2018-2019学年四川省内江市高二下学期期末检测数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年四川省内江市高二下学期期末检测数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省内江市高二下学期期末检测数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设i是虚数单位，则复数的虚部是（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部.‎ ‎【详解】‎ ‎，因此，该复数的虚部为，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的概念，考查复数虚部的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将椭圆方程化为标准方程，根据题中条件列出关于的不等式，解出该不等式可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的标准方程为，由于该方程表示焦点在轴上的椭圆，‎ 则，解得，因此，实数的取值范围是，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，考查根据方程判断出焦点的位置，解题时要将椭圆方程化为标准形式，结合条件列出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎3．方程至少有一个负根的充要条件是 A． B． C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：①时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则；‎ 若方程有两个负的实根，则必有．‎ ‎②若时，可得也适合题意．‎ 综上知，若方程至少有一个负实根，则．反之，若，则方程至少有一个负的实根，‎ 因此，关于的方程至少有一负的实根的充要条件是．‎ 故答案为：C ‎【考点】充要条件，一元二次方程根的分布 ‎4．下列说法中正确的个数是（ ）‎ ‎①命题：“、，若，则”，用反证法证明时应假设或；‎ ‎②若，则、中至少有一个大于；‎ ‎③若、、、、成等比数列，则；‎ ‎④命题：“，使得”的否定形式是：“，总有”.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据命题的否定形式可判断出命题①的正误；利用反证法可得出命题②的真假；设等比数列的公比为，利用等比数列的定义和等比中项的性质可判断出命题③的正误；利用特称命题的否定可判断出命题④的正误.‎ ‎【详解】‎ 对于命题①，由于可表示为且，该结论的否定为“或”，所以，命题①正确；‎ 对于命题②，假设且，由不等式的性质得，这与题设条件矛盾，假设不成立，故命题②正确；‎ 对于命题③，设等比数列、、、、的公比为，则，.‎ 由等比中项的性质得，则，命题③错误；‎ 对于命题④，由特称命题的否定可知，命题④为真命题，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，涉及反证法、等比中项以及特称命题的否定，理解这些知识点是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎5．已知，、，则向量与的夹角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设向量与的夹角为，计算出向量与的坐标，然后由计算出的值，可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 设向量与的夹角为，‎ ‎，，‎ 则，所以，，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎6．函数的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出函数的定义域和导数，然后在定义域内解不等式可得出函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，且，‎ 解不等式，即，由于，解得.‎ 因此，函数的单调递增区间为，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的单调区间，解题时要注意导数与函数单调区间之间的关系，另外解出相应的导数不等式后，还应将不等式的解集与定义域取交集即可得出函数的单调区间，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎7．执行如图的程序框图，若输出的，则输入的整数的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】列举出算法的每一步循环，根据算法输出结果计算出实数的取值范围，于此可得出整数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 满足条件，执行第一次循环，，；‎ 满足条件，执行第二次循环，，；‎ 满足条件，执行第二次循环，，.‎ 满足条件，调出循环体，输出的值为.‎ 由上可知，，因此，输入的整数的最小值是，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查算法框图的应用，解这类问题，通常列出每一次循环，找出其规律，进而对问题进行解答，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎8．双曲线经过点，且离心率为，则它的虚轴长是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题中条件列出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出该双曲线的虚轴长.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，解得，因此，该双曲线的虚轴长为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线虚轴长的计算，解题的关键利用题中条件列方程组求、的值，考查方程思想的应用，属于中等题.‎ ‎9．若随机变量服从正态分布，则（ ）‎ 附：随机变量，则有如下数据：，‎ ‎，.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先将、用、表示，然后利用题中的概率求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，，则，，，‎ 因此，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用正态分布原则求概率，解题时要将相应的数用和加以表示，并利用正态曲线的对称性列式求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎10．已知展开式中项的系数为，其中，则此二项式展开式中各项系数之和是（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】利用二项式定理展开通项，由项的系数为求出实数，然后代入可得出该二项式展开式各项系数之和.‎ ‎【详解】‎ 的展开式通项为，‎ 令，得，该二项式展开式中项的系数为，得.‎ 当时，二项式为，其展开式各项系数和为；‎ 当时，二项式为，其展开式各项系数和为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式定理展开式的应用，同时也考查了二项式各项系数和的概念，解题的关键就是利用二项式定理求出参数的值，并利用赋值法求出二项式各项系数之和，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎11．