河南省信阳市普通高中2020届高三上学期第一次教学质量检测数学（理）试题

河南省信阳市普通高中2020届高三上学期第一次教学质量检测数学（理）试题

‎2019-2020学年普通高中高三第一次教学质量检测 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集U为实数集R，集合，，则如图阴影部分表示的集合是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式求得集合M、N，根据Venn图阴影表示集合（∁uN）∩M，再进行集合运算．‎ ‎【详解】∵0⇒﹣3＜x＜1∴M＝（﹣3，1），‎ ‎∵|x|≤1⇒﹣1≤x≤1，∴N＝[﹣1，1]，‎ ‎∵阴影部分表示集合（∁uN）∩M，‎ ‎∴阴影部分表示的集合是（﹣3，﹣1）．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查Venn图表达集合的关系及集合运算．‎ ‎2.若，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：为增函数且，所以A错误.‎ 为增函数且，故，即，‎ 所以，所以B错误；‎ 为减函数且，所以D错误.‎ 为增函数且，故 故选C.‎ 考点：比较大小.‎ ‎3.函数的图象大致为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 函数f（x）=（）cosx，当x=时，是函数的一个零点，属于排除A，B，当x∈（0，1）时，cosx＞0，‎ ‎＜0，函数f（x）=（）cosx＜0，函数的图象在x轴下方．‎ 排除D．‎ 故答案为C．‎ ‎4.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象变换可得,再根据图象关于对称,可得,结合,可得,由此可得的值.‎ ‎【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到函数,‎ 再把向左平移个单位长度,‎ 得到,‎ 因为函数的图象关于对称,‎ 所以时,,即,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 因为,所以,‎ 所以.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的周期变换和相位变换,还考查了对称轴,属于中档题.‎ 注意,相位变换时,要把的系数提出来,按照左加右减变形.‎ ‎5.在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：从两个方向去判断，先看能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.‎ 详解：由题意可得，在中，因为，‎ 所以，因为，‎ 所以，，‎ 结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为，‎ 所以，即，所以，‎ 因此，所以是锐角三角形，不是钝角三角形，‎ 所以充分性不满足，‎ 反之，若是钝角三角形，也推不出“，故必要性不成立，‎ 所以为既不充分也不必要条件，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.‎ ‎6.已知函数为偶函数且在单调递减，则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性的定义，求出a，b的关系，结合函数的单调性判断a的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可．‎ ‎【详解】∵f（x）=（x-1）（ax+b）=ax2+（b-a）x-b为偶函数， ∴f（-x）=f（x）， 则ax2-（b-a）x-b=ax2+（b-a）x-b， 即-（b-a）=b-a， 得b-a=0，得b=a， 则f（x）=ax2-a=a（x2-1）， 若f（x）在（0，+∞）单调递减， 则a＜0， 由f（3-x）＜0得a[（3-x）2-1）]＜0，即（3-x）2-1＞0， 得x＞4或x＜2， 即不等式的解集为（-∞，2）∪（4，+∞）， 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a，b的关系是解决本题的关键．‎ ‎7.已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知，当时，由，当且仅当时，即等号是成立，所以函数的最小值为，当时，为单调递增函数，所以，又因为，使得 ‎，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故选C．‎ 考点：函数的综合问题．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键．‎ ‎8.已知函数对任意，都有的图象关于对称，且则 A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：函数对任意，都有,‎ ‎,因此函数的周期，把的图象向左平移1个单位的的图象关于对称，因此函数为奇函数，，因此答案为B.‎ 考点：1、函数的周期性；2、函数图象平移；3、函数奇偶性的应用.‎ ‎9.如图，有四座城市、、、，其中在的正东方向，且与相距，在的北偏东方向，且与相距；在的北偏东方向，且与相距，一架飞机从城市出发以的速度向城市飞行，飞行了，接到命令改变航向，飞向城市，此时飞机距离城市有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断三角形为直角三角形,求出,然后推出为直角,可得,进一步可得,最后在三角形中用余弦定理可得.‎ ‎【详解】取的中点,连,设飞机飞行了15分钟到达点,连,如图所示:则即为所求.‎ 因为为的中点,且,所以,‎ 又,,所以三角形为等边三角形,所以,,‎ 在等腰三角形中,,所以,‎ 所以,由勾股定理得,‎ 所以,‎ 因为,,所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以在三角形中,‎ ‎ ‎ ‎,‎ 所以.