2017-2018学年河北省邯郸市永年县第二中学高二上学期10月月考数学（理）试题 解析版
2017-2018 学年河北省邯郸市永年县第二中学高二上
学期 10 月月考理科数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列 1,3,7,15，…的通项 an 可能是( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2n－1
2．若 a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )
A.1
a>1
b B.b
a>1
C．a2
0 恒成立，则 m>1
4
；命题 q：在△ABC 中，
A>B 是 sin A>sin B 的充要条件， 则( )
A．p 假 q 真 B．“p 且 q”为真
C．“p 或 q”为假 D． p 假 q 真
9．若不等式 x2＋ax＋10 对一切 x∈ 0，1
2 恒成立，则 a 的最小值为( )
A．0 B．－2
C．－5
2 D．－3
10．△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 B＝2A，a＝1，b＝ 3，
则 c＝( )
A．2 3 B．2
C. 2 D．1
11．不等式组 x＋y≥1，
x－2y≤4
的解集记为 D.有下面四个命题：
p1：
∀
(x，y)∈D，x＋2y≥－2； p2：
∃
(x，y)∈D，x＋2y≥2；
p3：
∀
(x，y)∈D，x＋2y≤3； p4：
∃
(x，y)∈D，x＋2y≤－1. 其中真命
题是( )
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p1，p2 D．p1，p3
12、我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方
法的前两步为：
第一步：构造数列 1，1
2
，1
3
，1
4
，…，1
n
。①
第二步：将数列①的各项乘以 n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an。则 a1a2＋a2a3＋…
＋an－1an 等于( )
A．n2 B． (n－1)2
C．n(n－1) D．n(n＋1)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)
13．命题“设 a，b，c∈R，若 a>b，则 ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆
否命题中，真命题共有________个。
11．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的
运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站 10 km 处建仓库，则土地费
用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在
离车站________。
4．已知实数 x，y 满足条件
x≥0，
y≤1，
2x－2y＋1≤0，
若目标函数 z＝mx－y(m≠0)取
得最大值时的最优解有无穷多个，则实数 m 的值为________。
16．在△ABC 中，B＝120°，AB＝ 2，A 的角平分线 AD＝ 3，则 AC＝________。
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)已知数列{an}中，a1＝3
5
，an＝2－ 1
an－1
(n≥2，n∈N*)，数
列{bn}满足 bn＝ 1
an－1(n∈N*)。
(1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的通项公式 an。
18．(本小题满分 12 分) 设命题 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2＜0，其中 a＞0，命
题 q：实数 x 满足 x2－x－6≤0，
x2＋2x－8＞0.
(1)若 a＝1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围；
(2) p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
19．(本小题满分 12 分)某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建
部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设
计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量 AD＝BD＝14，BC＝
10，AC＝16，∠C＝∠D.
(1)求 AB 的长度；
(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小
王谁的设计建造费用最低？请说明理由．
20．(本小题满分 12 分)已知函数 y＝ ax2＋2ax＋1的定义域为 R.
(1)求 a 的取值范围；(2)解关于 x 的不等式 x2－x－a2＋a<0.
21．(本小题满分 12 分)在
△
ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.[]
已知 2(tan A＋tan B)＝tan A
cos B
＋tan B
cos A.
(1)证明：a＋b＝2c； (2)求 cos C 的最小值．
[]
22．(本小题满分 12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*，
λ≠－1)，且 a1,2a2，a3＋3 为等差数列{bn}的前三项．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前 n 项和．
[]
永年二中高二 10 月份月考理科数学试题答案
1．【解析】 取 n＝1 时，a1＝1，排除 A、B，取 n＝2 时，a2＝3，排除 D.【答
案】 C
2．【解析】 利用特值法，令 a＝－2，b＝2.
则1
a<1
b
，A 错；b
a<0，B 错；a2＝b2，C 错．【答案】 D
3．解析：选 C 全称命题的否定为特称命题．
4．【解析】 由题意易知选 A.
5．【解析】∵{an}是等比数列且由题意得 a1·a19＝16＝a210(an>0)，∴a8·a10·a12＝a310
＝64.答案 C
6．【解析】 ∵a＝3bsin A，∴由正弦定理得 sin A＝3sin Bsin A，∴sin B＝1
3.
∵ac＝3，∴△ABC 的面积 S＝1
2acsin B＝1
2
×3×1
3
＝1
2
，故选 A.
7．【解析】 由1
a
＋2
b
＝ ab知 a>0，b>0，所以 ab＝1
a
＋2
b
≥2 2
ab
，即 ab≥2 2，
当且仅
当
1
a
＝2
b
，
1
a
＋2
b
＝ ab
即 a＝4 2，b＝2 4 2时取“＝”，所以 ab 的最小值为 2 2.
