高中数学讲义微专题46 多变量表达式范围——消元法

高中数学讲义微专题46 多变量表达式范围——消元法

微专题 46 多变量表达式的范围——消元法 一、基础知识： 1、消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取 值共同影响），所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数， 从而有利于求表达式的范围（或最值），消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式， 进而可构造函数求得值域 2、常见消元的方法： （1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元， 在消元的过程中要注意以下几点： ① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数 的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂） ② 若 被 消 去 的 元 带 有 范 围 ， 则 这 个 范 围 由 主 元 承 担 。 例 如 选 择 为 主 元 ， 且 有 ，则 除了满足自身的范围外，还要满足 （即解不等式） （2）换元：常见的换元有两种： ①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可 通过换元转为一元表达式，常见的如 等，例如在 中，可变形为 ， 设 ，则将问题转化为求 的值域问题 注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围 ②三角换元：已知条件为关于 的二次等式时，可联想到三角公式，从而将 的表达式 转化为三角函数表达式来求得范围。因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所 以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有： 平方和：联想到正余弦平方和等于 1，从而有： 推广： 平 方 差 ： 联 想 到 正 割 （ ） 与 正 切 （ ） 的 平 方 差 为 1 ， 则 有 t  ,x f t a x b   t  a f t b  ,y y xx  x yu x y   1 1 y xu y x    yt x 1 1 tu t   ,x y ,x y 2 2 cos1 sin xx y y         , 0,2  2 2 2 2 cos1 sin x ax y y ba b         , 0,2  1 cos sintan cos   ， 推广： 注：若 有限定范围时，要注意对 取值的影响，一般地，若 的取值范围仅仅以象 限为界，则可用对应象限角的取值刻画 的范围 3、消元后一元表达式的范围求法： （1）函数的值域——通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域 （2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（ 等）的条件，则可 利用均值不等式快速得到最值。 （3）三角函数： ① 形如 的形式：则可利用公式转化为 的形式解得值域（或最 值） ② 形如 ：则可通过换元 将其转化为传统函数进行求解 ③ 形如： ，可联想到此式为点 和定点 连线的斜率，其中 为单位圆上的点，通过数形结合即可解得分式范围 二、典型例题： 例 1：设实数 满足 ，则 的取值范围是__________ 思路：考虑 可用 进行表示，进而得到关于 的函数，再利用不等式组中 天然成立的大小关系确定 的范围，再求出函数值域即可 解： 由 及 （*）可得： ，  2 2 1sec cos1 , 0,2sintan cos x x y y                 2 2 2 2 sec cos1 , 0,2sintan cos ax ax y ba b y b               ,x y   ,x y  2a b ab  sin cosa b   sinA    sinf  sint  sin cos a b      cos ,sin   ,a b  cos ,sin  , ,a x y 2 2 2 2 1 2 3 x y a x y a a         xy xy 2 2,x y x y  a 2 2,x y x y  a          2 22 2 2 21 1 12 1 2 3 = 3 6 42 2 2xy x y x y a a a a a                 2 2 2 2 1 2 3 x y a x y a a            2 2 22x y x y      2 22 1 2 2 3a a a    解得： 小炼有话说：（*）为均值不等式的变形： 例 2：已知函数 ，对任意的 ，存在 ，使得 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 思路：由已知 ，可得： ，考虑进行代入消元，但所给等式中无论 用哪个字母表示另一个字母，形式都比较复杂不利于求出最值。所以可以考虑引入新变量 作为桥梁，分别表示 ，进而将 变为关于 的表达式再求最值。 解：令 ，设 可得 且 为增函数 在 单调递减，在 单调递增 答案：D 2 22 22 2a     21 11 3 11 33 1 1 2, 22 4 2 4 2xy a                  22 2 2 2 2 2 222 2 2 2 x y x y x y x y x y x y                 1, ln 2 2 x xf x e g x   a R  0,b     f a g b b a 2 1e  2 1 2e  2 ln 2 2 ln 2    f a g b 1ln 2 2 a be   m ,a b b a m    f a g b m  1 2 ln 1ln 22 2 a m e m a m b m b e           1 22 lnm b a e m         1 22 ln 0m h m e m m      1 ' 2 12 m h m e m    ' 1 02h       'h m  '10, , 02m h m      '1 , , 02m h m       h m 10, 2      1 ,2        min min 1 2 ln 22b a h m h         例 3：设正实数 满足 ，则当 取得最小值时， 的最 大值为 思路：首先要通过 取得最小值，得到 之间的关系，然后将所求表达式进行消元，再 求最值即可。 