‎ 故一架飞机从城市出发以速度向城市飞行，飞行了，接到命令改变航向，飞向城市，此时飞机距离城市有.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.‎ ‎10.若关于的不等式的解集为，且函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为关于的不等式的解集为，所以是方程的两个根，，即，由，，因为函数在区间上不是单调函数，有正有负，可以转化为在区间上有解，且不是重解，所以由可得，令 ‎，令得：，，时，递增，时，，递减，，，的值域为，，，当时，中,有个相等的根，不合题意，故选 A.‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性及最值；2、不等式的解集与系数的关系；3、方程的根与系数的关系.‎ ‎【思路点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值、不等式的解集与系数的关系以及方程的根与系数的关系，属于难题.要解答本题首先根据一元二次不等式的解集求出、的值，进而可知在区间上不是单调函数，即在区间上有解，最后再用“分离参数法”求出的范围.‎ ‎11.若函数在上有零点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎,当,‎ 所以,所以,要使f(x)在上有零点需要满足,所以,所以.‎ ‎12.已知函数，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将方程有四个不等的实数根转化为的图像与直线有4个交点；用导数的方法判断函数的单调性，作出函数图像，根据函数的图像，即可得出结果.‎ ‎【详解】方程有四个不等的实数根等价于的图像与直线有4个交点；‎ ‎（1）当时，，由得；由得；‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减；因此；‎ ‎（2）当时，，‎ 由得；由得；‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减；因此；‎ 由（1）（2）作出函数的图像与直线的图像如下：‎ 由图像易得.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查由方程根的个数求参数的问题，灵活运用数形结合的方法，熟记导数方法判定函数单调性即可，属于常考题型.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令真数为1,可得定点的坐标,用待定系数法设出幂函数解析式,代入的坐标,可得幂函数解析式,从而可得.‎ ‎【详解】令,得此时,故,‎ 设幂函数解析式,‎ 依题意有,即,解得,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为:9‎ ‎【点睛】本题考查了对数型函数过定点问题,幂函数概念,待定系数法,属于基础题.‎ ‎14.已知函数且，若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义求得切线的斜率,再根据两直线垂直,斜率的乘积为列方程可解得.‎ ‎【详解】因为函数且,所以,‎ 所以,‎ 所以曲线在点处的切线的斜率为,‎ 依题意可得,所以.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率和两直线垂直与斜率的关系,属于中档题.‎ ‎15.___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由积分公式分别求出的大小和的大小，最后求出它们的和．‎ ‎【详解】‎ 表示半圆夹在直线部分的面积S．‎ S==‎ ‎= ==0‎ ‎【点睛】运用积分的公式进行运算，当不好求出原函数时，要注意到积分的几何意义，根据图形的面积进行求解．‎ ‎16.若函数的导函数，的部分图象如图所示，，当，时，则的最大值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象可得：A＝2，，解得ω＝2．可得f′（x）＝2cos（2φ）＝﹣2，|φ|），把x，2代入解得φ．可得f′（x），进而得出f（x），g（x）＝f（x），利用正弦函数的单调性即可得出结论．‎ ‎【详解】由图象可得：A＝2，，解得ω＝2．‎ ‎∴f′（x）＝2cos（2φ）＝﹣2，|φ|），解得φ．‎ ‎∴f′（x）＝2cos（2x）．‎ ‎∴f（x）＝sin（2x）+c．（c为常数）．‎ g（x）＝f（x）＝sin2x+c．‎ x∈[，]时，2x∈．‎ sin2x∈，‎ 当x1，x2∈[，]时，则|g（x1）﹣g（x2）|＝|sin2x1﹣sin2x2|≤1﹣（）．‎ 因此当x1，x2∈[，]时，则|g（x1）﹣g（x2）|的最大值为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的运算法则、三角函数的图象与性质、等价转化方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且．‎ ‎（1）求A的值；‎ ‎（2）若B=30°，BC边上的中线AM=，求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用条件结合正弦定理可得，化简整理可得，求出即可；（2）设出边长利用余弦定理建立方程，求出，再利用面积公式即可求解．‎ 试题解析：（1），‎ 因为 又 ‎（2）‎ 设则，中，由余弦定理得：‎ ‎，解得 点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据俄条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.‎ ‎18.已知命题方程在上有解；命题只有一个实数满足不等式，若命题“或”是假命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别由命题和为真求出实数的取值范围,再根据补集思想求出命题和为假时实数的取值范围,再由命题“”或“”是假命题,得命题和都为假命题,列不等式组可解得.