上海市闵行区闵行中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

上海市闵行区闵行中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

闵行中学高二期中数学卷 一.填空题 ‎1.________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用极限公式得到答案.‎ ‎【详解】，故 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了极限的计算，属于基础题型.‎ ‎2.已知向量，，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，再计算得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了向量的模，属于基础题型.‎ ‎3.________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列公式得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了极限的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4.把二元一次方程组的增广矩阵变换为，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 找到增广矩阵对应的二元一次方程为，计算得到答案.‎ ‎【详解】二元一次方程组的增广矩阵，对应的二元一次方程为： ‎ 解得： 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了增广矩阵，找到对应的二元一次方程是解题的关键.‎ ‎5.行列式中，其中3的余子式的值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到3的余子式是，再利用行列式计算法则得到答案.‎ ‎【详解】行列式中，其中3的余子式是 ‎ 计算得到 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了行列式的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎6.已知，，则向量在方向上的投影为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用投影公式得到答案.‎ ‎【详解】，，在方向上的投影为： ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影概念的理解情况.‎ ‎7.设向量均为单位向量，且，则向量的夹角等于____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面向量模的运算可得 ＝0，即可得解.‎ ‎【详解】解：由题意，得，‎ 即，‎ 又，‎ 故 ＝0，‎ 故，的夹角为90°．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算，属基础题.‎ ‎8.△中，、、，的平分线所在直线的点方向式方程是____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角平分线性质得到，计算得到，再计算的一个平行向量为，代入得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：的平分线所在直线与交于点 ‎ 则，根据角平分线的性质得到：，即 ‎ 设，则 解得： ‎ ‎ 对应的平行向量为： ‎ 故平分线所在直线的点方向式方程是：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了直线的点方向式方程，抓住平行向量是解题的关键.‎ ‎9.△中，、、，边上的高所在的直线的点法向式方程为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算与平行的一个向量为，直接利用点法向式方程公式得到答案.‎ ‎【详解】，与平行的一个向量为 ‎ ‎ 边上的高所在的直线的点法向式方程为：‎ ‎【点睛】本题考查了点法向式方程，意在考查学生的计算能力.‎ ‎10.已知，且与垂直，则与的夹角为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由与垂直，可得，结合即可得结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故答案.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的模与夹角以及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎11.在平面直角坐标系中，已知，，若，则实数的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出向量的坐标，由题意得出，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求出实数的值.‎ ‎【详解】若，即，，‎ ‎，解得，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查垂直向量的坐标运算，解题的关键就是题中的直角转化为向量数量积为零来处理，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎12.有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】易知V1,V2,…,Vn,…是以1为首项，3为公比的等比数列，‎ 所以 ‎13.在△中，，，，，则的最小值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算得到，根据二次函数得到最小值.‎ ‎【详解】‎ 则 当时，有最小值，即的最小值为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.如图，向量，，，是以为圆心、为半径的圆弧上的动点，若，则的最大值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 将两边平方，利用数量积的运算化简可得，用基本不等式即可求得最大值．‎ ‎【详解】因为，，，‎ 所以,‎ 因为为圆上，所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故答案为1．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、基本不等式的应用，属基础题．数量积的运算主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ 二.选择题 ‎15.已知是以为公比的无穷等比数列，其各项和为，则“”是“成立”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到，计算极限得到充分性，根据得到，计算极限得到必要性，得到答案.