2017-2018学年山东省济南市历城第二中学高二下学期阶段考试（6月月考）数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 ‎【全国百强校】山东省济南市历城第二中学2017-2018学年高二下学期阶段考试（6月月考）数学（文）试题 试卷副标题 考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知全集,集合,,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴．选C．‎ ‎2．若复数(为虚数单位),则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ,选C.‎ ‎3．给出下列四个命题:①命题“若,则”的逆否命题为假命题:‎ ‎②命题“若.则”的否命题是“若,则”；‎ ‎③若“”为真命题,“”为假命题,则为真命题, 为假命题；‎ ‎④函数 有极值的充要条件是或.‎ 其中正确的个数有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：①根据原命题与逆否命题的等价性可判断；②根据否命题的定义判断；③根据“或命题”与“且命题”的性质判断；④根据有两相异根的充要条件判断.‎ 详解：①因为命题“若，则”为真命题，所以其逆否命题为真命题，①错；‎ ‎② “若，则”的否命题是“若，则”， ②正确；‎ ‎③若“”为真命题，“”为假命题，则真假，或假真，③错；‎ ‎④求得，方程有两个不同解的充要条件是 或，所以函数有极值的充要条件是或，④正确，故选B.‎ 点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的极值、充要条件、四个命题之间的关系，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ ‎4．若角的终边与单位圆交于点,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意可得：，‎ 故选 ‎5．函数 的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由偶次方根式的被开方数大于或等于0，分式分母不等于0，对数的真数大于0，求得函数的定义域。‎ 详解：由题意可得，化简得，解得 ，选D.‎ 点睛：常见基本初等函数的定义域：‎ ‎(1)整式函数的定义域是R ‎(2)分式函数中分母不等于零．‎ ‎(3)偶次根式函数、被开方式大于或等于0.‎ ‎(4)对数函数的真数大于0.‎ ‎(5)y＝ax，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R．‎ ‎(6)y＝tanx的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．‎ ‎(7)实际问题要满足实际意义。‎ ‎6．在锐角中,角所对的边长分别为，, 则角等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可得：‎ ‎7．函数的图象可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由函数的奇偶性可排除选项A,D,再由函数在的右极限，可排除选项C。‎ 详解：由函数奇偶性可知题中函数为奇函数数，排除选项A,D。当时，，所以排除选项C,选B.‎ 点睛：对函数识图类型题，一般采用排除法，先考虑整体性质（如定义域、值域、奇偶性、对称性、有界性、周期性等），再考虑局部性质（如单调性、特殊点、正负性、保号性等），再考虑极限等，排除错误选项，最后一个剩下的为正确选项。‎ ‎8．已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：取中间量0和1，再由指数函数与对函数的性质及单调性可求得范围，可比较出三个数大小。‎ 详解：由题意可得，所以，选B.‎ 点睛：本题考查的是比较指数式及对数式值的大小，构造合适函数，利用指数函数与对数函数的性质及单调性，结合中间量是常用方法。‎ ‎9．在如图所示的程序框图中，若输出的，则判断框内可以填入的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析: 利用程序框图的循环结构求出结果，从而明确判断框内填入的条件．‎ 详解: 根据程序框图的循环结构，‎ 循环前：i=1，S=2‎ 第一次循环时：S=4，i=2，‎ 第二次循环时：S=8，i=3，‎ ‎…‎ 当i≥11时，输出的S=2048，‎ 故选：A．‎ 点睛: 算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎10．已知数列的前项和为,且满足，，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，、‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴‎ 故选：A ‎11．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.‎ 详解：因为是定义域为的奇函数，且，‎ 所以,‎ 因此，‎ 因为，所以，‎ ‎，从而，选C.‎ 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．‎ ‎12．若点在函数的图象上,点在函数的图象上，则的最小值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】平移直线，当平移后的直线与函数的图象相切时，切点到直线的距离为的最小值，因为，令，解得，则的最小值为；故选B.‎ 点睛：本题的难点有两个：一是要正确理解的几何意义，即点和点的距离的平方，二是搞清和点的距离何时取得最小值.‎ ‎13．如图,在平面四边形中, ,,，若点为边上的动点,则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。‎ 详解：连接AD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设 ‎ ‎ ‎= ‎ 所以当时，上式取最大值 ，选A.‎ 点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。‎ ‎14．已知是奇函数,且当时, 单调递减,若，则函数的零点个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由函数的奇偶性与单调性知函数f(x)有三个零点-1,0,1,所以只需,或即可求得函数的零点个数。‎ 详解：由于函数是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,且当时, 单调递减,，所以f(-1)=0,函数f(x)只有三个零点-1,0,1.