河北省衡水市衡水中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

河北省衡水市衡水中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

‎2019-2020学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(理科)‎ 一、选择题 ‎1.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（　　）‎ A. -4 B. ‎-1 ‎C. 1 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出在点处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出的值.‎ ‎【详解】由题意，，，则曲线在点处的切线斜率为4，由于切线与直线垂直，则，解得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可得：，‎ ‎，则：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎3.对于函数，若存在区间使得则称函数为“同域函数”，区间A为函数的一个“同城区间”.给出下列四个函数：‎ ‎①；②；③；④.‎ 存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（ ）‎ A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎① ，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②，x∈[-1，0]时，f（x）∈[-1，0]，所以②存在同域区间；③，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④，判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为①②③．‎ 点睛：本题主要考查了对同域函数及同域区间的理解，涉及到二次函数、余弦函数的值域的求解，函数图像的相交等，属于难题.本题在判断邻域时，需要知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法． ‎ ‎4.设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，下列说法正确的是（ ）‎ A. 若确定，则唯一确定 B. 若确定，则唯一确定 C. 若确定，则唯一确定 D. 若确定，则唯一确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对式子平方转化成关于的二次函数，再利用最小值为1，得到，进而判断与之间的关系．‎ ‎【详解】.‎ 因为，所以.‎ 所以，所以，即.所以确定，唯一确定.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查向量模的最值、数量积运算、向量夹角等知识，考查与二次函数进行交会，求解时不能被复杂的表达式搞晕，而是要抓住问题的本质，始终把看成实数．‎ ‎5.已知点是直线上一动点，与是圆的两条切线，为切点，则四边形的最小面积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用当与直线垂直时，取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出的最小值，然后利用勾股定理计算出、的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形面积的最小值．‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 由切线的性质可知，，，且，‎ ‎，‎ 当取最小值时，、也取得最小值，‎ 显然当与直线垂直时，取最小值，且该最小值为点到直线 的距离，即，‎ 此时，，‎ 四边形面积的最小值为，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：‎ ‎（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；‎ ‎（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值．‎ ‎6.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像最低点求得，根据函数图像上两个特殊点求得的值，由此求得函数解析式，进而求得的值.‎ ‎【详解】根据图像可知，函数图像最低点为，故，所以，将点代入解析式得 ‎，解得，故，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.‎ ‎7.已知函数，若恒成立，则实数a的最小正值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简f(x),分析出f(x)本身的最小正周期T，再根据分析出用a表示f(x)的最小正周期，最后根据两者相等，求得a的最小正值．‎ ‎【详解】由，则，所以f(x)最小正周期T=‎ 因为，则，这f(x)的最小正周期T=,所以=，所以实数a的最小正值是，故答案选D ‎【点睛】本题主要考察带绝对值三角函数的的周期，同时要会通过函数满足的关系式，分析函数周期 ‎8.设为数列的前项和，，，则数列的前20项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎， 相减得 由得出 ‎ ‎ ，= = ‎ 故选D 点睛：已知数列的与的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.‎ ‎9.椭圆的左右焦点分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线恰好与圆相切于点P，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义可知，又恰好与圆相切于点P，可知且，即可列出方程求椭圆的离心率.‎ ‎【详解】由恰好与圆相切于点P，可知，且 ，‎ 又，可知，‎ 在中，，‎ 即 所以，‎ 解得，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.‎ ‎10.已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( )‎ A. B. ‎0 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用辅助角公式，化简函数的解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数为辅助角，‎ 由于函数的对称轴的方程为，且，‎ 即，解得，所以，‎ 又由，所以函数必须取得最大值和最小值，‎ 所以可设，，‎ 所以，‎ 当时，的最小值，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎11.若函数只有一个极值点，则k的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数求导函数 f′（x）＝ex（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（ex﹣kx），只有一个极值点时f′（x）＝0只有一个实数解，有ex﹣kx≥0，设新函数设u（x）＝ex，v（x）＝kx，等价转化数形结合法即可得出结论，‎ ‎【详解】解：函数f（x）＝ex（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，‎ f′（x）＝ex（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（ex﹣kx），‎ 若函数f（x）＝ex（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，f′（x）＝0只有一个实数解，‎ 则：ex﹣kx≥0，‎ 从而得到：ex≥kx，‎ 当k＝0 时，成立．‎ 当k≠0时，设u（x）＝ex，v（x）＝kx 如图：‎ 当两函数相切时，k＝e，此时得到k的最大值，但k＜0时不成立．‎ 故k的取值范围为：（0，e]‎ 综上：k的取值范围为：[0，e]‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．‎ ‎12.双曲线左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据是以为直角顶点的直角三角形，且，以及双曲线的性质可得，再根据勾股定理求得的关系式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，设，如图所示，‎ 因为是以为直角顶点的直角三角形，且，‎ 由，所以，‎ 由，所以，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 所以，，‎ 在直角中，，即，‎ 整理得，所以，‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．.‎ 二、填空题 ‎13.已知向量，且，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把平方，将代入，化简即可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎14.