2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题(测)(解析版)

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2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题(测)(解析版)

专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题 ‎ ‎【满分:100分 时间:90分钟】‎ ‎(一)选择题(12*5=60分)‎ ‎1.【山东省潍坊市2020届高三上学期期末】已知动圆C的圆心在抛物线y2=4x上,且动圆恒与直线x+1=0相切,则此动圆C必过定点(  )‎ A.(1,0)  B.(-1,0) C.(0,1)  D.(0,-1)‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的焦点为F(1,0),准线为x=-1,而动圆C与直线x+1=0相切,即圆心C到准线的距离等于圆的半径r,故圆C过焦点F(1,0)。故选A。‎ ‎2.(2020·湖南高一期末)直线过定点,若直线过点且与平行,则直线的方程为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得:,直线过定点,‎ 又直线的斜率且与直线平行,直线斜率为直线的方程为:,即:。‎ ‎3.(2019·江苏省如东高级中学高一期中)在平面直角坐标系中,记为点到直线的距离,当、变化时,的最大值为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】为单位圆上一点,而直线过点,所以的最大值为,选C.‎ ‎4.(2019·重庆高二期末)已知过原点的动直线与椭圆交于,两点,为椭圆的上顶点,若直线,的斜率存在且分别为,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知,可设,,则,‎ 又在椭圆上,故,即,所以.故答案为:.‎ ‎5.(2020·湖北高三月考(文))已知直线与抛物线交于不同的两点,,直线,的斜率分别为,,且,则直线恒过定点( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】设直线为,联立,消去可得,设,,所以,因为,即,所以,所以,‎ 所以,所以直线一定过点,‎ ‎6.(2019·河北衡水中学高三月考(理))已知实数满足若恒成立,那么的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,实数满足,即 ‎,作出约束条件所表示的平面区域,如图所示,又因为函数的图象是过点,斜率为的直线,要使得不等式恒成立,即恒成立,结合图象可知,当直线过点时,斜率取得最小值 ,‎ 所以实数的取值范围是,故选D. ‎ ‎7.(2019·湖南长郡中学高二月考)已知抛物线的焦点为是抛物线上异于坐标原点的任意一点,过点的直线交轴的正半轴于点,且同在一个以为圆心的圆上,另有直线,且与抛物线相切于点,则直线经过的定点的坐标是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】,设,都在以同一个以为圆心的圆上,‎ ‎ ,解得,‎ ‎,得,从而得,的方程为,化为,过点,故答案为.‎ ‎8.(2019·重庆市育才中学高一期末)已知非零实数、和1成等差数列,直线与椭圆:恒有公共点,则实数的取值范围为( )‎ A. B.且 C. D.且 ‎【答案】D ‎【解析】因为非零实数、和1成等差数列,所以,即,所以直线方程为,即,由,解得,所以直线过定点,因为与椭圆:恒有公共点,‎ 所以定点在椭圆上或内,所以,即,又表示椭圆,所以且,所以且.‎ ‎9.(2019·重庆南开中学高二期中)设直线与抛物线相交于M、N两点,抛物线的焦点为F,若,则k的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由抛物线方程得:,恒过定点,恒过焦点,即共线,设,, ,,‎ 联立消去得:,,解得或(舍),,,解得:。‎ ‎10.(2019·重庆高二月考)过双曲线2x2-y2=2的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l的条数为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】设,,当直线与轴垂直时,,满足题意,当直线与 轴不垂直时,设直线:,联立直线与双曲线方程得:,整理得:,所以, ,又=,解得:,综上:满足这样的直线l的条数为3条 ‎11.(2020·安徽高三月考(理))已知抛物线的焦点为,是抛物线上异于坐标原点的任意一点,以为圆心,为半径的圆交轴负半轴于点.平行于的直线与抛物线相切于点,则直线必过定点( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,,设,则,圆的半径为,则,,设点的横坐标为,由,得,则,,直线为,整理得,当时,,即直线必过定点.‎ ‎12.(2020上海高三月考)已知双曲线,点,在双曲线上任取两点、满足,则直线恒过定点为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】设的方程为,则由.‎ 设,则是该方程的两根,∴,.‎ 又,,故,∴,又,,‎ ‎∴,代入,得:‎ ‎,整理得:,∴,∴或.‎ 当时,过与题意不符,故舍去。当时,过定点.故答案为:‎ ‎(二)填空题(4*5=20分)‎ ‎13.(2019·江苏南京师大附中高二期中)已知m为实数,直线与椭圆的交点个数为________.‎ ‎【答案】2个 ‎【解析】因为直线方程为所以直线过定点,定点在椭圆上,又因为,所以直线与x轴不平行,所以直线和椭圆相交,所以交点为2个.故答案为:2个 ‎14.(2019·重庆高二期末(理))已知抛物线的焦点到准线的距离为1,则此抛物线的所有经过焦点的弦之中最短弦长为__________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】∵抛物线的焦点到准线的距离为1,∴,设直线与抛物线的交点坐标为,,当直线斜率不存在时,直线方程为,交点坐标为,弦长为 ‎,当直线斜率存在时,可设为,联立化简得,∴,故此抛物线的所有经过焦点的弦之中最短弦长为2,故答案为.‎ ‎15.(2019·湖南长沙一中高三月考)在直线上任取一点,过作抛物线的切线,切点分别为、,则直线恒过定点______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,,,抛物线方程变为,则,则在点处的切线方程为,化简得,,同理,在点处的切线方程为.