解： ① 等号成立条件为： ，代入到①可得： 的最大值为 2 例 4：已知 ，且 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 所 求 表 达 式 为 ， 考 虑 消 元 ， 由 已 知 可 得 ， 从 而 ，达到消元效果，所求表达式为 ，进 而将问题转化为求函数的最值。先确定 的取值范围，由 可得 ，即 ，所以 ，所以当 时， 答案：A 小炼有话说：（1）本题处理的关键在于选择 作为核心变量，这是因为在条件中可得到 ，从而 可用 表示，使得消元变得可能 （ 2 ） 在 处 理 的 最 值 时 ， 也 许 会 想 到 均 值 不 等 式 ： zyx ,, 043 22  zyxyx z xy 2x y z  z xy , ,x y z 2 2 2 23 4 0 3 4x xy y z z x xy y        2 23 4 4 43 2 3z x xy y x y x y xy xy y x y x          2 24 4 2x y x y x yy x      2 2 22 3 2 4 2z y y y y y      22 , 2x y z y      22 22 2 2 2 2 2 2 1 2 2x y z y y y y y y              2x y z  0, 0, 0a b c   2 2 21, 4ab a b c    ab bc ac  1 2 2 3 3 4  1 c a b  2 2 24a b c   2 2 22 6a b a b ab c        21 6f c c c   c 2 2 24 2 2c a b ab     2 2c  0 2c       22 2 21 6 1 3 9f c c c c        2 2c     max 2 1 2 2f c f   c 2 2,ab a b  a b c    2 21 6f c c c   ，但看一下等号成立条件： 并不满足 ，故等号不成立。所以不能使用均值不等式求出最值。转而使用二次函数求得最 值。 例 5：已知 ，则 的最大值为________ 解： 设 ，其中 可知当 时， 答案： 例 6：若实数 满足条件 ，则 的取值范围是_________ 思 路 一 ： 考 虑 所 求 式 子 中 可 变 为 ， 所 以 原 式 变 形 为 ： ，可视为关于 的二次函数，设 ，其几何含义为 与 连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即 ，则 思路二：本题也可以考虑利用三角换元。设 ，从而原式转化为： ， 由 可 知 的范围为 答案： 例 7：已知函数 有两个极值点 ，且 ，则   2 2 2 2 66 32 c cc c     2 26 3c c c    0, 2c   2 2, ,2 1a b R a b   2 3a b  2 22 1a b     2 cos , 0,22 sin a b          22 3 2 cos sin 3 2 cos sin 32a b               3cos 3    1 2tan 22      cos 1    max2 3 3 3 3 3a b       3 3 ,x y 2 2 1x y  2 1 2y x x 2 1 x 2 2 2 x y x  22 2 2 2 2 1x y y y y x x x x           y x yt x  ,x y  0,0  1,1t        22 2 1 1 2 2,2f t t t t          1 sin, tancos cosx y      22 2cos 2 tan cos 1 sin 2sin sin 1 2                sin 1,1    2sin 1 2    2,2  2,2   2lnf x x x ax   ,m n 1 ,12m         f m f n 的取值范围是________ 解： 为方程 的两个根 代入 可得： 设 设 在 单调递减 即 答案： 例 8 ： 对 于 ， 当 非 零 实 数 满 足 且 使 最 大 时 ， 的最小值是________ 思路：首先要寻找当 最大时， 之间的关系，以便于求多元表达式的范围 从方程 入手，向 靠拢进行变形，在利用取得最大值时 的关系对所求 进行消元求最值。 解：由 可得：   2 ' 1 2 12 x axf x x ax x      ,m n 22 1 0x ax   1 1 2 2mn n m      12 22 am n a m n m m            2 2 2 2ln ln ln mf m f n m m am n n an m n a m nn                 2 2 2 2ln 2 lnm mm n m n m n m nn n         1 2n m      2 2 2 1ln 2 4f m f n m m m    2t m 1 ,12m      1 ,14t         1ln2 4g t t t t      2 ' 2 2 2 11 11 04 4 tg t t t t         g t 1 ,14      1 ,14t          1 3 31 , ln2 , ln24 4 4g t g g                     3 3ln2 , ln24 4f m f n        3 3ln2 , ln24 4      0c  ,a b 2 24 2 4 0a ab b c    2a b 3 4 5 a b c  2a b , ,a b c 2 24 2 4 0a ab b c    2a b , ,a b c 3 4 5 a b c  2 24 2 4 0a ab b c    （等号成立条件： 最大值是 ，从而可得： 解得： 答案： 的最小值为 例 9：已知函数 ，其中 且 （1）若 ，求函数 的极值 （ 2 ） 已 知 ， 设 为 的 导 函 数 ， 若 存 在 使 得 成立，求 的取值范围 解：（1）由已知可得： 令 ，即解不等式 解得： 或 的单调区间为：    22 2 2 2 24 2 4 4 4 3 6 2 3 2c a ab b a ab b b ab a b b b a                   2 2 32 3 2 2 2 22a b b a b a b b a b            22 22 22 2 2 4 a bb a bb a b                  2 2 2 223 3 52 2 2 2 22 2 4 8 a ba b b a b a b a b            25 28 a b c   2 2 3 2b a b b a    82 5 ca b   8 5 c  2 3 2 8 82 25 5 b a c ca b a b        2 3 2 10 a b c b     2 2 2 2 3 4 5 3 4 5 1 2 1 1 4 1 1 2 2 23 10 2 2 2 2 a b c b b b b b b bb                         3 4 5 a b c  2   xax bf x ex  ,a b R 0a  2, 1a b   f x      1 xg x a x e f x    'g x  g x 1x     ' 0g x g x  b a   2 1 12x xxf x e ex x          2 ' 2 2 2 1 1 1 1 2 12 2x x x xx xf x e e e ex x x x x                           ' 0f x    22 1 0 2 1 1 0x x x x       1x   1 2x   f x 的极大值为 的极小值为 （2）由已知可得： 即 设 可得当 时， 恒成立 在 单调递增 ，即 例 10：已知函数 ，其中 （1）求 的单调区间 （2）若 ，且存在实数 ，使得对任意实数 ，恒有 x  , 1   1,0 10, 2      1 ,2      'f x      f x      f x   11f e   f x 1 42f e        1 x xbg x a x e a ex         ' 2 1x xbg x axe a ex x              ' 2 10 1 0x x x xb bg x g x a x e a e axe a ex x x                     2 22 3 0b bax ax x       22 3 2 1a x x b x     2 3 22 3 2 3 2 1 2 1 x xb x x a x x       3 22 3 2 1 x xh x x                2 3 2 2 ' 2 2 6 6 2 1 2 2 3 2 4 6 3 2 1 2 1 x x x x x x x x h x x x             1,x    ' 0h x   h x  1,    1 1h x h     1,b a      lnf x x ax b   ,a b R  f x  1, 0,2a b  k  1,x e   ln 1f x kx x x   成立，求 的最大值 解：（1） 当 时， 在 单调递增 当 时， 在 单调递增， 单调递减 （2） 思路：恒成立的不等式为： ，即 ， 设 ，可得： ，从而通过讨论 的符号确定 的单调性，进而求出 的最小值（含 的表达式），进而将 放缩成单变量表达 式，求出 的最大值 解：恒成立的不等式为： 设 即 由（1）可得： 在 单调递减 ① 若 则 即 在 上单调递增 ② 若 即 则 即 在 上单调递减 k b  ' 1 1 axf x ax x     ,0a   1 0ax   ' 0f x   f x  0,  0,a    f x 10, a      1 ,a     ln ln 1x x b kx x x     min ln 1ln 1x bk xx x          ln 1ln 1x bg x xx x        ' f xg x x   f x  g x  g x b k b k b ln ln 1x x b kx x x     ln 1ln 1x bk xx x        min ln 1ln 1x bk xx x           ln 1ln 1x bg x xx x      ' 2 2 2 2 1 ln 1 1 1 ln 1 lnx b x x b x x bg x x x x x x                  ' 2 f xg x x   f x  1,e    max 1 1f x f b       min 1f x f e b e       1 1 0 0,1f b b        1 0f x f   ' 0g x   g x  1,e    min 1k g x g b      0k b     1 0f e b e    1 2e b       0f x f e   ' 0g x   g x  1,e ，而 ③ 当 时， 在 单调递减，在 上单调递增 单调递减 综上所述： 的最大值为    min 2bk g x g e e     2 1 21bk b b be e e             1 2 1 2 11 1 1 2 0b e ee e e e e                     1, 1b e         0 0 1 0 1, , 0 0 f x e f x f e        g x  01, x  0,x e      0 0 0 0min 0 0 0 1 1ln lnf xk g x g x x xx x x         0 0 0ln 0f x x x b    0 0 0 0 0 1 1ln 2lnk b x b x xx x          12lnh x x xx     2 ' 2 2 1 11 1 0h x x x x            h x  1 0k b h    k b 0