安徽省安庆市桐城市某中学2020届高三测试考试数学（理）试卷

安徽省安庆市桐城市某中学2020届高三测试考试数学（理）试卷

数学(理)试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）‎ 1. 设a，b为实数，若复数，则 A. B. ， C. D. ，‎ 2. 过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为    ‎ A. 6 B. 9 C. 12 D. 无法确定 3. 已知集合2，，集合，则 A. B. C. D. ‎ 4. 一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下： 优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的； 优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免． 若顾客购买某商品后，使用优惠劵1比优惠劵2、优惠劵3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为 A. 179元 B. 199元 C. 219元 D. 239元 5. 已知相异直线a，b和不重合平面，，则的一个充分条件是 A. ， B. ，， C. ，， D. ，，‎ 6. 已知双曲线的一条渐近线将圆分成面积相等的两部分，则双曲线的离心率为 A. 2 B. C. D. ‎ 7. 在长方体中，，，点M为的中点，点P为对角线上的动点，点Q为底面ABCD上的动点点P、Q可以重合，则的最小值为    ‎ A. B. C. D. 1‎ 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，椭圆C上点A满足若点P是椭圆C上的动点，则的最大值为 A. B. C. D. ‎ 1. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎ ‎ 2. 已知数列1，，，4成等差数列，1，，，，4成等比数列，则的值是 A. B. C. 或 D. ‎ 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）‎ 3. 设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使函数值的x的取值集合为______． ‎ 4. 函数的值域是______．‎ 5. 若函数是自然对数的底数在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为______ ．         ．‎ 6. 已知幂函数的图象经过点，则______．‎ 7. 已知平面向量，满足，，，则______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 8. 已知函数．Ⅰ求函数的最小正周期和值域；Ⅱ若，求的值． ‎ 1. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示． 画出函数在y轴右侧的图象，并写出函数在R上的单调区间； 求函数在R上的解析式．‎ ‎ ‎ 2. 已知函数，设在上的最大值为，Ⅰ求的表达式；Ⅱ是否存在实数m，n，使得的定义域为，值域为？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，请说明理由． ‎ 3. 已知函数．Ⅰ若函数的最大值为3，求实数a的值；Ⅱ若当时，恒成立，求实数k的取值范围；Ⅲ若，是函数的两个零点，且，求证：． ‎ 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．Ⅰ求B；Ⅱ若，求a，c．‎ ‎ ‎ 1. 已知数列的前n项和满足，数列满足．Ⅰ求数列和数列的通项公式；Ⅱ令，若对于一切的正整数n恒成立，求实数x的取值范围；Ⅲ数列中是否存在，使，，成等差数列？若存在，求出m，n，k的值；若不存在，请说明理由． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由可得，所以，解得，， 故选A． 先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解． 本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离． 根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即可求解． 【解答】 解：抛物线的焦点坐标，． 设 抛物线的准线，线段AB中点到抛物线的准线的距离为6， 即有， ， ， 故选C． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：当时，；当时，；当时，， 4，， ． 故选：C． 将A中的元素代入集合B中的等式中求出y的值，确定出B，求出A与B的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由题意，优惠劵1比优惠劵2减免的多，所以他购买的商品的标价超过200元． 他购买的商品的标价为219元，优惠劵1减免元；优惠劵2减免20元；优惠劵3减免元； 标价为239元，优惠劵1减免元；优惠劵2减免20元；优惠劵3减免元； 故选：C． 由题意，优惠劵1比优惠劵2减免的多，所以他购买的商品的标价超过200‎ 元，再利用优惠劵1比优惠劵3减免的多，即可得出结论． 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：平行于同一平面的两条直线位置关系不确定，A错误； ，，，直线a、b有可能相交或异面，B错误； ，，，又，，C正确； ，，，D错误． 故选：C． 根据线面平行的定义判断A、B是否正确； 根据线面垂直的性质判断C是否正确； 根据线面垂直的定义及线面平行的性质判断D是否正确． 本题借助考查充分条件的判定，考查空间中线面平行、垂直的性质． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由题意，圆的标准方程为，圆心为， 因为双曲线的一条渐近线将圆分成面积相等的两部分，所以双曲线的渐近线过圆心， 所以双曲线的渐近线为，过点，即， 两边平方得，化为． ． 故选：D． 本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、直线与圆的位置关系，属于基础题． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查最小值的求解，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大． 画出图形，利用折叠与展开法则画在同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解的最小值． 【解答】 解：由题意，要求的最小值，就是P到底面ABCD的距离与MP之和的最小值，当Q是P在底面上的射影时距离最小， 展开三角形与三角形在同一个平面上，如图， 易知，， 可知时，最小，最小值为：‎ ‎． 故选C． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：如图所示，由椭圆C：可得：，，，． ，． 设，则又， ． 的最大值为． 故选：B． 由已知可得点A，，的坐标，再利用数量积运算法则和点P的纵坐标的取值范围即可得出最大值． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于基础题． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 根据三视图，分析出立体几何的图形． 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图中右下角的三角形为底面的三棱锥， 其底面面积，高， 故棱锥的体积， 故选：D． 由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案． 