【答案】 C
8．解析：选 B 易判断出命题 p 为真命题，命题 q 为真命题，所以 p 为假， q
为假．结合各选项知 B 正确．
9．【解析】 x2＋ax＋10 在 x∈ 0，1
2 上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a － x＋1
x max，
∵x＋1
x
5
2
，∴－ x＋1
x －5
2
，∴a －5
2.【答案】 C
10．【解析】 由正弦定理得： a
sin A
＝ b
sin B
，∵B＝2A，a＝1，b＝ 3，∴ 1
sin A
＝
3
2sin Acos A.∵A 为三角形的内角，∴sin A≠0.∴cos A＝ 3
2 .又 0＜A＜ð，∴A＝ð
6
，
∴B＝2A＝ð
3.∴C＝ð－A－B＝ð
2
，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得 c＝
12＋ 32＝2.【答案】 B
11[解析]画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数 z
＝x＋2y 经过可行域内的点 A(2，－1)时，取得最小值 0，故 x＋2y≥0，
因此 p1，p2 是真命题，选 C.
12、【解析】 a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n
1·n
2
＋n
2·n
3
＋…＋ n
n－1·n
n
＝
n2
1
1·2
＋ 1
2·3
＋…＋ 1
n－1n ＝n2 1－1
2
＋1
2
－1
3
＋…＋ 1
n－1
－1
n ＝n2·n－1
n
＝n(n－1)，
故选 C。
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)
13．2 解析：若 c＝0，则 ac2>bc2 不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真
同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设 a，b，c¡ÊR，若 ac2>bc2，则 a>b”
为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有 2
个真命题.
14．5【解析】 设车站到仓库距离为 x，土地费用为 y1，运输费用为 y2，由题
意得 y1＝k1
x
，y2＝k2x，∵x＝10 时，y1＝2，y2＝8，∴k1＝20，k2＝4
5
，∴费用之和
为 y＝y1＋y2＝20
x
＋4
5x≥2 20
x
×4
5x＝8，当且仅当20
x
＝4x
5
，即 x＝5 时取
等号．
15．1 【解析】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)
所示，由图可知当直线 y＝mx－z(m≠0)与直线 2x－2y＋1＝0 重合，即 m
＝1 时，目标函数 z＝mx－y 取最大值的最优解有无穷多个，故选 A.
16．解析 如图，在¡¡ÂABD 中，由正弦定理，得 sin¡ÏADB＝ABsinB
AD
＝
2× 3
2
3
＝ 2
2
。由题意知 0°<¡ÏADB<60°，所以¡ÏADB＝45°，则¡ÏBAD＝180°－¡ÏB
－¡ÏADB＝15°，所以¡ÏBAC＝2¡ÏBAD＝30°，所以¡ÏC＝180°－¡ÏBAC－¡ÏB＝30°，
所以 BC＝AB＝ 2，于是由余弦定理，得 AC＝ AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝
22＋ 22－2 2× 2× －1
2 ＝ 6。
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤)
17．【解析】(1)证明：因为 an＝2－ 1
an－1
(n≥2，n¡ÊN*)，bn＝ 1
an－1
。
所以 n≥2 时，bn－bn－1＝ 1
an－1
－ 1
an－1－1
＝
1
2－ 1
an－1 －1
－ 1
an－1－1
＝ an－1
an－1－1
－
1
an－1－1
＝1。
又 b1＝ 1
a1－1
＝－5
2
，所以数列{bn}是以－5
2
为首项，1 为公差的等差数列。
(2)由(1)知，bn＝n－7
2
，则 an＝1＋ 1
bn
＝1＋ 2
2n－7
。
18．解析：(1)由 x2－4ax＋3a2＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又 a＞0，所以 a＜x＜3a.
当 a＝1 时，1＜x＜3，即 p 为真命题时，1＜x＜3.
由 x2－x－6≤0，
x2＋2x－8＞0，
解得
－2≤x≤3，
x＜－4 或 x＞2，
即 2＜x≤3.所以 q 为真时，2
＜x≤3.
若 p∧q 为真，则 1＜x＜3，
2＜x≤3
⇔2＜x＜3，所以实数 x 的取值范围是(2,3)．
(2)设 A＝{x|x≤a，或 x≥3a}，B＝{x|x≤2，或 x＞3}，
因为綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，所以 AB.
所以 0＜a≤2 且 3a＞3，即 1＜a≤2.所以实数 a 的取值范围是(1,2]．
19．解析：(1)在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC
＝162＋102－2×16×10cosC，①在△ABD 中，由余弦定理及∠C＝∠D，
整理得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosD＝142＋142－2×142cosC.②
由①②得：142＋142－2×142cosC＝162＋102－2×16×10×cosC，整理得
cosC＝1
2.
∵∠C 为三角形的内角，∴∠C＝60°.又∠C＝∠D，AD＝BD，∴△ABD 是
等边三角形，
故 AB＝14，即 A、B 两点的距离为 14.
(2)小李的设计使建造费用最低．
理由如下：S△ABD＝1
2AD·BDsinD，S△ABC＝1
2AC·BCsinC.
∵AD·BD＞AC·BC，且 sinD＝sinC，∴S△ABD＞S△ABC.
由已知建造费用与用地面积成正比，故选择小李的设计使建造费用最
低．
20．【解】(1)∵函数 y＝ ax2＋2ax＋1的定义域为 R，∴ax2＋2ax＋1≥0 恒成立．
①当 a＝0 时，1≥0，不等式恒成立；
②当 a≠0 时，则 a>0，
Ä＝4a2－4a≤0，
解得 0a，即 0≤a<1
2
时，a
查看更多
