2019衡水名师原创文科数学专题卷专题十三《圆锥曲线与方程》

2019衡水名师原创文科数学专题卷专题十三《圆锥曲线与方程》

‎2019衡水名师原创文科数学专题卷 专题十三 圆锥曲线与方程 考点39：椭圆及其性质(1-5题，13,14题)‎ 考点40：双曲线及其性质（6-10题，15题）‎ 考点41：抛物线及其性质（11,12题）‎ 考点42：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题）‎ 考点43：圆锥曲线的综合问题（16题，17-22题）‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I卷（选择题）‎ 一、选择题 ‎1.过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若,则椭圆的离心率为(     )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知椭圆的左、右顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知椭圆与双曲线有相同的右焦点,点是椭圆和双曲线的一个公共点,若,则椭圆的离心率为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.如图, ,为椭圆长轴的左、右端点, 为坐标原点, ,,为椭圆上不同于,的三点,直线,,,围成一个平行四边形,则 (   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5已知椭圆的左焦点为,有一小球从处以速度开始沿直线运动,经椭圆壁反射(无论经过几次反射速度大小始终保持不变,小球半径忽略不计),若小球第一次回到时,它所用的最长时间是最短时间的倍,则椭圆的离心率为(   )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.若椭圆过抛物线的焦点,且与双曲线有相同的焦点,则该椭圆的方程是(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.双曲线离心率为,左右焦点分别为为双曲线右支上一点, 的平分线为,点关于的对称点为,,则双曲线方程为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.如图,双曲线的左、右焦点分别为,过作一条与渐近线的平行线分别交轴和双曲线左支于点,过作于点,若分别为线段的两个三等分点,则双曲线的离心率为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.、分别是双曲线的左顶点和右焦点, 、在双曲线的一条渐近线上的射影分别为、,为坐标原点, 与的面积之比为,则该双曲线的离心率为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知为双曲线的左焦点,点为双曲线虚轴的一个顶点,过的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为,若,则此双曲线的离心率是(   )‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎11已知抛物线:的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于、两点,直线与交于、两点,则的最小值为(   )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,且,抛物线的准线与轴交于点,于点,若四边形的面积为,则准线的方程为(   )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎13.在平面直角坐标系中,已知点在椭圆上,点满足,且,则线段在轴上的投影长度的最大值为__________‎ ‎14.,分别为椭圆的左、右焦点, 为椭圆上一点,且,,则__________.‎ ‎15.设、分别是双曲线的左右焦点,点,若,则双曲线的离心率为__________.‎ ‎16已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点,若为的中点,则        .‎ 三、解答题 ‎17.已知椭圆的一个顶点为离心率为.直线与椭圆交于不同的两点 ‎1.求椭圆的方程 ‎2.当的面积为时,求的值 ‎18.已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为,,是椭圆的长轴的两个端点(位于右侧), 是椭圆在轴正半轴上的顶点.‎ ‎1.求椭圆的标准方程;‎ ‎2.是否存在经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同两点和,使得向量与共线?如果存在,求出直线方程;如果不存在,请说明理由.‎ ‎19.已知椭圆 ()的短轴长为,焦距为 ‎1.求椭圆的方程 ‎2.过作斜率不为的直线交椭圆于两点,点关于轴的对称点为.‎ ‎①求直线与轴的交点的坐标;‎ ‎②求面积的最大值.‎ ‎20.已知过的动圆恒与轴相切,设切点为,是该圆的直径.‎ ‎1.求点轨迹的方程;‎ ‎2.当不在轴上时,设直线与曲线交于另一点,该曲线在处的切线与直线交于点.求证: 恒为直角三角形.‎ ‎21.如图,在平面直角坐标系中,已知圆,椭圆为椭圆右顶点.过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点,直线与圆 的另一交点为,直线与圆的另一交点为,其中.设直线的斜率分别为.‎ ‎1.求的值;‎ ‎2.记直线的斜率分别为,是否存在常数,使得?若存在,求值;若不存在,说明理由.‎ ‎参考答案 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.答案：B 解析：由题意得,知,又,有,从而可得,故选B.‎ ‎2.答案：A 解析：‎ ‎3.答案：B 解析：‎ ‎4.答案：A 解析：设,,, ,斜率分别为,,则,的斜率为,,且,所以,同理,因此.故选A.‎ 答案： D 解析： 因为左焦点到左顶点的距离最近,到右顶点的距离最大,所以由题设可得,即,应选答案D。‎ ‎6.答案：D 解析：‎ ‎7.答案：C 解析：‎ ‎8.答案：B 解析：‎ ‎9.答案：D 解析：,所以,所以椭圆的离心率,故选D.‎ ‎10.答案：A 解析：过的直线方程为①,一条渐近线方程为②,联立①②,解得交点,由,得.‎ 答案： A ‎12.答案：A 解析：由题意,知,直线的方程为.设,,则, .由,得,即 ①.设直线的方程为,代入抛物线方程消去,得,所以 ②.联立①②,得或 (舍去),所以.因为,将,的值代入解得,所以直线的方程为,故选A.‎ 二、填空题 ‎13.答案：‎ 解析：‎ ‎14.答案：6‎ 解析：由椭圆方程,得,由椭圆定义可得,因为,所以为的中点, ,所以为中点,因为为中点,所以,,所以.‎ ‎15.答案：2‎ 解析：‎ 答案： 6‎ 解析： 如图所示,不妨设点位于第一象限,设抛物线的准线与轴交于点,做与点,与点,‎ 由抛物线的解析式可得准线方程为,则,,‎ 在直角梯形中,中位线,‎ 由抛物线的定义有:,结合题意,有,‎ 线段的长度:。‎ 三、解答题 ‎17.答案：1.椭圆的方程为 2. ‎ 解析：1.由题意得,‎ 解得,‎ 所以椭圆的方程为 2.由,得  ‎ 设点的坐标分别为,‎ 则,,‎ 所以   ‎ 又因为点到直线的距离,‎ 所以的面积为 由得,    ‎ ‎18.答案：1.设椭圆的方程为,‎ 依题意得解得,.‎ 所以椭圆的方程为. 2.假设存在过点且斜率为的直线适合题意,‎ 则因为直线的方程为: ,于是联立方程, .‎ 由直线与椭圆交于不同两点和知, ,∴.‎ 令,,∴,‎ ‎∵,  ,‎ ‎∴ ,‎ 由题知, , .‎ 从而,根据向量与共线,可得,,这与矛盾.‎ 故不存在符合题意的直线.‎ 解析：‎ ‎19.答案：1.由题可知  2.①设直线方程为,点,,则点,得,,,直线的方程为,令,得 ‎ ‎②令当时, ‎ 解析：‎ ‎20.答案：1.设点坐标为,则点坐标为.‎ 因为是直径,所以,或、均在坐标原点.‎ 因此 ,而 , ,‎ 故有,即,‎ 另一方面,设是曲线上一点,‎ 则有,中点纵坐标为,‎ 故以为直径的圆与 轴相切.‎ 综上可知点轨迹的方程为. 2.设直线的方程为,由得: .‎ 设,,则有.‎ 由对求导知,‎ 从而曲线在处的切线斜率,‎ 直线的斜率,于是.‎ 因此.‎ 所以恒为直角三角形.‎ 解析：‎ ‎21.答案：1.设,则所以         2.联立得,‎ 解得,‎ 联立得,‎ 解得 所以,‎ 所以,故存在常数,使得.‎ 解析：‎