‎ 又点的坐标满足这两个方程,代入得:,,则说明,都满足方程,即直线的方程为:,故直线恒过定点.‎ ‎16.【2020届湖北省稳派教育高三上学期联考】4.已知椭圆C:+=1(a>b>0),过动点M(m,0)(00,y0>0)。由M(m,0),且M是线段PN的中点,可得P(2m,y0),Q(-2m,y0),‎ 所以直线PM的斜率k1==,直线QM的斜率k2==,所以=-3。‎ ‎(三)解答题(6*12=72分)‎ ‎17. 已知椭圆:的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表示);‎ ‎(Ⅱ)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问:轴上是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意得解得=2.故椭圆的方程为.‎ 设(,0).因为,所以.直线的方程为,‎ 所以=,即.‎ ‎(Ⅱ)因为点与点关于轴对称,所以,设,则=.‎ ‎“存在点使得=等价”,“存在点使得=”即满足.因为,,,所以.‎ 所以=或.故在轴上存在点,使得=.‎ 点的坐标为或.‎ ‎18.【山东省德州市2020届高三期末联考】已知椭圆,点在椭圆上,椭圆的离心率是.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设点为椭圆长轴的左端点,为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点,记直线斜率分别为,若,请判断直线是否过定点?若过定点,求该定点坐标,若不过定点,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)过定点 ‎【解析】(1)由点在椭圆上,且椭圆的离心率是,可得,可解得:‎ 故椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)设点的坐标分别为,‎ ‎(ⅰ)当直线斜率不存在时,由题意知,直线方程和曲线方程联立得:,,‎ ‎(ⅱ)当直线的斜率存在时,设直线的方程为,‎ 联立,消去得:,‎ 由,有,‎ 由韦达定理得:,,‎ 故,可得:,‎ 可得:,‎ 整理为:,‎ 故有,‎ 化简整理得:,解得:或,‎ 当时直线的方程为,即,过定点不合题意,‎ 当时直线的方程为,即,过定点,‎ 综上,由(ⅰ)(ⅱ)知,直线过定点.‎ ‎19【吉林省高中2020届高三上期末】30.(2015新课标2)已知椭圆C:(),直线不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.‎ ‎(Ⅰ)证明:直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值;‎ ‎(Ⅱ)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边行?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设直线,,,.‎ 将代入得,‎ 故,.于是直线的斜率,‎ 即.所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值.‎ ‎(Ⅱ)四边形能为平行四边形.因为直线过点,‎ 所以不过原点且与有两个交点的充要条件是,.‎ 由(Ⅰ)得的方程为.设点的横坐标为.‎ 由得,即.‎ 将点的坐标代入直线的方程得,因此.‎ 四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分,即.‎ 于是.解得,.‎ 因为,,,所以当的斜率为或时,四边形为平行四边形.‎ ‎20.【陕西省榆林市2019届高考模拟第一次测试】已知动直线与焦点坐标为,离心率为的曲线相交于两点(为曲线的坐标原点),且.‎ ‎(1)求曲线的标准方程; (2)证明:和都为定值.‎ ‎【答案】(1)(2)详见解析 ‎【解析】(1)∵曲线的离心率为,∴该曲线为椭圆,∵曲线的焦点坐标为,,‎ ‎∴,,∴∴曲线的标准方程为 ‎(2)①当直线的斜率不存在时,当关于轴对称,设,得,,‎ 在椭圆上,得,又∵,得 联立与,可得,∴,同理可得:‎ ‎②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,代入,得 ‎,∵,且直线与曲线有两个交点,‎ ‎∴由根与系数关系的,,‎ ‎∴‎ 因为到直线的距离,,∴‎ 令,即有,可推出,得 即,此时 ‎,‎ 综上所述,,‎ ‎21、在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到的距离的最大值为3.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)在椭圆上,是否存在点使得直线:与圆O: 相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及相对应的的面积;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由,所以设是椭圆上任意一点,‎ 则,所以 所以,当时,有最大值,可得,所以 故椭圆的方程为:‎ ‎(Ⅱ)存在点满足要求,使得面积最大.假设直线与圆相 交于不同两点,则圆心到的距离,∴ ①‎ 因为在椭圆上,所以 ②,由①②得:‎ ‎∵所以,‎ 由②得代入上式,得 当且仅当,∴,‎ 此时满足要求的点有四个.此时对应的的面积为.‎ ‎22.【2020届天津市耀华中学高三月考】已知椭圆的一个焦点在直线上,且离心率.‎ ‎(1)求该椭圆的方程;‎ ‎(2)若与是该椭圆上不同的两点,且线段的中点在直线上,试证: 轴上存在定点,对于所有满足条件的与,恒有;‎ ‎(3)在(2)的条件下, 能否为等腰直角三角形?并证明你的结论.‎ ‎【答案】(1)(2)见解析(3)见解析 ‎【解析】(1)∵椭圆的一个焦点在直线上,∴,‎ 又,∴,∴该椭圆的方程为.‎ ‎(2)当直线的斜率存在时,设直线的方程为,‎ ‎ ,,‎ 设,则, ,‎ ‎∵弦的中点在直线上,∴ ,‎ ‎∴ ,∴,将代入得,‎ 假设在轴上存在定点, ,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ ,即,‎ 当直线的斜率不存在时,直线垂直于轴,此时显然成立,‎ 综上, 轴上存在定点.‎ ‎(3)假设能为等腰直角三角形,则,∴,‎ ‎,‎ ‎ ,又,‎ ‎∴ ,‎ ‎ ,符合(*),∴在(2)的条件下, 能为等腰直角三角形.‎ ‎ ‎
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