行求导，然后分别讨论 和 时的极值点情况，随后得到答案. 【详解】 O R 24 24Rπ π= 6R = PA ⊥ ABC AB BC⊥ 2 2 2 5AC AB BC= + = 2 2 2PA PC AC= − = 2 2+ 2 2AE AB BE= = MN / / PB 2 2 2MN AM AN= + = NE / / AC 1NE AC 52 = = PB AC MNE∠ 2 2 3ME AM AE= + = MNE 2, 5, 3MN NE ME= = = 2 2 2 10cos 2 10 MN NE MEMNE MN NE + −∠ = = −⋅ PB AC 10 10 21( ) ( ) ( , )2 x xf x e a e e aex b a b R= + − − + ∈ 1x = a ( , )e−∞ − ( ,0)−∞ ( ,0)e− [0, )+∞ ( )f x 0a 0 ( ) 0f x′ > x>1 ( ) 0f x′ < x<1 ( )f x x=1 0 a e< − 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．若 ，则 __________． 【答案】-32 【解析】 【分析】 通过对原式 x 赋值 1，即可求得答案. 【详解】 令 可得 ，故答案为-32. 【点睛】 本题主要考查二项式定理中赋值法的理解，难度不大. 14．已知棱长为 的正方体 中， ， 分别是 和 的中点，点 到平面 的距离为________________． 【答案】1 【解析】 【分析】 以 D 点为原点， 的方向分别为 轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的 坐标，进而求出平面 的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可求解。 【详解】 以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 ， ，轴的正方向，建立空间直角坐标 系 ，则 ， ， ， 所以 ， ， ， 设 是平面 的法向量，则 ，即 ， 令 ，可得 ，故 ， 5 5 4 3 2 5 4 3 2 1 0( 3)x a x a x a x a x a x a− = + + + + + 0 1 2 3 4 5a a a a a a+ + + + + = 1x = 5 5 4 3 2 1 03 3(1 ) 2a a a a a a− = + + + = −+ + 设点 在平面 上的射影为 ，连接 ，则 是平面 的斜线段， 所以点 到平面 的距离 ． 【点睛】 本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离 的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值， 即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重 考查了推理与运算能力，属于基础题. 15．若点 P 是曲线 上的任意一点，则点 P 到直线 的最小距离是 ________. 【答案】 【解析】 由曲线的解析式可得： ，令 可得： (舍去负根)， 且当 时， ， 则原问题转化为求解点 与直线 的距离， 即： ， 综上可得：点 到直线 的最小距离是 . 16．双曲线 : 的左右焦点分别为 ，过 斜率 为 的直线与双曲线的左右两支分别交于点 、 ，若 ，则该双曲线的离 心率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据 ，由定义得 ，由余弦定理得 的方程求解即可 【详解】 根据 ，由双曲线定义得 ，又直线的斜率为 ，故 2 lny x x= − 2y x= − 2 1' 2y x x = − ' 1y = 1 2 11, 2x x= = − 1x = 21 ln1 1y = − = ( )1,1 2 0x y− − = ( )22 1 1 2 2 1 1 − + = + − P 2y x= − 2 C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2( ,0), ( ,0)F c F c− 1F 3 P Q 2QP QF= 1 13 2 + 2QP QF= 1 22 , 4PF a PF a= = ,a c 2QP QF= 1 22 , 4PF a PF a= = 3 ， 中由余弦定理得 故答案为 【点睛】 本题考查双曲线定义及几何性质，余弦定理，运用定义得 是本题关 键，是中档题 评卷人 得分 三、解答题 17．小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具 有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校 3000 名同学中随机抽取了 50 名，给 这 50 名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答， 选题人数如下表所示： 几何题 代数题 合计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 合计 30 20 50 （1）能否据此判断有 的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？ （2）用以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校所有女生（该校女生超 过 1200 人）中随机选 5 名女生，记 5 名女生选做几何题的人数为 ，求 的数学期 望 和方差 . 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 1 2 3PF F π∠ = 1 2PF F△ 2 2 2 24 4 16 1 13cos 3 03 2 2 2 2 a c a e e ea c π + − += ⇒ − − = ∴ =× × 1 13 2 + 1 22 , 4PF a PF a= = 97.5% X X ( )E X ( )D X ( )2 0P k k≥ 0k 参考公式： ，其中 . 【答案】（1）有；（2） . 【解析】 【分析】 (1)计算 与 5.024 比较，即可判断是否有 的把握认为选代数题还是几何题与性 别有关. （2）显然 ，可直接利用公式计算数学期望 和方差 . 