‎ 所以函数y=的零点为，,或，即 或1或-1,解得x=1,或x=-1,或，或，共6个零点，选D.‎ 点睛：（1）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)。‎ ‎（2）若连续函数在(a,b)上单调，则函数在区间（a,b）上至多一个零点。‎ ‎15．在正整数数列中,由1开始按如下规则依次取它的项:第一次取1;第二次取2个连续偶数;第三次取3个连续奇数;第四次取4个连续偶数;第五次取5个连续奇数；……按此规律取下去,得到一个子数列，，……则在这个子数列中,第个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由归纳可得，第m次取，最后一个数为，共个数，所以第63次取数是第2016项，，可求第2018项。‎ 详解：由题意得，第一次取数为1，共1个数，‎ 第二次取，数列为连续正整数少1个数，所以最后一个数为1+2+1=4=.共1+2个数 第三次取，数列为连续正整数少1+2个数，所以最后一个数为1+2+3+2+1=9=，共1+2+3个数，‎ 第四次取，数列为连续正整数少1+2+3个数，所以最后一个数为1+2+3+4+3+2+1=16=，共1+2+3+4个数 第五次取，数列为连续正整数少1+2+3+4个数，所以最后一个数为1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=，共1+2+3+4+5个数。‎ 第m次取，最后一个数为1+2+3+，共1+2+个数 而，所以第63次取数是第2016项，，所以，选D.‎ 点睛：归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．本题利用归纳，猜想找出数列的规律。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎16．设向量,,且,则的值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】分析：由两向量垂直，可得数量积为0，代入坐标运算可解得x的值。‎ 详解：由可得=0，代入坐标可得x-4=0,解得x=4,填4.‎ 点睛：本题考查用数量积表示两向量垂直，及用向量的坐标运算表示数量积运算，这就为向量和函数的结合提供了前提。‎ ‎17．设为等差数列的前项和,若，,则__________．‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】分析：由于数列为等差数列，所以设数列的首项为，公差为d，列方程组可求得首项为和公差为d，进一步求得。‎ 详解：由于为等差数列的前项和，设数列的首项为，公差为d，所以由，，可得，解得，，填20.‎ 点睛：本题考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式，通过设基本量，列方程组求得基本量，这是等差数列求解得常用方法。‎ ‎18．函数 的部分图象如图所示，则关于函数的下列说法正确的是__________．‎ ‎(1)图象关于点中心对称；‎ ‎(2)图象关于直线对称；‎ ‎(3)图象可由的图象向右平移个单位长度得到；‎ ‎(4)在区间上单调递减.‎ ‎【答案】(4)‎ ‎【解析】分析：由函数图像可知，A=2,，再由，求得，得f(x)与,再根据g(x)的性质逐个分析四个选项。‎ 详解：由图可知，所以，A=2,‎ 又，所以，‎ 又因为，所以，即，‎ 所以 由图可知，所以不是g(x)的中心对称，所以（1）错，‎ ‎，直线不是对称轴，所以（2）错，‎ 的图象向右平移个单位长度得到，与g(x)不是同一个函数，所以（3）错。‎ 当 时， ，是g(x)的一个递减区间的子区间，所以(4)对，填（4）。‎ 点睛：本题综合考查三角函数的根据图像求解析式，三角函数的单调性，对称轴，对称中心及图像平移问题，能较好的考查考生对三角函数及图像性质的掌握运用。特别注意分析的是g(x)的性质，容易错分析f(x)的性质。‎ ‎19．已知函数,函数有四个不同的零点且满足，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作函数图，由图得 ，所以 ‎ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎20．已知正项数列满足: ,其中为数列的前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，可根据数列通项与前项和的关系进行整理化简，可以发现数列是以首项为3，公差为2的等差数列，从而根据等差数列的通项公式即求得数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，根据其特点，利用裂项相消求和法进行即可.‎ 试题解析：（Ⅰ）令，得，且，解得. ‎ 当时，，即， ‎ 整理得， ，， ‎ 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，‎ 故. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：， ‎ ‎ .‎ 点睛：此题主要考查数列中求通项公式与前项和公式的运算，其中涉及到数列通项与前项和的关系式，还裂项相消求和法的应用，属于中档题型，也是常考考点.裂项相消求和法是数列求和问题中一种重要的方法，实质上是把一个数列的每一项分裂为两项的差，从而达到求和时相邻两项互相抵消而求出和的目的.‎ ‎21．如图中,已知点在边上,且,，，.‎ ‎(1)求的长；‎ ‎(2)求.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】(1)因为所以 所以即．‎ 在中,由余弦定理,可知，‎ 即解得或．‎ 因为所以．‎ ‎(2)在中,由正弦定理,可知 又由可知 所以．‎ 因为所以.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性；‎ ‎(2)若函数在上恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在和上是增函数,在上是减函数；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：⑴求出函数的定义域和导数，列表即可求出函数单调性(2)要求函数不等式恒成立转化为求出，由单调性可得最值 解析：（1）函数的定义域为，‎ ‎ ，‎ 当变化时，，变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 综上所述：在和上是增函数，在上是减函数.‎ ‎（2）∵函数在上恒成立，‎ ‎∴.‎ 由（1）知在和上是增函数，在上是减函数，‎ ‎∴函数在或处取得最大值，‎ ‎，，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴.‎ 点睛：本题的考点是利用导数研究函数的单调性和利用导数求闭区间上函数的最值。在求解含有参量的最值问题时，分离参量，然后利用导数求出函数的最值即可解答恒成立问题，本题较为基础是一道中档题。