‎ ‎【详解】若为真命题,由题意,所以方程的解为或,‎ 若方程在上有解，只需满足或,‎ ‎∴或,‎ 即.‎ 若正确，即只有一个实数满足，‎ 则有，即或2,‎ 若或是假命题，则和都是假命题，‎ 所以且且,‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了判断命题的真假,复合命题的真假,补集思想,方程有解问题,一元二次不等式的解的问题,属于中档题.‎ ‎19.已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，.‎ ‎（Ⅰ）求函数在上的解析式；‎ ‎（Ⅱ）当取何值时，方程在上有实数解.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），或，或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)时,根据函数为奇函数转化为上可求解析式;时的函数值,利用周期为2以及奇函数的性质可求得;从而可得上的解析式;‎ ‎(Ⅱ)因为函数的周期为2,所以问题转化为: 当取何值时，方程在上有实数解.然后根据分段函数的值域可得.‎ ‎【详解】（Ⅰ）若，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵为奇函数，‎ ‎∴，‎ ‎,‎ 又因为函数的周期为2,‎ 所以，‎ 因为为奇函数,所以，‎ ‎∴‎ 所以 ‎（Ⅱ）若，∴,‎ 设,则,‎ 又,,‎ 所以在上为增函数,‎ 所以,‎ 即，‎ ‎∴，‎ 若，，‎ 同理可得,，‎ ‎∴的取值范围是，或，或.‎ ‎【点睛】本题考查了利用函数奇偶性和周期性求分段函数的解析式,分段函数的值域,属于中档题.‎ ‎20.如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设EF与AB所成的角为α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W．‎ ‎（1）求W关于α的函数关系式；‎ ‎（2）求W的最小值及相应的角α．‎ ‎【答案】（1）=80+-60tanα（其中;（2）万元,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)过E作，垂足为M，利用几何关系结合题意即可确定W关于α的函数关系式；‎ ‎(2)结合(1)中所得的函数解析式，利用导函数研究其单调性，求得函数取得最值时自变量的值即可确定W的最小值及相应的角α．‎ ‎【详解】（1）如图，过E作，垂足为M，由题意得∠MEF=α，‎ 故有，，， ‎ 所以=80+-60tanα（其中 ‎（2）W．‎ 设，‎ 则． ‎ 令得，即，得．‎ 列表 ‎+‎ ‎0‎ 单调递增 极大值 单调递减 所以当时有，此时有． ‎ 答：铺设水管的最小费用为万元，相应的角．‎ ‎【点睛】本题主要考查导函数研究函数的最值的方法，导函数在实际问题中的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎21.已知函数，其中.‎ ‎（1）讨论单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点，，证明：‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求解导数，再结合导数式特点，进行分类讨论，可得单调性；‎ ‎（2）结合极值点的特征，把目标式中双变量转化为单变量，结合函数单调性可证.‎ ‎【详解】（1）解：由题得，其中，‎ 考察，，其中对称轴为，.‎ 若，则，‎ 此时，则，所以在上单调递增；‎ 若，则，‎ 此时在上有两个根，，且，‎ 所以当时，，则，单调递增；‎ 当时，，则，单调递减；‎ 当时，，则，单调递增，‎ 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）证明：由（1）知，当时，有两个极值点，，且，，‎ 所以 ‎.‎ 令，，则只需证明，‎ 由于，故在上单调递减，所以.‎ 又当时，，，‎ 故，‎ 所以，对任意的，.‎ 综上，可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值以及证明不等式，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.‎ ‎22.设函数.‎ ‎（Ⅰ）求证：当时，；‎ ‎（Ⅱ）存在，使得成立，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若对恒成立，求b的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）转化求函数g（x）在（0，π]上的最大值，利用函数的导数判断单调性进而求解；‎ ‎（Ⅱ）依题意即转化为求函数f（x）在（0，π]上的最小值，利用函数的导数判断单调性进而求解；‎ ‎（Ⅲ）先表示出函数g（bx），将恒成立问题转化为函数求最值问题，利用函数的导数判断单调性进而求解，注意b的范围的讨论．‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为当时，，‎ 所以在上单调递减，‎ 又，所以当时，.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以，‎ 由（Ⅰ）知，当时，，所以，‎ 所以在上单调递减，则当时，‎ 由题意知，在上有解，所以，从而.‎ ‎（Ⅲ）由，得对恒成立，‎ ‎①当，0，1时，不等式显然成立.‎ ‎②当时，因为，所以取，‎ 则有，此时不等式不恒成立 ‎③当时，由（Ⅱ）可知在上单调递减，而，‎ ‎，‎ 成立.‎ ‎④当时，当时，，‎ 则，不成立，‎ 综上所述，当或时，有对恒成立.‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性求得到函数的最值，掌握不等式恒成立时所取的条件，“转化”是解决这类题目的关键．‎ ‎ ‎ ‎ ‎