2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则=（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：直接利用交集的定义求解.‎ 详解：集合，‎ ‎，故选D.‎ 点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.‎ ‎2．若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标即可得到结论.‎ 详解：，‎ ‎ ，‎ 在复平面内所对应的点坐标为，位于第二象限，故选B.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质，对选项中的函数逐一验证判断即可.‎ 详解：四个选项中的函数都是偶函数，‎ 在上三个函数在上都递减，不符合题意，‎ 在上递增的只有，而故选D．‎ 点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.‎ ‎4．（2018年天津市河西区高三三模）已知双曲线：的虚轴长为，右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由虚轴长为可得，由到渐近线的距离为可解得，从而可得结果.‎ 详解：由虚轴长为可得，‎ 右顶点到双曲线的一条渐近线距离为，‎ ‎，解得，‎ 则双曲线的方程为，故选A.‎ 点睛：用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程 或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎5．为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为0001，0002，…，2000的2000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为0003，则最后一个样本编号是（ ）‎ A． 0047 B． 1663 C． 1960 D． 1963‎ ‎【答案】D ‎【解析】,故最后一个样本编号为,故选D.‎ ‎6．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷个点，已知恰有个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先根据题中所给的正方形的边长，可以求得正方形的面积，再根据随机投掷的点的个数以及落在阴影部分的点的个数，可以得出阴影的面积与正方形的面积比，结合几何概型的有关知识，可以求得阴影部分的面积.‎ 详解：根据题意，正方形的面积为，‎ 所以阴影部分的面积，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关几何概型的有关知识，首先根据题中所给的落在阴影部分的点的个数和随机投掷的点的总数，可以求得其比值，结合，求得结果.‎ ‎7．若，，满足，，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先化成对数，再根据对数单调性比较大小.‎ 详解：因为，，所以 因为单调递增，所以 因此，‎ 选A.‎ 点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 ‎8．（2018年天津市河西区高三三模）设，则“”是“直线和直线平行”的（ ）‎ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】分析：先求出两直线垂直的充要条件，再利用集合间的包含关系进行判定.‎ 详解：若直线和直线平行，‎ 则，即，‎ 即“”是“直线和 直线平行”的充分必要条件.‎ 点睛：本题考查充分条件、必要条件的判定、两直线平行的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． 8 C． 6 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，它的底面是一个长宽分别为的矩形，棱锥的高为，利用棱锥的体积公式可得结果.‎ 详解：根据三视图知：‎ 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，‎ 它的底面是个长宽分别为的矩形，‎ 棱锥的高为，‎ ‎，故选A.‎ 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎10．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位后， 得到函数的图象对应的函数解析式为 ‎ 再根据所得函数为偶函数，可得 ‎ 故的一个可能取值为： ‎ 故选B．‎ ‎11．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，且侧棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=3，，则球的表面积为（　　）‎ A． 36π B． 64π C． 100π D． 104π ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出，由正弦定理可得可得外接圆的半径，从而可求该三棱柱的外接球的半径，即可求出三棱柱的外接球表面积.‎ 详解：‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎∴三角形的外接圆直径 ，‎ ‎，‎ 平面，‎ ‎，‎ ‎∴该三棱柱的外接球的半径，‎ ‎∴该三棱柱的外接球的表面积为，故选C．‎ 点睛：本题主要考查三棱柱的外接球表面积，正弦定理的应用、余弦定理的应用以及考查直线和平面的位置关系，意在考查综合空间想象能力、数形结合思想以及运用所学知识解决问题的能力.‎ ‎12．设是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意为偶函数，先求得在上连续，且为减函数 ‎，等价于，即有，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求最大值.‎ 详解：易知函数在上单调递减，‎ 又函数是定义在上的偶函数，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 则由，‎ 得，即，‎ 即 在上恒成立，‎ 则，‎ 解得，即m的最大值为，故选B.‎ 点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：‎ ‎（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性；‎ ‎（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；‎ ‎（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.‎ 二、填空题 ‎13．已知实数满足则的最大值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】分析：画出不等式组对应的可行域，利用线性规划就可以求出的最大值．‎ 详解：可行域如图所示，由 的，当东至县过时，，故填．‎ 点睛：一般地，二元不等式（或等式）条件下二元函数的最值问题可以用线性规划或基本不等式求最值．‎ ‎14．在二项式的展开式中，的系数为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r的值，然后求解的系数即可.‎ 详解：结合二项式定理的通项公式有：，‎ 令可得：，则的系数为：.‎ 点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．‎ ‎(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．‎ ‎15．已知直线l过点（1,0）且垂直于