‎ ‎23．某汽车公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表；‎ 月份代码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 市场占有率 ‎11‎ ‎13‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎ (1)可用线性回归模型拟合与之间的关系吗?如果能,请求出关于 的线性回归方程,如果不能,请说明理由;‎ ‎(2)公司决定再采购两款车扩大市场, 两款车各100辆的资料如表：‎ 车型 报废年限（年）‎ 合计 成本 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎1000元/辆 ‎15‎ ‎40‎ ‎35‎ ‎10‎ ‎100‎ ‎800元/辆 平均每辆车每年可为公司带来收入元,不考虑采购成本之外的其他成本,假设每辆车的使用寿命部是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率,以每辆车产生利润的平均数作为决策依据,应选择采购哪款车型?‎ 参考数据: ，，，.‎ 参考公式:相关系数；‎ 回归直线方程为,其中，.‎ ‎【答案】（1）；（2）应选择款车型.‎ ‎【解析】分析：（1）先算相关系数.，所以两变量之间具有较强的线性相关关系。再根据公式分别求得，，，。（2）由表可知，款车有10辆利润为-500,有30辆利润为0，有40辆利润为500,有20辆利润为1000，B款车有15辆利润为-300有40辆利润为200,有35辆利润为700,有10辆利润为1200,分别算出两款车型的平均利润，选择平均利润高的。‎ 详解：(1) ，，，‎ ‎ .‎ 所以两变量之间具有较强的线性相关关系,‎ 故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系.‎ 又，.‎ ‎ ，‎ 回归直线方程为.‎ ‎(2)用频率估计概率, 款车有10辆利润为-500,有30辆利润为0，有40辆利润为500,有20辆利润为1000，所以平均利润为:‎ ‎ (元).‎ 款车有15辆利润为-300，有40辆利润为200,有35辆利润为700,有10辆利润为1200所以平均利润为:‎ ‎ (元).‎ 以每辆车产生平均利润为决策依据,故应选择款车型.‎ 点睛：本题考查学生的利用相关系数r判定两个变量是否线性相关，并求线性回归方程，同时考查对平均数的理解与运算及应用。‎ ‎24．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：‎ ‎（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；‎ ‎（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：‎ 超过 不超过 第一种生产方式 第二种生产方式 ‎（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？‎ 附：， ‎ ‎【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析 ‎（2）80‎ ‎（3）能 ‎【解析】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可。‎ ‎（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表。‎ ‎（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果。‎ 详解：（1）第二种生产方式的效率更高.‎ 理由如下：‎ ‎（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.‎ ‎（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.‎ ‎（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.‎ ‎（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.‎ ‎（2）由茎叶图知.‎ 列联表如下：‎ 超过 不超过 第一种生产方式 ‎15‎ ‎5‎ 第二种生产方式 ‎5‎ ‎15‎ ‎（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.‎ 点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活。‎ ‎25．已知函数 .‎ ‎(1)当时,讨论的单调性；‎ ‎(2)设，当时,若对任意,存在使,求实数 取值.‎ ‎【答案】（1）当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增；当时,函数在上单调递减；‎ 当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增;函数在上单调递减；（2）．‎ ‎【解析】分析：（1）先求定义域，再对函数求导， ，‎ 令 ，分，，，，四种情况考虑h(x)零点情况及正负情况，得函数f(x)的单调区间。‎ ‎（2）因为,由于(I)知,在上的最小值为，‎ 由题意可知“对任意,存在,使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”，由一元二次函数的“三点一轴”分类讨论求得g(x)的最小值，再求得b范围。‎ 详解：(1)定义域 因为 所以 ‎ 令 ‎ ‎ (i)当时, ‎ 所以当时, ,此时,函数单调递增;‎ 当时, ,此时,函数单调递增 ‎(ii)当时,由,‎ 即,解得 ‎①当时, ，恒成立,此时,函数在上单调递减;‎ ‎②当时, ‎ 时, ,此时,函数单调递减；‎ 时, ,此时,函数单调递增；‎ 时, ,此时,函数单调递减；‎ ‎③当时,由于 时, ,此时,函数单调递减； ‎ 时, ,此时,函数单调递增；‎ 综上所述:‎ 当时,函数在上单调递减；‎ 函数在上单调递增；‎ 当时,函数在上单调递减；‎ 当时,函数在上单调递减；‎ 函数在上单调递增;‎ 函数在上单调递减 ‎(2)因为,由于(I)知, ,当时, ,‎ 函数单调递减:当时, ,函数单调递增,所以在上的最小值为 由于“对任意,存在,使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”‎ 又,,所以 ‎①当时,因为 ,此时与矛盾 ‎②当时,因为,同样与矛盾 ‎③当时,因为，解不等式 可得 综上, 的取值范围是．‎ 点睛：本题综合考查用导数结合分类讨论思想求含参函数的单调区间，及恒成立问题与存在性问题的理解，即转化为最值问题，同时也考查了一元二次函数“三点一轴”求最值问题，题目综合性较强，分类较多，对学生的能力要求较高。‎