‎ ‎【详解】，如果，则，，，具有充分性；‎ 若，则，，具有必要性.‎ 故“”是“成立”的充要条件 故选：C ‎【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生对于极限的理解和掌握.‎ ‎16.已知向量，，则“”是为钝角的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，，所以，则，‎ 若，则，‎ 但当时， 反向，夹角为；所以由不能推出为钝角；‎ 反之，若为钝角，则且，即且，能推出；‎ 因此，“”是为钝角的必要不充分条件.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.‎ ‎17.在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.‎ 详解：根据向量的运算法则，可得 ‎ ，‎ 所以，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.‎ ‎18.的值为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. D. 不存在 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，利用极限公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了极限的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎19.在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实数和 ‎，使得，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量，，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.‎ ‎【详解】如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在，使得，‎ 因为M是线段AD的中点，所以：‎ ‎，‎ 又，所以，，‎ 所以.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．‎ ‎(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．‎ ‎20.已知向量，，，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为(　　)‎ A. B. C. 6 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据⊥，得到·＝(－)·，代入数据得到＝.‎ ‎【详解】∵ 向量，，，若与的夹角为60°，‎ ‎∴，‎ ‎∴·＝(－)·‎ ‎＝·－＋ ‎ ‎＝，‎ ‎∴＝，‎ 故答案选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了向量计算，根据⊥，得到·是解题的关键，意在考查学生的计算能力.‎ 三.解答题 ‎21.用行列式法解关于、的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出 ，讨论，，时的三种情况得到答案.‎ ‎【详解】 ‎ 当时，，原方程组有唯一组解 ；‎ 当时，，，原方程组无解；‎ 当时，，，，原方程组有无穷组解.‎ 综上所述：是，有唯一解；时，无解；时，无穷组解.‎ ‎【点睛】本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力.‎ ‎22.在中，点为边的中点．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，试判断的形状．‎ ‎【答案】（1）；（2）直角三角形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面向量基本定理可得： ==;得解；‎ ‎（2）由平面向量数量积运算可得：‎ 即，再结合余弦定理求解即可得解.‎ ‎【详解】(1)解：因= == =;‎ ‎(2)因为，所以 ‎ 所以，‎ 由余弦定理可得，‎ ‎ 化简得： ，‎ 故为直角三角形．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量基本定理及余弦定理，属中档题.‎ ‎23.已知向量，，函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若函数在轴右侧取得最大值时，对应的横坐标从小到大构成数列 ‎，试求数列的所有项的和.‎ ‎【答案】（1），；（2）3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简得到，计算,得到答案.‎ ‎（2）根据得到，化简得到，利用裂项相消法得到，求极限得到答案.‎ ‎【详解】（1）向量，‎ 函数 ‎ ‎ 函数的单调递增区间为：,‎ 解得：,‎ ‎（2）根据（1）知：取最大值，即 ‎ 即 ，则 ‎ 前N项和 ‎ ‎【点睛】本题考查了向量的运算，三角函数的单调区间，数列的裂项求和，极限，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎24.如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点，建立适当的平面直角坐标系.‎ ‎（1）若为圆弧的中点，点在线段上运动，求的最小值；‎ ‎（2）若、分别为线段、的中点，当在圆弧上运动时，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，得到，根据二次函数的最值得到答案.‎ ‎（2）设，则，根据三角函数最值得到答案.‎ ‎【详解】（1）如图所示：以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系.‎ 则 ，设 ‎ 则 当时，有最小值为 ‎（2）根据（1）知： ，设 ‎ 则 故 的取值范围为 ‎【点睛】本题考查了向量的最值，意在考查学生的应用能力和计算能力.‎ ‎25.已知向量，（其中实数和不同时为零），当时，有，当时，∥.‎ ‎（1）求函数式；‎ ‎（2）求函数的单调递减区间；‎ ‎（3）若对任意，都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）和；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别计算和函数表达式，得到答案.‎ ‎（2）根据（1）知分别计算两段函数的单调性得到答案.‎ ‎（3）将不等式转化为，求函数的最大值得到答案.‎ ‎【详解】（1）向量，‎ 当时，有，即 当时，∥，即 ‎ 综上所述：‎ ‎（2）‎ 当且时：，单调减区间为 ‎ 当或时：，当时，单调递减；当时单调递增，根据复合函数单调性得到单调减区间为 综上所述：单调减区间为和 ‎（3），‎ 即求函数的最大值，‎ 当时，单调递减，单调递增 当时，单调递减，单调递增 故递增，最大值为 时，‎ 综上所述：，所以 ‎【点睛】本题考查了分段函数 表达式，单调性，恒成立问题，将分段函数分开求解是常用的方法，需要灵活掌握.‎ ‎ ‎