【详解】 (1)由列联表知 故有 97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关 (2)由表知 20 位女生选几何题的频率为 ， 故 ； . 【点睛】 本题主要考查独立性检验统计思想，二项分布的数学期望和方差的计算.意在考查学生 的计算能力，阅读理解能力和分析能力，难度不大. 18．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为正方形， ， 、 分别是 、 中点. （1）证明： （2）求平面 与平面 所成锐二面角的值. 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 6 5 2K 97.5% 2~ (5, )5X B ( )E X ( )D X 2 2 50(22 12 8 8) 50 5.5556 5.02430 30 20 20 9K × − ×= = ≈ >× × × 8 2 20 5 = 2~ (5, )5X B 2( ) 5 25E X∴ = × = 2 3 6( ) 5 5 5 5D X = × × = P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD 1AP AB= = F E PB PC PB ED⊥ ADEF PCD 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 (1)要证 ，可证 平面 ，利用线面垂直即可得到线线垂直. (2)建立空间直角坐标系，计算平面 的一个法向量和平面 的一个法向量， 利用向量夹角公式即可得到答案. 【详解】 (1) 平面 ， 又 ， 为平面 上相交直线， 平面 ， 而等腰三角形 中有 平面 而 平面 ， . (2)易知 两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系 则 求得平面 的一个法向量 ， 平面 的一个法向量 平面 与平面 所成锐二面角为 . 【点睛】 本题主要考查立体几何中线线垂直，二面角的相关计算，意在考查学生的空间想象能力， 计算能力，转化能力，难度中等. 19．已知 是抛物线 的焦点， 是抛物线上一点，且 . 60 PB ED⊥ PB ⊥ ADEF ADEF PCD PA ⊥ ABCD PA AD∴ ⊥ AD AB⊥ ,AD PA PAD AD∴ ⊥ PAD AD PB∴ ⊥ PAB PB AF⊥ PB∴ ⊥ ADEF ED ⊂ ADEF PB ED∴ ⊥ , ,AB AD AP (0,0,0), (0,0,1), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0)A P B C D ADEF (1,0, 1)m = − PCD (0,1,1)n = 1cos , 2m n∴ < >= −  ∴ ADEF 60 F :C 2 2 ( 0)y px p= > (1, )P t | | 2PF = （1）求抛物线 的方程; （2）直线 与抛物线 交于 两点，若 （ 为坐标原点），则直线 是 否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由抛物线的定义知 得 值即可求解（2）设 的方程为： ，代入 ，消去 得 的二次方程，向量坐标化 结合韦 达定理得 ，则定点可求 【详解】 （1）由抛物线的定义知 ， 抛物线 的方程为： （2）设 的方程为： ，代入 有 ， 设 ，则 ， , 的方程为： ，恒过点 ， 【点睛】 本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，向量运算，准确计 算是关键，是中档题 20．已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）求证: . 【答案】（1） 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；（2）证 明见解析. 【解析】 C l C A B、 4OA OB⋅ = −  O l 2 4y x= 1 2,2 pPF = + = p AB x my n= + 2 4y x= x y 4OA OB⋅ = −  2n = 1 2, 22 pPF p= + = ∴ = ∴ C 2 4y x= AB x my n= + 2 4y x= 2 4 4 0y my n− − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 4y y n⋅ = − 2 21 2 1 2 ( ) 16 y yx x n ⋅∴ ⋅ = = 2 1 2 1 2 4 4 2OA OB x x y y n n n∴ ⋅ = ⋅ + ⋅ = − = − ∴ =  AB∴ 2x my= + (2,0)N 2( ) ( 1)xf x e x x= − − ( )f x 1 2( 1) 1xe x x− − − ≥ − ( )f x ( , 2)−∞ − (1, )+∞ ( 2,1)− 【分析】 (1)先对 求导，通过导函数与 0 的大小比较即可得到单调区间. (2) ,从而利用（1）中相关结论求出 的极值点证明不等式. 【详解】 （1） ， ． ， 函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减． （2）证明： ． 由（1）知 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 且 时， ，且 时， ， 在 时取得最小值 ， 即 ， 故 . 【点睛】 本题主要考查利用导函数求解函数增减区间，利用导函数证明不等式，意在考查学生的 分析能力，转化能力及逻辑推理能力，难度中等. 21．已知椭圆 ： 的左焦点 ，离心率为 ，点 为椭圆 上任一点，且 的最小值为 . （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 过椭圆的左焦点 ，与椭圆交于 两点，且 的面积为 ，求直 线 的方程. 【答案】（1） （2） 或 . 