椭圆短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用等面积法得出、、的等式，可得出、‎ 的等量关系式，可求出椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积为，‎ 该三角形的周长为，由题意可得，可得，‎ 得，因此，该椭圆的离心率为，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆离心率的计算，解题时要结合已知条件列出有关、、的齐次等式，通过化简计算出离心率的值，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎12．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 构造函数，对任意实数，都有，‎ 则，‎ 所以，函数为偶函数，.‎ 当时，，则函数在上单调递减，‎ 由偶函数的性质得出函数在上单调递增，‎ ‎，即 ‎，‎ 即，则有，‎ 由于函数在上单调递增，，即，解得，‎ 因此，实数的最小值为，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数不等式的求解，同时也涉及函数单调性与奇偶性的判断，难点在于根据导数不等式的结构构造新函数，并利用定义判断奇偶性以及利用导数判断函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．某单位在名男职工和名女职工中，选取人参加一项活动，要求男女职工都有，则不同的选取方法总数为______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】在没有任何限制的条件下，减去全是女职工的选法种数可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，全是女职工的选法种数为，‎ 因此，男女职工都有的选法种数为，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查组合问题，利用间接法求解能简化分类讨论，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎14．正方体中，、分别是、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，利用空间向量法计算出直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ 设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、‎ 所在直线分别为轴、轴、轴建立如下图所示空间直角坐标系.‎ 则点、、、、、，‎ 设平面的一个法向量为，则，.‎ 由，即，得，令，则，.‎ 可知平面的一个法向量为，又.‎ ‎，‎ 因此，直线与平面所成角的正弦值为，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面所成角的正弦的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题利用空间向量法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎15．已知函数，若函数在上为单调函数，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分两种情况讨论：函数在区间上为增函数或减函数，转化为或在区间上恒成立，利用参变量分离得出或在区间上恒成立，然后利用单调性求出函数在区间上的最大值和最小值，可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，.‎ ‎①当函数在区间上单调递增，则不等式在区间上恒成立，‎ 即，则，由于函数在区间上单调递增，‎ ‎，，，解得；‎ ‎②当函数在区间上单调递减，则不等式在区间上恒成立，‎ 即，则，由于函数在区间上单调递增，‎ ‎，，，解得.‎ 因此，实数的取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，解题时要注意函数的单调性与导数的符号之间的关系，另外利用参变量分离法进行求解，可简化计算，考查化归与转化数学思想，属于中等题.‎ ‎16．已知为抛物线的焦点，点、在抛物线上位于轴的两侧，且（其中为坐标原点），若的面积是，的面积是，则的最小值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设点、，并设，则，利用，可得出，并设直线的方程为，将此直线与抛物线的方程联立，利用韦达定理可求出的值，可得出直线过定点，再利用三角形的面积公式以及基本不等式可求出的最小值.‎ ‎【详解】‎ 设点、，并设，则，‎ ‎，则，‎ 易知，得，.‎ 设直线的方程为，代入抛物线的方程得，则，‎ 得，所以直线的方程为，直线过轴上的定点，‎ ‎，‎ 当且仅当时，等式成立，因此，的最小值为，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与抛物线的综合问题，常规思路就是设出直线方程，将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理求解，另外在求最值时，充分利用基本不等式进行求解，难点在于计算量较大，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．（1）证明不等式：，；‎ ‎（2）已知，；；p是q的必要不充分条件，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）.‎ ‎【解析】（1）构造函数，将问题转化为，然后利用导数求出函数的最小值即可得证；‎ ‎（2）解出命题中的不等式，由题中条件得出的两个取值范围之间的包含关系，然后列出不等式组可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）即证：，.‎ 令，，则，令，得.‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数单调递减区间为，单调递增区间为.‎ 所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.‎ 因此，，因此，对任意的，；‎ ‎（2）解不等式，得，则.‎ 由于是的必要不充分条件，则，‎ 则有，解得.‎ 当时，则，合乎题意.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题第（1）考查利用导数证明函数不等式，一般构造差函数，转化为差函数的最值来证明，第（2）问考查利用充分必要条件求参数的取值范围，一般转化为两集合间的包含关系求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.‎ ‎18．已知椭圆.‎ ‎（1）求椭圆C的离心率e；‎ ‎（2）若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积.‎ ‎【答案】（1） ；（2）.‎ ‎【解析】（1）将椭圆的方程化为标准方程，得出、与的等量关系，可得出椭圆的离心率的值；‎ ‎（2）设直线的方程为，设点、，将的值代入得出椭圆的方程，将直线的方程与椭圆联立，消去，列出韦达定理，利用弦长公式结合条件可求出，利用点到直线的距离公式计算出原点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式可得出的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）椭圆，椭圆长半轴长为，短半轴长为，‎ ‎；‎ ‎（2）设斜率为的直线的方程为，且、，‎ ‎，椭圆的方程为，‎ 由，.消去得，又有.‎ ‎，‎ 解得：满足，直线的方程为.‎ 故到直线的距离，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆离心率的计算，考查椭圆中的弦长与三角形面积的计算，一般将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理与弦长公式进行计算求解，难点在于计算量大，属于中等题.‎ ‎19．现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.