已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作，垂足为M，AM的中点为N，若，则___________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，得到直线的斜率，进一步求得直线的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．‎ ‎【详解】，为的中点，且，‎ ‎，则直线的倾斜角为，斜率为．‎ 由抛物线，得，则直线的方程为．‎ 联立，得．‎ 则，‎ ‎．‎ 故答案为：16．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，属于中档题．‎ ‎15.已知函数，若当时，有解，则m的取值范围为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数，判断函数的单调性，可得时大致图象，利用数形结合求解.‎ ‎【详解】‎ 过定点 当时，有解 当时,存在在的下方，‎ 令，解得，‎ 当时，，当时，，‎ 在上递减，在上递增，‎ 当时，，‎ 又，‎ 作函数，的大致图象：‎ 由图象可知：时满足条件，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值、图象，直线过定点，数形结合，属于难题.‎ ‎16.数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，‎ ‎，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列构造方法可知：，即；根据变化规律可得，从而得到结果.‎ ‎【详解】由数列的构造方法可知，，，，可得：‎ 即：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.‎ 三、解答题 ‎17.如图为一块边长为的等边三角形地块，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从的中点出发引出两条成角的线段和，与和围成四边形区域，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设．‎ ‎（1）当时，求绿化面积；‎ ‎（2）试求地块的绿化面积的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据角度可确定四边形为平行四边形，则和均为边长为的等边三角形；利用即可求得结果；（2）利用正弦定理，用表示出和，利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式可将化简为，利用可求得的范围；从而将所求面积表示为，进而得到所求范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 四边形为平行四边形，则和均为边长为的等边三角形 又，‎ 绿化面积为：‎ ‎（2）由题意知：‎ 在中，，由正弦定理得：‎ 在中，，‎ 由正弦定理得：‎ ‎ ‎ ‎，即 ‎ ‎ 即绿化面积的取值范围为：‎ ‎【点睛】本题考查解三角形知识的实际应用问题，涉及到正弦定理和三角形面积公式的应用、三角恒等变换中的两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式的应用；求解范围类问题的关键是能够构造出关于某一变量的函数，从而利用函数求值域的方法求得结果.‎ ‎18.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.‎ ‎（1）若，求的通项公式；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）5或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，由已知条件求出，再写出通项公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出.‎ ‎【详解】设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.‎ ‎（1）∵，结合得，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，解得或3，‎ 当时，，此时；‎ 当时，，此时.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.‎ ‎19.已知圆，点在抛物线上，为坐标原点，直线与圆有公共点.‎ ‎（1）求点横坐标的取值范围；‎ ‎（2）如图，当直线过圆心时，过点作抛物线的切线交轴于点，过点引直线交抛物线于两点，过点作轴的垂线分别与直线交于，求证：为中点.‎ ‎【答案】（1）（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，联立抛物线，再利用圆与直线相交建立不等式，从而确定点横坐标的取值范围；‎ ‎（2）可先找到函数关系式，利用导数确定切线的斜率，设，利用韦达定理即可证明为中点.‎ ‎【详解】解：（1）由题意直线斜率存在且不为零，设 ‎ 到的距离为，‎ 所以 ‎ ‎（2）当直线过圆心时， ‎ ‎，所以，‎ 即，‎ 所以 ，设，‎ 由得 ‎ ‎，所以 ‎ ‎，‎ 即为中点．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆，抛物线的位置关系，切线问题等，综合性强，直线与圆的相关计算常考点到直线的距离公式，必须熟记.‎ ‎20.已知等差数列的公差，数列满足，集合.‎ ‎（1）若，，求集合；‎ ‎（2）若，求使得集合恰有两个元素；‎ ‎（3）若集合恰有三个元素，，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合.‎ ‎【答案】（1）；（2）或；（3）或4，时，，；时，，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列的通项公式写出，进而求出，再根据周期性求解；（2）由集合的元素个数，分析数列的周期，进而可求得答案；（3）分别令，2，3，4，5进行验证，判断的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合 ‎【详解】（1）等差数列的公差，，数列满足，‎ 集合．‎ 当，‎ 所以集合，0，．‎ ‎（2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：‎ 根据三角函数线，‎ ‎①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，‎ ‎②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于 轴对称，如图，，此时，‎ 综上，或者．‎ ‎（3）①当时，，集合，，，符合题意．‎ 与之相应的一个等差数列的通项公式为，此时.‎ ‎②当时，，，，或者，‎ 等差数列的公差，，故，，又，2‎ 当时满足条件，此时，1，．‎ 与之相应的一个等差数列的通项公式为，此时 ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间； ‎ ‎（Ⅱ）令两个零点，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求得函数的导数，且，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间；‎ ‎（Ⅱ）由有两个零点，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象，即可得出证明．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，函数，则，且，‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增；‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ‎ ‎（Ⅱ）由有两个零点可知 由且可知，‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调增；‎ 即的最小值为，‎ 因此当时，，‎ 可知在上存在一个零点；‎ 当时，，‎ 可知在上也存在一个零点，‎ 因此，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎22.已知椭圆：的离心率为，且过定点.‎ ‎（1)求椭圆的方程；‎ ‎（2)已知直线与椭圆交于两点，试问在轴上是否存在定点，使得以弦为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标和的面积的最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）本问考查了椭圆的离心率公式，以及椭圆的方程、性质，通过条件构建关于基本量 的方程组，求解即可．‎ ‎ （2）本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用条件以弦为直径的圆恒过点，将几何关系代数化，利用韦达定理建立方程，判断方程是否有解．‎ ‎【详解】解：（1)由已知，椭圆的方程为.‎ ‎（2)由得.①‎ 设，则方程①的两根，‎ 设，则，‎ 假设在y轴上存在定点P，使得以弦为直径圆恒过点P，‎ 则，即，‎ 即对任意恒成立，‎ 此方程组无解，∴不存在定点满足条件．‎ ‎【点睛】本题的关键是将条件“以弦为直径的圆恒过点”，几何关系代数化，和联立方程组得到的韦达定理联系起来，建立关于参数 的方程．‎