本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：，，，4成等差数列， ，即， ， 又1，，，，4成等比数列， ，解得， 又，， 则． 故选：A ‎． 由1，，，4成等差数列，利用等差数列的性质求出等差d的值，进而得到的值，然后由1，，，，4成等比数列，求出的值，分别代入所求的式子中即可求出值． 本题以数列为载体，考查了等比数列的性质，以及等差数列的性质，熟练掌握等比、等差数列的性质是解本题的关键，等比数列问题中符号的判断是易错点 11.【答案】 ‎ ‎【解析】解：奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示， 则奇函数的定义域为的图象为： 使函数值的x的取值集合为：． 故答案为：． 利用函数的图象以及函数的奇偶性，判断函数值的x的取值集合即可． 本题考查函数的图象的判断函数的奇偶性的应用，是基础题． 12.【答案】 ‎ ‎【解析】解：函数， 当时，函数是递增函数， 当时，取得最小值为：0， 当时，取得最大值为：1， 当时，函数的值域为． 当时，函数是递增函数， 即函数的值域为． 综上可得函数的值域是； 故答案为． 根据分段函数性质，分别求解各段函数的值域在求并集可得结论； 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：对于，，则为实数集上的增函数； 对于，，则为实数集上的减函数； 对于，，则， ，当时，， 在定义域R上先减后增； 对于，，则， ‎ 在实数集R上恒成立， 在定义域R上是增函数． 具有M性质的函数的序号为． 故答案为：． 把代入，变形为指数函数判断；把代入，求导数判断． 本题考查函数单调性的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：设幂函数为： 幂函数的图象经过点， ，， ， 故答案为：． 先设出幂函数解析式来，再通过经过点得到参数的方程，解得参数，从而求得其解析式，再代入2求函数值． 本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题等基础知识，考查运算求解能力，幂函数要求较低，在构造函数和幂的运算中应用较多，属于基础题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由题意可得， ， 故答案为：． 由题意可得，由此求得的值． 本题主要考查两个向量垂直的性质，求向量的模的方法，属于基础题． 16.【答案】解：Ⅰ函数． 化简可得： 函数的最小正周期， 值域为Ⅱ由，即 ． 即， ‎ ‎， 那么：． 即． ‎ ‎【解析】Ⅰ利用二倍角，辅助角化简函数，即可求解最小正周期和值域．Ⅱ由，找出与的关系，利用三角函数的公式可得答案． 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 17.【答案】解：如图所示， 由图可知，的单调递减区间为，；单调递增区间为，； 令，则，故， 又函数为偶函数， 则此时， 故． ‎ ‎【解析】根据偶函数关于y轴对称，即可画出函数在y轴右侧的图象，再由函数图象即可写出单调区间； 易知时的解析式，只需计算出时的解析式，根据，则与即可使用时的解析式求出时的解析式． 本题考查偶函数的图象性质，根据图象写函数的单调区间，已知偶函数的一半的函数解析式，求整个函数的解析式，属于基础题． 18.【答案】解：Ⅰ因为函数图象的对称轴为，                     分 所以当，即时，；         分 当，即时，       分 所以                                         分Ⅱ假设存在符合题意的实数m，n，则 由Ⅰ可知，当时，                            分 所以若，有，则                     分 所以，且为单调递增函数．                             分 ‎ 所以                                       分 所以                                                   分 ‎ ‎【解析】Ⅰ函数图象的对称轴为，然后通过对称轴的位置，求解函数的最大值，得到函数的最大值的表达式．Ⅱ假设存在符合题意的实数m，n，利用第一问，函数的单调性，列出方程组，即可求出结果． 本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，单调性的性质，考查分析问题解决问题的能力． 19.【答案】Ⅰ解：函数的定义域为                                 分 因为，                                分 所以在内，，单调递增； 在内，，单调递减． 所以函数在处取得唯一的极大值，即的最大值． 因为函数的最大值为3，                           分 所以， 解得                                                           分Ⅱ解：因为当时，恒成立， 所以， 所以， 即．                                            分 令， 则                                                 分 因为， 所以． 所以在单调递增．                                          分 所以， 所以 ， 所以即实数k的取值范围是；                          分Ⅲ证明：由Ⅰ可知：，． 所以                                                      分 因为，是函数的两个零点， 所以．                                              分 因为                                 分 令 ‎， 则． 所以在，，单调递减． 所以． 所以，即．                          分 由Ⅰ知，在单调递增， 所以， 所以                                                       分 ‎ ‎【解析】Ⅰ求出函数的定义域，导函数判断函数的单调性，求解函数的最大值，然后求出a即可．Ⅱ化简恒成立的表达式为，得到令，利用函数的导数判断函数的单调性，得到，然后求解k的范围．Ⅲ证，是函数的两个零点，所以通过，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，推出，得到，即可证明结论． 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力． 20.【答案】解：Ⅰ由及正弦定理，得． 在中，，，． ， ．Ⅱ由及正弦定理，得， 由余弦定理得，， 即， 由，解得． ‎ ‎【解析】Ⅰ由已知及正弦定理，得，结合，可求，由于，可求B的值．Ⅱ由已知及正弦定理，得，利用余弦定理可求，联立即可解得a，c的值． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 21.【答案】解：Ⅰ根据题意，数列满足， 当时，． 当时，，， 即． 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列．  ‎ 所以，；     又由已知，得．Ⅱ依题意得，． 因为， 所以当时，取得最大值． 因为对于一切的正整数n恒成立， 所以       解得或， 所以实数x的取值范围是或； Ⅲ假设存在，使，，成等差数列， 则，即   两边同时除以，得 因为为偶数，为奇数，这与矛盾． 所以不存在，使，，成等差数列． ‎ ‎【解析】本题考查数列的应用，通项公式以及数列的单调性，反证法的应用，考查转化思想以及计算能力．Ⅰ利用已知条件通过，说明数列是首项为1，公比为2的等比数列．求出通项公式，然后求解的通项公式．Ⅱ求出，判断数列的单调性，结合对于一切的正整数n恒成立，得到求解即可．Ⅲ假设存在，使，，成等差数列，推出说明是与条件矛盾，得到结论． ‎