‎ 月收入（单位百元）‎ 频数 赞成人数 ‎（1）由以上统计数据填下面列联表，并问是否有的把握认为“月收入以 元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；‎ 月收入不低于百元的人数 月收入低于百元的人数 合计 赞成 ‎______________‎ ‎______________‎ ‎______________‎ 不赞成 ‎______________‎ ‎______________‎ ‎______________‎ 合计 ‎______________‎ ‎______________‎ ‎______________‎ ‎（2）若对在、的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的人中不赞成“楼市限购令”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考值表：‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为月收入以元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异 ；（2），分布列见解析.‎ ‎【解析】（1）根据题干表格中的数据补充列联表，并计算出的观测值，将观测值与作大小比较，于此可对题中结论进行判断；‎ ‎（2）由题意得出随机变量的可能取值有、、、，然后利用超几何分布概率公式计算出随机变量在相应取值时的概率，可得出随机变量的分布列，并计算出该随机变量的数学期望.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）列联表：‎ 月收入不低于百元的人数 月收入低于百元的人数 合计 赞成 ‎______________‎ ‎______________‎ ‎_________‎ 不赞成 ‎______________‎ ‎______________‎ ‎___________‎ 合计 ‎____________‎ ‎______________‎ ‎_________‎ ‎ ‎ 则没有的把握认为月收入以元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；‎ ‎（2）的所有可能取值有：、、、. ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 则的分布列如下表：‎ 则的期望值是：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验以及随机变量分布列与数学期望的计算，解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，再结合相应的概率公式计算即可，考查分析问题与计算能力，属于中等题.‎ ‎20．如图，矩形所在的平面与直角梯形所在的平面成的二面角，，，，，，.‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）在线段上求一点，使锐二面角的余弦值为.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）为线段的中点.‎ ‎【解析】（1）利用面面平行的判定定理证明出平面平面，再利用平面与平面平行的性质得出平面；‎ ‎（2）由，，由二面角的定义得出，证明出平面平面，过点在平面内作，可证明出平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，利用向量法结合条件锐二面角的余弦值为求出的值，由此确定点的位置.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在矩形中，，又平面，平面，‎ 平面，同理可证平面，‎ ‎，、平面，平面平面，‎ 平面，平面；‎ ‎（2）在矩形中，，又，则矩形所在平面与直角梯形所在平面所成二面角的平面角为，即.‎ 又，平面，‎ 作于，平面，，‎ 又，、平面，平面.‎ 作于，，，，‎ ‎，，，.‎ 以为原点，、所在直线分别为轴、轴如图建立空间直角坐标系，‎ 则、，设.‎ 则，，‎ 设平面的一个法向量为，则，即，取，则，，则平面的一个法向量为.‎ ‎.又平面的一个法向量为，，‎ 解得或（舍去）.‎ 此时，， 即所求点为线段的中点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面平行的证明，以及二面角的计算，解题时要注意二面角的定义，本题考查二面角的动点问题，一般要建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21．已知抛物线上一点到焦点的距离，倾斜角为的直线经过焦点，且与抛物线交于两点、.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程及准线方程；‎ ‎（2）若为锐角，作线段的中垂线交轴于点.证明：为定值，并求出该定值.‎ ‎【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；‎ ‎（2）为定值，证明见解析.‎ ‎【解析】（1）利用抛物线的定义结合条件，可得出，于是可得出点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线的方程求出的值，于此可得出抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去，列出韦达定理，计算出线段的中点的坐标，由此得出直线的方程，并得出点的坐标，计算出和的表达式，可得出，然后利用二倍角公式可计算出为定值，进而证明题中结论成立.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由抛物线的定义知，，.‎ 将点代入，得，得.‎ 抛物线的方程为，准线方程为；‎ ‎（2）设点、，设直线的方程为，‎ 由，消去得：，则，‎ ‎，.‎ 设直线中垂线的方程为：，‎ 令，得：，则点，，.‎ ‎，‎ 故为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，以及直线与抛物线的综合问题，常将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理进行计算，解题时要合理假设直线方程，可简化计算.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当时，求证：在上是单调递减函数；‎ ‎（2）若函数有两个正零点、，求的取值范围，并证明：.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）实数的取值范围是，证明见解析.‎ ‎【解析】（1）由题意得出在区间上恒成立，由得出，构造函数，证明在区间上恒成立即可；‎ ‎（2）由利用参变量分离法得出，将题意转化为当直线与函数在上有两个交点时求 的取值范围，利用数形结合思想求解即可，然后由题意得出，取自然对数得，等式作差得，利用分析得出所证不等式等价于，然后构造函数证明即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），.‎ 由题意知，不等式在区间上恒成立，‎ 由于，当时，，‎ 构造函数，其中，则，令，得.‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即，‎ ‎，所以，.‎ 所以，不等式在区间上恒成立，‎ 因此，当时，函数在上是单调递减函数；‎ ‎（2）令，可得 令，则.‎ 当时，，当时，.‎ 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.‎ ‎，‎ 当时，，当时..‎ 时，函数有两个正零点，因此，实数的取值范围是.‎ 由上知时，，‎ 由题意得，上述等式两边取自然对数得，‎ 两式作差得，，‎ 要证，即证.‎ 由于，则，即证，‎ 即证，令，即证，其中.‎ 构造函数，其中，即证在上恒成立.‎ ‎，所以，函数在区间上恒成立，‎ 所以，，因此，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数证明函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，难点在于构造新函数，借助新函数的单调性来证明，考查化归与转化数学思想的应用，属于难题.‎