【解析】 【分析】 2( ) ( 1)xf x e x x= − − 1 2 2( 1) 1 ( 1)x xe x x e x x e− − − ≥ − ⇔ − − ≥ − 2( ) ( 1)xf x e x x= − −  2( ) ( 1)xf x e x x= − − x∈R ( ) ( 1)( 2)xf x e x x′∴ = − + ∴ ( )f x ( , 2)−∞ − (1, )+∞ ( 2,1)− 1 2 2( 1) 1 ( 1)x xe x x e x x e− − − ≥ − ⇔ − − ≥ − ( )f x ( , 2)−∞ − (1, )+∞ ( 2,1)− x → −∞ ( ) 0f x +→ x → +∞ ( )f x → +∞ ( )f x∴ 1x = (1) ef = − 2( 1)xe x x e− − ≥ − 1 2( 1) 1xe x x− − − ≥ − E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F 2 2 P E 1| |PF 2 1− E l 1F A B、 OAB∆ 2 3 l 2 2 12 x y+ = 1 0x y+ + = 1 0x y− + = （1）设椭圆的标准方程为： 1（a＞b＞0），由离心率为 ，点 P 为椭圆 C 上任意一点，且|PF|的最小值为 1，求出 a2＝2，b2＝1，由此能求出椭圆 C 的方程； （2）设 的方程为： ，代入 得： ， 由弦长公式与点到线的距离公式分别求得 ，由面积公式得 的方程即可求解 【详解】 （1）设椭圆的标准方程为： 1（a＞b＞0）， ∵离心率为 ，∴ ，∴a ， ∵点 P 为椭圆 C 上任意一点，且|PF|的最小值为 1， ∴c＝1，∴a2＝b2+c2＝b2+1， 解得 a2＝2，b2＝1， ∴椭圆 C 的方程为 1． （2）因 ， 与 轴不重合，故设 的方程为： ， 代入 得： ， 其 恒成立，设 ，则有 ， 又 到 的距离 ，解得 ， 的方程为： 或 . 【点睛】 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，准确计 算是关键，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用． 22．已知函数 . 2 2 2 2 x y a b + = 2 2 2 − AB 1x my= − 2 2 12 x y+ = 2 2( 2) 2 1 0m y my+ − − = ,AB d m 2 2 2 2 x y a b + = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 c a be a a −= = = 2b= 2 − 2 2 2 x y+ = 1( 1,0)F − AB x AB 1x my= − 2 2 12 x y+ = 2 2( 2) 2 1 0m y my+ − − = > 0∆ 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1 22 2 2 1,2 2 my y y ym m −+ = ⋅ =+ + 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2( 1)1 ( ) 4 2 mAB m y y y y m +∴ = + + − = + O AB 2 1 1 d m = + 2 2 2 1 1 2 2( 1) 1 2 2 2 2 31OAB mS AB d m m ∆ +∴ = = =+ + 1m = ± l∴ 1 0x y+ + = 1 0x y− + = ( ) 3lnf x x ax= + （1）若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围； （2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 (1)先对 求导，然后分别讨论 和 时的情况，从而得到 的取 值范围； （2）可令 ，再 求导，就 和 两种情况再分别讨论恒成立问题即可得到答案. 【详解】 （1） ①当 时， 恒成立，故 在 上递增， 最多一个零点，不 合题意； ②当 时， ， ， 在 上递增，在 上递减， 且 时， ， 时， 故要 有两个零点，只需 ， 解得： ， 综合①、②可知， 的范围是： . （2）令 ， ①当 ， 恒成立， 在 上递增， ，符合题意； ( )f x a 2( ) 2 2xf x ax ax e e a> + − + − (1, )x∈ +∞ a 1( ,0)2e − 1( , ]2 e +−∞ ( ) 3lnf x x ax= + 0a ≥ 0a < a 2( ) ( ) ( 2 2 ) ln 2 2 ( 1)x xg x f x ax ax e e e x e ax a e x= − + − + − = + − + − > 0a ≥ 0a < ( ) 21 2 12 ( 0)axf x ax xx x +′ = + = > 0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ ( )f x 0a < ( ) 10 0 2f x x a ′ > ⇒ < < − ( ) 10 2f x x a ′ < ⇒ > − ( )f x∴ 1(0, )2a − 1( )2a − + ∞， 0x +→ ( )f x → −∞ x → +∞ ( )f x → −∞ ( )f x 1( ) 02f a − > 1 02 ae − < < a 1( ,0)2e − 2( ) ( ) ( 2 2 ) ln 2 2 ( 1)x xg x f x ax ax e e e x e ax a e x= − + − + − = + − + − > ( ) 1 2xg x e ax ′ = + − 0a ≤ ( ) 0g x′ > ( )g x∴ (1, )+∞ ( ) g(1) 0g x∴ > = ②当 时， 在 上递增， 在 上递增，又 ， 若 ，即 时， 恒成立，同①，符合题意， 若 ，即 时， 存在 ，使 ， 时， ， 时， ， 在 递减，在 上递增， 而 ，故不满足 恒成立， 综上所述， 的范围是： . 【点睛】 本题主要考查利用导函数求解零点中含参问题，恒成立中含参问题，意在考查学生的转 化能力，对学生的分类讨论的思想要求较高，难度较大. 0a > ( ) 2 1xg x e x ′′ = − (1, )+∞ ( ) ( )1 1 0g x g e′′ ′′∴ > = − > ( )g x′∴ (1, )+∞ ( )1 1 2g e a′ = + − ( )1 1 2 0g e a′ = + − ≥ 10 2 ea +< ≤ ( ) 0g x′ > ( )1 1 2 0g e a′ = + − < 1 2 ea +> 0 (1, )x ∈ +∞ ( ) 0g x′ = 01 x x∴ < < ( ) 0g x′ < 0x x> ( ) 0g x′ > ∴ ( )g x 0(1, )x 0( )x + ∞， (1) 0g = ( ) 0>g x a 1( , ]2 e +−∞